Точные решения в общей теории относительности

В общей теории относительности точное решение — это решение уравнений поля Эйнштейна , вывод которого не требует упрощающих предположений, хотя отправной точкой для этого вывода может быть идеализированный случай, например, идеально сферическая форма материи. Математически найти точное решение означает найти лоренцево многообразие, оснащенное тензорными полями, моделирующими состояния обычной материи, такой как жидкость , или классических негравитационных полей, таких как электромагнитное поле .

Предыстория и определение

Эти тензорные поля должны подчиняться любым соответствующим физическим законам (например, любое электромагнитное поле должно удовлетворять уравнениям Максвелла ). Следуя стандартному рецепту, широко используемому в математической физике , эти тензорные поля также должны давать специфические вклады в тензор энергии-импульса. $T^{\alpha \beta }$. (Поле описывается лагранжианом , изменение по полю должно давать уравнения поля, а изменение по метрике должно давать вклад энергии-напряжения, обусловленный полем.)

Наконец, когда все вклады в тензор энергии-импульса суммируются, результатом должно быть решение уравнений поля Эйнштейна

$G^{\alpha \beta }=\kappa \,T^{\alpha \beta }.$

В приведенных выше уравнениях поля $G^{\alpha \beta }$ — тензор Эйнштейна , однозначно вычисляемый из метрического тензора , который является частью определения лоренцева многообразия. Поскольку указание тензора Эйнштейна не полностью определяет тензор Римана , а оставляет тензор Вейля неопределенным (см. разложение Риччи ), уравнение Эйнштейна можно рассматривать как своего рода условие совместимости: геометрия пространства-времени должна быть согласована с количеством и движением любая материя или негравитационные поля в том смысле, что непосредственное присутствие «здесь и сейчас» негравитационной энергии-импульса вызывает пропорциональную величину кривизны Риччи «здесь и сейчас». Более того, взяв ковариантные производные уравнений поля и применив тождества Бьянки , обнаруживается, что подходящим образом изменяющееся количество/движение негравитационной энергии-импульса может привести к распространению ряби кривизны в виде гравитационного излучения даже через области вакуума , которые содержат независимо от материи или негравитационных полей.

Трудности с определением

Любое лоренцево многообразие является решением уравнения поля Эйнштейна для некоторой правой части. Это иллюстрируется следующей процедурой:

• возьмем любое лоренцево многообразие и вычислим его тензор Эйнштейна $G^{\alpha \beta }$, что является чисто математической операцией
• разделить на гравитационную постоянную Эйнштейна $\kappa$
• объявить полученное симметричное тензорное поле второго ранга тензором энергии-импульса $T^{\alpha \beta }$.

Это показывает, что существует два взаимодополняющих способа использования общей теории относительности:

• Можно зафиксировать форму тензора энергии-импульса (скажем, по каким-то физическим причинам) и изучать решения уравнений Эйнштейна с такой правой частью (например, если в качестве тензора энергии-импульса выбрать тензор идеального жидкости, сферически-симметричное решение может служить звездной моделью )
• Альтернативно, можно зафиксировать некоторые геометрические свойства пространства-времени и поискать источник материи, который мог бы обеспечить эти свойства. Именно этим занимаются космологи с 2000-х годов: они предполагают, что Вселенная однородна, изотропна и ускоряется, и пытаются понять, какая материя (называемая темной энергией ) может поддерживать такую ​​структуру.

В рамках первого подхода предполагаемый тензор энергии-импульса должен возникнуть стандартным образом из «разумного» распределения материи или негравитационного поля. На практике это понятие довольно ясно, особенно если ограничить допустимые негравитационные поля единственным известным в 1916 году — электромагнитным полем . Но в идеале нам хотелось бы иметь некую математическую характеристику , определяющую некий чисто математический тест, который мы можем применить к любому предполагаемому «тензору энергии-напряжения», который пропускает все, что может возникнуть из «разумного» физического сценария, и отвергает все остальное. Такая характеристика неизвестна. Вместо этого у нас есть грубые тесты, известные как энергетические условия , которые аналогичны наложению ограничений на собственные значения и собственные векторы оператора линейного . С одной стороны, эти условия слишком либеральны: они допускают «решения», которые почти никто не считает физически разумными. С другой стороны, они могут быть слишком ограничительными: наиболее популярные энергетические условия, очевидно, нарушаются Эффект Казимира .

Эйнштейн также признал еще один элемент определения точного решения: оно должно быть лоренцевым многообразием (отвечающим дополнительным критериям), т. е. гладким многообразием . Но при работе с общей теорией относительности оказывается очень полезным допускать решения, которые не везде гладкие; примеры включают множество решений, созданных путем сопоставления идеального внутреннего решения с жидкостью и вакуумного внешнего решения, а также импульсных плоских волн. Опять же, творческое противоречие между элегантностью и удобством, соответственно, оказалось трудно разрешить удовлетворительным образом.

В дополнение к таким локальным возражениям у нас есть гораздо более сложная проблема: существует очень много точных решений, которые локально не вызывают возражений, но глобально демонстрируют причинно-подозрительные особенности, такие как замкнутые времяподобные кривые или структуры с точками разделения («миры брюк»). Некоторые из наиболее известных точных решений на самом деле носят глобально странный характер.

Виды точного решения

Многие известные точные решения относятся к одному из нескольких типов в зависимости от предполагаемой физической интерпретации тензора энергии-импульса:

• Вакуумные решения : $T^{\alpha \beta }=0$; они описывают регионы, в которых нет материи или негравитационных полей,
• Электровакуумные решения : $T^{\alpha \beta }$ должно полностью возникать из электромагнитного поля , которое решает без источников уравнения Максвелла на данном искривленном лоренцевом многообразии; это означает, что единственным источником гравитационного поля является энергия (и импульс) электромагнитного поля,
• Решения по нулевой пыли : $T^{\alpha \beta }$ должен соответствовать тензору энергии-импульса, который можно интерпретировать как возникающий в результате некогерентного электромагнитного излучения, без обязательного решения уравнений поля Максвелла на данном лоренцевом многообразии,
• Жидкие растворы : $T^{\alpha \beta }$ должен полностью возникать из тензора энергии-импульса жидкости (часто принимаемой за идеальную жидкость ); Единственным источником гравитационного поля являются энергия, импульс и напряжение (давление и сдвиговое напряжение ) вещества, составляющего жидкость.

Помимо таких хорошо известных явлений, как жидкости или электромагнитные волны, можно рассматривать модели, в которых гравитационное поле полностью создается энергией поля различных экзотических гипотетических полей:

• Решения скалярного поля : $T^{\alpha \beta }$ должно полностью возникать из скалярного поля (часто безмассового скалярного поля); они могут возникнуть в классической теории поля при рассмотрении мезонных пучков или как квинтэссенция .
• Решения Lambdavacuum (не стандартный термин, а стандартная концепция, для которой пока не существует названия): $T^{\alpha \beta }$ полностью возникает из-за ненулевой космологической постоянной .

Одной из возможностей, которой уделялось мало внимания (возможно, потому, что математика очень сложна), является проблема моделирования упругого твердого тела . В настоящее время, по-видимому, точные решения для этого конкретного типа неизвестны.

Ниже мы набросали классификацию по физической интерпретации. Решения также можно организовать с использованием классификации Сегре возможных алгебраических симметрий тензора Риччи :

• ненулевые электровакуумы имеют тип Сегре $\{\,(1,1)(11)\}$ и группа изотропии SO(1,1) x SO(2),
• нулевые электровакуумы и нулевые пыли имеют тип Сегре. $\{\,(2,11)\}$ и группа изотропии E(2),
• идеальные жидкости имеют тип Сегре $\{\,1,(111)\}$ и группа изотропии SO(3),
• Пылесосы Lambda имеют тип Segre. $\{\,(1,111)\}$ и группа изотропии SO(1,3).

Остальные типы Сегре не имеют конкретной физической интерпретации и большинство из них не могут соответствовать ни одному известному типу вклада в тензор энергии-импульса.

Примеры

Примечательные примеры вакуумных растворов, электровакуумных растворов и т. д. приведены в специализированных статьях (см. ниже). Эти решения содержат не более одного вклада в тензор энергии-импульса , обусловленного конкретным видом материи или поля. Однако есть некоторые примечательные точные решения, которые содержат два или три вклада, в том числе:

• Решение NUT-Керра-Ньюмана-де Ситтера содержит вклады от электромагнитного поля и положительной энергии вакуума, а также своего рода вакуумное возмущение вакуума Керра, которое задается так называемым параметром NUT,
• Гёделева пыль содержит вклады идеальной жидкости без давления (пыль) и положительной энергии вакуума.

Построение решений

Уравнения поля Эйнштейна представляют собой систему связанных нелинейных уравнения в частных производных. В общем, это затрудняет их решение. Тем не менее, было создано несколько эффективных методов получения точных решений.

Самый простой предполагает наложение условий симметрии на метрический тензор , таких как стационарность (симметрия при сдвиге во времени ) или осесимметрия (симметрия при вращении вокруг некоторой оси симметрии ). При достаточно умных предположениях такого рода часто можно свести уравнение поля Эйнштейна к гораздо более простой системе уравнений, даже к одному уравнению в частных производных (как это происходит в случае стационарных осесимметричных вакуумных решений, которые характеризуются уравнением Эрнста уравнение ) или систему обыкновенных дифференциальных уравнений (как это происходит в случае вакуума Шварцшильда ).

Этот простой подход обычно работает лучше всего, если используется поле кадра, а не координатная основа.

Близкая идея предполагает наложение условий алгебраической симметрии на тензор Вейля , тензор Риччи или тензор Римана . Их часто формулируют в терминах классификации Петрова возможных симметрий тензора Вейля или классификации Сегре возможных симметрий тензора Риччи. Как станет ясно из приведенного выше обсуждения, такие анзацы часто имеют некоторое физическое содержание, хотя это может быть неочевидно из их математической формы.

Этот второй вид подхода симметрии часто использовался вместе с формализмом Ньюмана-Пенроуза , который использует спинорные величины для более эффективного ведения бухгалтерского учета.

Даже после такого снижения симметрии приведенную систему уравнений часто бывает трудно решить. Например, уравнение Эрнста представляет собой нелинейное уравнение в частных производных, чем-то напоминающее нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ).

Однако вспомним, что конформная группа в пространстве-времени Минковского является группой симметрии уравнений Максвелла . Напомним также, что решения уравнения теплопроводности можно найти, предположив масштабирующий анзац . Эти понятия являются просто частными случаями понятия Софуса Ли о точечной симметрии дифференциального уравнения (или системы уравнений), и, как показал Ли, это может обеспечить возможность атаки на любое дифференциальное уравнение, имеющее нетривиальную группу симметрии. Действительно, и уравнение Эрнста, и НУШ имеют нетривиальные группы симметрии, и некоторые решения можно найти, воспользовавшись их симметриями. Эти группы симметрии часто являются бесконечномерными, но это не всегда полезная функция.

Эмми Нётер показала, что небольшое, но глубокое обобщение понятия симметрии Лия может привести к еще более мощному методу атаки. Оказывается, это тесно связано с открытием того, что некоторые уравнения, которые называются полностью интегрируемыми , обладают бесконечной последовательностью законов сохранения . Весьма примечательно, что и уравнение Эрнста (возникающее несколькими способами при изучении точных решений), и НУШ оказываются полностью интегрируемыми. Поэтому их можно решить методами, напоминающими обратное преобразование рассеяния , которое первоначально было разработано для решения уравнения Кортевега-де Фриза (КдВ) , нелинейного уравнения в частных производных, которое возникает в теории солитонов и которое также полностью интегрируемо. К сожалению, решения, полученные этими методами, зачастую не так хороши, как хотелось бы. Например, способом, аналогичным тому, как можно получить множественное солитонное решение задачи КдВ из односолитонного решения (которое можно найти из понятия точечной симметрии Ли), можно получить решение множественного объекта Керра, но, к сожалению, у этого есть некоторые особенности, которые делают его физически неправдоподобным.

Существуют также различные преобразования (см. Преобразование Белинского — Захарова ), позволяющие превратить (например) вакуумный раствор, найденный другими способами, в новый вакуумный раствор, или в электровакуумный раствор, или в жидкий раствор. Они аналогичны преобразованиям Беклунда, известным из теории некоторых уравнений в частных производных , включая некоторые известные примеры солитонных уравнений. Это не случайно, поскольку это явление также связано с представлениями Нётер и Ли о симметрии. К сожалению, даже применительно к «хорошо понятому», глобально допустимому решению эти преобразования часто приводят к плохо понятому решению, а их общая интерпретация до сих пор неизвестна.

Существование решений

Учитывая сложность построения явных небольших семейств решений, а тем более представления чего-то вроде «общего» решения уравнения поля Эйнштейна или даже «общего» решения уравнения вакуумного поля, вполне разумным подходом является попытка найти качественные свойства, которые справедливы для всех растворов или, по крайней мере, для всех вакуумных растворов. Один из самых основных вопросов, который можно задать: существуют ли решения, и если да, то сколько ?

Для начала мы должны принять подходящую формулировку начального значения уравнения поля, которая дает две новые системы уравнений: одна дает ограничение на начальные данные , а другая дает процедуру преобразования этих начальных данных в решение. Тогда можно доказать, что решения существуют, по крайней мере, локально , используя идеи, не сильно отличающиеся от тех, которые встречаются при изучении других дифференциальных уравнений.

Чтобы получить некоторое представление о том, «сколько» решений мы можем оптимистично ожидать, мы можем обратиться к подсчета ограничений методу Эйнштейна. Типичный вывод из этого стиля аргументации состоит в том, что общее вакуумное решение уравнения поля Эйнштейна можно определить, задав четыре произвольные функции трех переменных и шесть произвольных функций двух переменных. уникальное вакуумное решение Эти функции определяют исходные данные, на основе которых может быть получено . (Напротив, вакуум Эрнста, семейство всех стационарных осесимметричных вакуумных решений, задается всего двумя функциями двух переменных, которые даже не являются произвольными, но должны удовлетворять системе двух связанных нелинейных уравнений в частных производных. Это может дать некоторое представление о том, насколько крошечным на самом деле является типичное «большое» семейство точных решений по большому счету.)

Однако этот грубый анализ далеко не отвечает гораздо более сложному вопросу о существовании глобальных решений. Результаты глобального существования, которые известны до сих пор, оказываются связанными с другой идеей.

устойчивости

Мы можем представить себе «возмущение» гравитационного поля за пределами какого-то изолированного массивного объекта, «послав туда немного излучения из бесконечности». Мы можем задаться вопросом: что происходит, когда падающее излучение взаимодействует с окружающим полем? В подходе классической теории возмущений мы можем начать с вакуума Минковского (или другого очень простого решения, такого как лямбдавакуум де Ситтера), ввести очень малые метрические возмущения и сохранить только члены до некоторого порядка в подходящем разложении по возмущениям - несколько это как вычисление своего рода ряда Тейлора для геометрии нашего пространства-времени. Этот подход, по сути, является идеей постньютоновских приближений, используемых при построении моделей гравитирующей системы, такой как двойной пульсар . Однако в случае нелинейных уравнений разложения по возмущениям обычно ненадежны для вопросов долговременного существования и устойчивости.

Уравнение полного поля сильно нелинейно, поэтому мы действительно хотим доказать, что вакуум Минковского стабилен при небольших возмущениях, которые рассматриваются с помощью полностью нелинейного уравнения поля. Это требует внедрения множества новых идей. Желаемый результат, иногда выражаемый лозунгом о том, что вакуум Минковского нелинейно стабилен, был окончательно доказан Деметриосом Христодулу и Серджиу Кляйнерманом только в 1993 году. Аналогичные результаты известны для лямбдавак-возмущений лямбдавакуума де Ситтера ( Гельмут Фридрих ) и для электровакуумных возмущений вакуума Минковского ( Нина Ципсер ). Напротив, антидеситтеровское пространство-время , как известно, нестабильно при определенных условиях.

Теорема

Основная статья: Теорема о положительной энергии

Другой вопрос, о котором мы можем беспокоиться, заключается в том, всегда ли чистая масса-энергия изолированной концентрации положительной плотности массы-энергии (и импульса) дает четко определенную (и неотрицательную) чистую массу. Этот результат, известный как теорема о положительной энергии, был окончательно доказан Ричардом Шоном и Шинг-Тунг Яу в 1979 году, которые сделали дополнительное техническое предположение о природе тензора энергии-импульса. Первоначальное доказательство очень сложно; Эдвард Виттен вскоре представил гораздо более короткое «доказательство физики», которое было оправдано математиками, используя дальнейшие очень сложные аргументы. Роджер Пенроуз и другие также предложили альтернативные аргументы в пользу вариантов исходной теоремы о положительной энергии.

См. также

• Список пространств-временей
• Метрика Фридмана – Леметра – Робертсона – Уокера
• Классификация Петрова для алгебраических симметрий тензора Вейля

Дальнейшее чтение

• Красинский, А. (1997). Неоднородные космологические модели . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-48180-5 .
• МакКаллум, MAH (2006). «Нахождение и использование точных решений уравнений Эйнштейна». Материалы конференции AIP . Том. 841. стр. 129–143. arXiv : gr-qc/0601102 . Бибкод : 2006AIPC..841..129M . дои : 10.1063/1.2218172 . Актуальная обзорная статья, но слишком краткая по сравнению с обзорными статьями Bičák 2000 или Bonnor, Griffiths & MacCallum 1994 .
• МакКаллум, Малкольм А.Х. (2013). «Точные решения уравнений Эйнштейна» . Схоларпедия . 8 (12): 8584. Бибкод : 2013SchpJ...8.8584M . doi : 10.4249/scholarpedia.8584 .
• Рендалл, Алан М. (27 сентября 2002 г.). «Теоремы локального и глобального существования уравнений Эйнштейна» . Живые обзоры в теории относительности . 5 (1): 6. doi : 10.12942/lrr-2002-6 . ПМЦ   5255525 . ПМИД   28163637 . Проверено 11 августа 2005 г. Подробный и актуальный обзор.
• Фридрих, Хельмут (2005). «Является ли общая теория относительности «по существу понятной»?». Аннален дер Физик . 15 (1–2): 84–108. arXiv : gr-qc/0508016 . Бибкод : 2006АнП...518...84Ф . дои : 10.1002/andp.200510173 . S2CID   37236624 . Отличный и более краткий обзор.
• Бичак, Иржи (2000). «Избранные решения уравнений поля Эйнштейна: их роль в общей теории относительности и астрофизике». Уравнения поля Эйнштейна и их физические последствия . Конспект лекций по физике. Том. 540. стр. 1–126. arXiv : gr-qc/0004016 . дои : 10.1007/3-540-46580-4_1 . ISBN  978-3-540-67073-5 . S2CID   119449917 . Отличный современный обзор.
• Боннор, ВБ ; Гриффитс, Дж. Б.; МакКаллум, MAH (1994). «Физическая интерпретация вакуумных решений уравнений Эйнштейна. Часть II. Нестационарные решения». Генерал Отл. Грав . 26 (7): 637–729. Бибкод : 1994GReGr..26..687B . дои : 10.1007/BF02116958 . S2CID   189835151 .
• Боннор, ВБ (1992). «Физическая интерпретация вакуумных решений уравнений Эйнштейна. Часть I. Независящие от времени решения». Генерал Отл. Грав . 24 (5): 551–573. Бибкод : 1992GReGr..24..551B . дои : 10.1007/BF00760137 . S2CID   122301194 . Мудрый обзор, первая из двух частей.
• Гриффитс, Дж. Б. (1991). Столкновение плоских волн в общей теории относительности . Кларендон Пресс . ISBN  0-19-853209-1 . Архивировано из оригинала 10 июня 2007 г. Полноценный ресурс по столкновению плоских волн, который также будет полезен всем, кто интересуется другими точными решениями.
• Хоэнселерс, К.; Дитц, В. (1985). Решения уравнений Эйнштейна: методы и результаты . Спрингер. ISBN  3-540-13366-6 .
• Элерс, Юрген; Кундт, Вольфганг (1962). «Точные решения уравнений гравитационного поля». В Виттене, Л. (ред.). Гравитация: введение в современные исследования . Уайли. стр. 49–101. hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5F17-4 . OCLC   504779224 . Классический обзор, включающий важные оригинальные работы, такие как классификация симметрии вакуумного пространства-времени с pp-волнами.
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; МакКаллум, Малькольм; Хоэнселерс, Корнелиус; Херлт, Эдуард (2009) [2003]. Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-46702-5 .