Галилеева инвариантность

Инвариантность Галилея или теория относительности Галилея утверждает, что законы движения одинаковы во всех инерциальных системах отсчета . Галилео Галилей впервые описал этот принцип в 1632 году в своем «Диалоге о двух главных мировых системах» на примере корабля, движущегося с постоянной скоростью, без раскачивания, по гладкому морю; любой наблюдатель под палубой не сможет определить, движется ли корабль или стоит.

Формулировка

В частности, термин «инвариантность Галилея» сегодня обычно относится к этому принципу применительно к механике Ньютона , то есть законы движения Ньютона выполняются во всех системах отсчета, связанных друг с другом преобразованием Галилея . Другими словами, все системы отсчета, связанные друг с другом таким преобразованием, инерциальны (то есть в этих системах справедливо уравнение движения Ньютона). В этом контексте ее иногда называют теорией относительности Ньютона .

Среди аксиом теории Ньютона:

1. Существует абсолютное пространство , в котором справедливы законы Ньютона. Инерциальная система отсчета – это система отсчета, находящаяся в относительно равномерном движении относительно абсолютного пространства.
2. Все инерциальные системы отсчета имеют единое универсальное время .

Относительность Галилея можно показать следующим образом. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета S и S' . Физическое событие в S будет иметь координаты положения r = ( x , y , z ) и время t в S , а также r' = ( x' , y' , z' ) и время t' в S' . Согласно второй аксиоме, приведенной выше, можно синхронизировать часы в двух кадрах и предположить t = t' . Предположим, что S' находится в относительно равномерном движении относительно S со скоростью v . положение которого задается функциями r' ( t ) в S' и r ( t ) в S. Рассмотрим точечный объект , Мы видим, что

$r'(t)=r(t)-vt.\,$

Скорость частицы определяется производной по времени от положения:

$u'(t)={\frac {d}{dt}}r'(t)={\frac {d}{dt}}r(t)-v=u(t)-v.$

Еще одно различие дает ускорение в двух кадрах:

$a'(t)={\frac {d}{dt}}u'(t)={\frac {d}{dt}}u(t)-0=a(t).$

Именно из этого простого, но важного результата следует теория относительности Галилея. Предполагая, что масса инвариантна во всех инерциальных системах отсчета, приведенное выше уравнение показывает, что законы механики Ньютона, если они действительны в одной системе отсчета, должны соблюдаться и для всех систем отсчета. Но предполагается, что оно справедливо в абсолютном пространстве, поэтому теория относительности Галилея верна.

Теория Ньютона против

Можно провести сравнение между теорией относительности Ньютона и специальной теорией относительности .

Некоторые из предположений и свойств теории Ньютона:

1. Существование бесконечного числа инерциальных систем отсчета. Каждый кадр имеет бесконечный размер (вся вселенная может быть покрыта множеством линейно эквивалентных кадров). Любые два кадра могут находиться в относительно равномерном движении. (Релятивистская природа механики, выведенная выше, показывает, что предположение об абсолютном пространстве не является необходимым.)
2. Инерциальные системы отсчета могут двигаться во всех возможных относительных формах равномерного движения.
3. Существует универсальное или абсолютное понятие прошедшего времени.
4. Две инерциальные системы отсчета связаны преобразованием Галилея .
5. Во всех инерциальных системах отсчета действуют законы Ньютона и гравитация.

Для сравнения, соответствующие утверждения специальной теории относительности выглядят следующим образом:

1. Существование также бесконечного множества неинерциальных систем отсчета, каждая из которых связана (и физически определяется) с уникальным набором пространственно-временных координат. Каждый кадр может иметь бесконечный размер, но его определение всегда определяется локально контекстуальными физическими условиями. Любые две системы отсчёта могут находиться в относительном неравномерном движении (при условии, что предполагается, что это состояние относительного движения подразумевает релятивистский динамический эффект – а позже и механический эффект в общей теории относительности – между обеими системами отсчёта).
2. Вместо того, чтобы свободно разрешать все условия относительного равномерного движения между системами отсчета, относительная скорость между двумя инерциальными системами отсчета становится ограниченной сверху скоростью света.
3. Вместо универсального прошедшего времени каждая инерциальная система отсчета обладает собственным понятием прошедшего времени.
4. Преобразования Галилея заменяются преобразованиями Лоренца .
5. Во всех инерциальных системах все законы физики одинаковы.

Обе теории предполагают существование инерциальных систем отсчета. На практике размеры кадров, в которых они остаются действительными, сильно различаются в зависимости от приливных гравитационных сил.

В соответствующем контексте локальная ньютоновская инерциальная система отсчета , в которой теория Ньютона остается хорошей моделью, простирается примерно до 10 ⁷ световых лет.

В специальной теории относительности рассматриваются каюты Эйнштейна — каюты, свободно падающие в гравитационном поле. Согласно мысленному эксперименту Эйнштейна, человек в такой кабине не испытывает (в хорошем приближении) гравитации, и поэтому кабина представляет собой приблизительную инерциальную систему отсчета. Однако следует предположить, что размеры кабины достаточно малы, чтобы гравитационное поле внутри нее было примерно параллельно. Это может значительно уменьшить размеры таких приближенных систем отсчета по сравнению с ньютоновскими. Например, искусственный спутник Земли, вращающийся вокруг Земли, можно рассматривать как кабину. Однако достаточно чувствительные инструменты могли бы обнаружить «микрогравитацию» в такой ситуации, поскольку «силовые линии» гравитационного поля Земли сходятся.

В общем, конвергенция гравитационных полей во Вселенной диктует масштаб, в котором можно рассматривать такие (локальные) инерциальные системы отсчета. Например, космический корабль, падающий в черную дыру или нейтронную звезду, (на определенном расстоянии) подвергнется воздействию приливных сил, достаточно сильных, чтобы раздавить его по ширине и разорвать на части по длине. Однако для сравнения, такие силы могут быть неудобными только для астронавтов внутри (сжимая их суставы, затрудняя разгибание конечностей в любом направлении, перпендикулярном гравитационному полю звезды). Если еще уменьшить масштаб, силы на таком расстоянии практически не окажут никакого воздействия на мышь. Это иллюстрирует идею о том, что все свободно падающие системы отсчета локально инерционны (свободны от ускорения и гравитации), если масштаб выбран правильно.

Электромагнетизм

Есть два последовательных преобразования Галилея, которые можно использовать с электромагнитными полями в определенных ситуациях.

Преобразование $T\{*,v\}$ не является последовательным, если $T\{*,v_{1}+v_{2}\}\neq T\{*,v_{1}\}+T\{*,v_{2}\}$ где $v_{1}$ и $v_{2}$являются скоростями. Последовательное преобразование даст те же результаты при преобразовании к новой скорости за один или несколько шагов. Невозможно провести последовательное преобразование Галилея, которое преобразует как магнитное, так и электрическое поля. Существуют полезные последовательные преобразования Галилея, которые можно применять всякий раз, когда доминирует магнитное или электрическое поле.

Система магнитного поля

Системы магнитного поля — это те системы, в которых электрическое поле в исходной системе отсчета незначительно, но магнитное поле сильное. Когда магнитное поле является доминирующим, а относительная скорость $v^{\mathbf {r} }$, низкое, то может оказаться полезным следующее преобразование:

$${\begin{aligned}\mathbf {H^{'}} &=\mathbf {H} \\\mathbf {J_{f}^{'}} &=\mathbf {J_{f}} \\\mathbf {B^{'}} &=\mathbf {B} \\\mathbf {M^{'}} &=\mathbf {M} \\\mathbf {E^{'}} &=\mathbf {E} +v^{\mathbf {r} }\times \mathbf {B} \\\end{aligned}}$$

где $\mathbf {J_{f}}$ – плотность свободного тока, $\mathbf {M}$– плотность намагничивания. В результате этого преобразования при смене системы отсчета преобразуется электрическое поле, но магнитное поле и связанные с ним величины остаются неизменными. Примером такой ситуации является провод, движущийся в магнитном поле, которое возникает в обычном генераторе или двигателе. Преобразованное электрическое поле в движущейся системе отсчета может индуцировать ток в проводе.

Система электрического поля

Системы электрического поля — это те системы, в которых магнитное поле в исходной системе отсчета незначительно, но электрическое поле сильно. Когда электрическое поле является доминирующим, а относительная скорость $v^{r}$, низкое, то может оказаться полезным следующее преобразование:

$${\begin{aligned}\mathbf {E^{'}} &=\mathbf {E} \\\mathbf {D^{'}} &=\mathbf {D} \\\mathbf {\rho _{f}^{'}} &=\mathbf {\rho _{f}} \\\mathbf {P^{'}} &=\mathbf {P} \\\mathbf {H^{'}} &=\mathbf {H} -v^{\mathbf {r} }\times \mathbf {D} \\\mathbf {J_{f}^{'}} &=\mathbf {J_{f}} -\rho _{\mathbf {f} }v^{\mathbf {r} }\\\end{aligned}}$$

где $\rho _{\mathbf {f} }$ – плотность свободного заряда, $\mathbf {P}$– плотность поляризации. Магнитное поле и плотность свободного тока при этом преобразовании трансформируются при смене системы отсчета, но электрическое поле и связанные с ним величины остаются неизменными.

Работа, кинетическая энергия и импульс

Поскольку расстояние, пройденное при приложении силы к объекту, зависит от инерциальной системы отсчета, то же самое зависит и от проделанной работы . По закону взаимного действия Ньютона существует сила реакции; он работает в зависимости от инерциальной системы отсчета противоположным образом. Общая проделанная работа не зависит от инерциальной системы отсчета.

Соответственно, кинетическая энергия объекта и даже изменение этой энергии вследствие изменения скорости зависит от инерциальной системы отсчета. Полная кинетическая энергия изолированной системы также зависит от инерциальной системы отсчета: это сумма полной кинетической энергии в системе с центром импульса и кинетической энергии, которую имела бы полная масса, если бы она была сосредоточена в центре. массы . Благодаря сохранению импульса последний не меняется со временем, поэтому изменение во времени полной кинетической энергии не зависит от инерциальной системы отсчета.

Напротив, хотя импульс объекта также зависит от инерциальной системы отсчета, его изменение из-за изменения скорости не зависит.

См. также

• Абсолютное пространство и время
• Быстрее света
• Ковариантная тензорная формулировка Галилея (не имеет отношения к Галилею)
• Сверхсветовое движение