Метрика Озсвата – Шюкинга

Метрика Озсвата -Шюкинга , или решение Озсвата-Шюкинга , представляет собой вакуумное решение уравнений поля Эйнштейна . Метрика была опубликована Иштваном Озватом и Энгельбертом Шюкингом в 1962 году. Среди вакуумных решений оно примечательно тем, что является первым известным решением, которое является стационарным , глобально определенным и свободным от сингулярностей, но, тем не менее, не изометрично метрике Минковского . Это противоречит заявленному сильному принципу Маха, который запрещает вакуумному решению быть чем-либо иным, кроме Минковского без особенностей, где особенности следует интерпретировать как массу, как в метрике Шварцшильда .

С координатами $\{x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\}$, определим следующую тетраду :

$e_{(0)}={\frac {1}{\sqrt {2+(x^{3})^{2}}}}\left(x^{3}\partial _{0}-\partial _{1}+\partial _{2}\right)$

$e_{(1)}={\frac {1}{\sqrt {4+2(x^{3})^{2}}}}\left[\left(x^{3}-{\sqrt {2+(x^{3})^{2}}}\right)\partial _{0}+\left(1+(x^{3})^{2}-x^{3}{\sqrt {2+(x^{3})^{2}}}\right)\partial _{1}+\partial _{2}\right]$

$e_{(2)}={\frac {1}{\sqrt {4+2(x^{3})^{2}}}}\left[\left(x^{3}+{\sqrt {2+(x^{3})^{2}}}\right)\partial _{0}+\left(1+(x^{3})^{2}+x^{3}{\sqrt {2+(x^{3})^{2}}}\right)\partial _{1}+\partial _{2}\right]$

$e_{(3)}=\partial _{3}$

Непосредственно проверяется, что е ₍₀₎ времениподобно, е ₍₁₎ , е ₍₂₎ , е ₍₃₎ пространственноподобны, что все они ортогональны и что нет никаких особенностей. Соответствующее собственное время

${d\tau }^{2}=-(dx^{0})^{2}+4(x^{3})(dx^{0})(dx^{2})-2(dx^{1})(dx^{2})-2(x^{3})^{2}(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}.$

Тензор Римана имеет только одну алгебраически независимую ненулевую компоненту.

$R_{0202}=-1,$

что показывает, что пространство-время плоско по Риччи , но не конформно плоско . Этого достаточно, чтобы заключить, что это вакуумное решение, отличное от пространства-времени Минковского. При подходящем преобразовании координат метрику можно переписать в виде

$d\tau ^{2}=[(x^{2}-y^{2})\cos(2u)+2xy\sin(2u)]du^{2}-2dudv-dx^{2}-dy^{2}$

и поэтому является примером пространства-времени pp-волны .