Парадокс Галилея

Парадокс Галилея — это демонстрация одного из удивительных свойств бесконечных множеств . В своей последней научной работе « Две новые науки » Галилео Галилей сделал явно противоречивые утверждения о целых положительных числах . Во-первых, квадрат — это целое число, которое является квадратом целого числа. Некоторые числа являются квадратами , а другие нет; следовательно, все числа, включая как квадратные, так и неквадратные, должны быть более многочисленными, чем просто квадраты. И все же каждому числу соответствует ровно один квадрат; следовательно, одного не может быть больше, чем другого. Это раннее, хотя и не первое, использование идеи взаимно однозначного соответствия в контексте бесконечных множеств.

Галилей пришел к выводу, что идеи меньшего , равного и большего применимы к (тому, что мы сейчас называем) конечным множествам , но не к бесконечным множествам. В девятнадцатом веке Кантор нашел структуру, в которой это ограничение не является необходимым; можно определять сравнения между бесконечными множествами осмысленно (согласно этому определению два множества, целые числа и квадраты, имеют «одинаковый размер») и что по этому определению некоторые бесконечные множества строго больше других .

Идеи не были новы для Галилея, но его имя стало ассоциироваться с ними. В частности, Дунс Скот около 1302 года сравнивал четные числа с целыми числами.

Галилей о бесконечных множествах

Соответствующий раздел « Двух новых наук» приведен ниже:

Симпличио . Здесь возникает трудность, которая кажется мне неразрешимой. Поскольку ясно, что одна линия может быть больше другой, каждая из которых содержит бесконечное число точек, мы вынуждены признать, что внутри одного и того же класса мы можем иметь нечто большее, чем бесконечность, поскольку бесконечность точек в длинная линия больше бесконечности точек короткой линии. Это присвоение бесконечной величине значения, большего, чем бесконечность, совершенно за пределами моего понимания.

Сальвиати : Это одна из трудностей, которые возникают, когда мы пытаемся нашим ограниченным разумом обсуждать бесконечное, приписывая ему те свойства, которые мы придаем конечному и ограниченному; но я думаю, что это неправильно, поскольку мы не можем говорить о бесконечных количествах как о том, что одно больше или меньше другого или равно ему. Чтобы доказать это, я имею в виду аргумент, который для ясности я приведу в форме вопросов Симпличио, который поднял это затруднение.

Я считаю само собой разумеющимся, что вы знаете, какие числа квадратные, а какие нет.

Симпличио : Я прекрасно знаю, что квадратное число — это число, полученное в результате умножения другого числа само на себя; таким образом, 4, 9 и т. д. — это числа, возведенные в квадрат и получаемые в результате умножения 2, 3 и т. д. на самих себя.

Сальвиати : Очень хорошо; и вы также знаете, что как произведения называются квадратами, так и множители называются сторонами или корнями; с другой стороны, те числа, которые не состоят из двух равных множителей, не являются квадратами. Поэтому, если я утверждаю, что все числа, включая как квадратные, так и неквадратные, больше, чем одни только квадраты, я буду говорить правду, не так ли?

Симпличио : Конечно.

Сальвиати : Если бы я спросил далее, сколько здесь квадратов, я бы мог ответить правильно, что их столько же, сколько и соответствующего числа корней, поскольку каждый квадрат имеет свой корень, а каждый корень — свой квадрат, а ни один квадрат не имеет более одного корня. и ни один корень не превышает одного квадрата.

Симпличио : Именно так.

Сальвиати : Но если я спрошу, сколько корней, то нельзя отрицать, что их столько же, сколько и чисел, потому что каждое число есть корень некоторого квадрата. Учитывая это, мы должны сказать, что квадратов столько же, сколько чисел, потому что их столько же, сколько и их корней, а все числа являются корнями. Однако вначале мы сказали, что чисел гораздо больше, чем квадратов, поскольку большая часть из них не являются квадратами. Более того, пропорциональное число квадратов уменьшается по мере перехода к большим числам. Таким образом, до 100 мы имеем 10 квадратов, т. е. квадраты составляют 1/10 часть всех чисел; до 10000 мы находим только 1/100 часть квадратами; а до миллиона только 1/1000 часть; с другой стороны, в бесконечном числе, если бы можно было представить себе такую ​​вещь, он был бы вынужден признать, что квадратов столько же, сколько чисел, взятых вместе.

Сагредо . Какой же тогда вывод следует сделать при таких обстоятельствах?

Сальвиати : Насколько я понимаю, мы можем только заключить, что совокупность всех чисел бесконечна, что число квадратов бесконечно и что число их корней бесконечно; ни число квадратов не меньше суммы всех чисел, ни последнее не больше первого; и, наконец, атрибуты «равно», «больше» и «меньше» применимы не к бесконечным, а только к конечным количествам. Поэтому, когда Симпличио вводит несколько линий разной длины и спрашивает меня, как это возможно, что более длинные линии не содержат больше точек, чем более короткие, я отвечаю ему, что одна линия не содержит больше или меньше или столько же точек, как другая, но что каждая строка содержит бесконечное число.

- Галилей, Две новые науки

См. также

• Бесконечное множество Дедекинда
• Парадокс Гильберта о Гранд-отеле

Внешние ссылки

• Философский метод и парадокс бесконечности Галилея Мэтью В. Паркера - PhilSci-Archive