Стационарное пространство-время

В общей теории относительности , особенно в уравнениях поля Эйнштейна , пространство-время называется стационарным, если оно допускает вектор Киллинга , который асимптотически времениподобен .

Описание и анализ

В стационарном пространстве-времени компоненты метрического тензора $g_{\mu \nu }$, могут быть выбраны так, чтобы все они не зависели от временной координаты. Линейный элемент стационарного пространства-времени имеет вид $(i,j=1,2,3)$

$ds^{2}=\lambda (dt-\omega _{i}\,dy^{i})^{2}-\lambda ^{-1}h_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j},$

где $t$ это координата времени, $y^{i}$ - три пространственные координаты и $h_{ij}$ — метрический тензор трёхмерного пространства. В этой системе координат векторное поле Киллинга $\xi ^{\mu }$ имеет компоненты $\xi ^{\mu }=(1,0,0,0)$. $\lambda$ – положительный скаляр, представляющий норму вектора Киллинга, т. е. $\lambda =g_{\mu \nu }\xi ^{\mu }\xi ^{\nu }$, и $\omega _{i}$ представляет собой 3-вектор, называемый вектором скручивания, который обращается в нуль, когда вектор Киллинга ортогонален гиперповерхности. Последнее возникает как пространственные компоненты твист-4-вектора $\omega _{\mu }=e_{\mu \nu \rho \sigma }\xi ^{\nu }\nabla ^{\rho }\xi ^{\sigma }$(см., например, п. 163), ортогональный вектору Киллинга $\xi ^{\mu }$, т. е. удовлетворяет $\omega _{\mu }\xi ^{\mu }=0$. Вектор скручивания измеряет степень, в которой вектор Киллинга не может быть ортогональным семейству трех поверхностей. Ненулевой поворот указывает на наличие вращения в геометрии пространства-времени.

Описанное выше координатное представление имеет интересную геометрическую интерпретацию. генерирует Вектор Киллинга трансляции времени однопараметрическую группу движений. $G$ в пространстве-времени $M$. Путем идентификации точек пространства-времени, которые лежат на определенной траектории (также называемой орбитой), можно получить трехмерное пространство (многообразие траекторий Киллинга). $V=M/G$, факторпространство. Каждая точка $V$ представляет собой траекторию в пространстве-времени $M$. Это отождествление, называемое канонической проекцией, $\pi :M\rightarrow V$ это отображение, которое отправляет каждую траекторию в $M$ на точку в $V$ и индуцирует метрику $h=-\lambda \pi *g$ на $V$ через откат. Количества $\lambda$, $\omega _{i}$ и $h_{ij}$ все поля включены $V$ и, следовательно, не зависят от времени. Таким образом, геометрия стационарного пространства-времени не меняется во времени. В особом случае $\omega _{i}=0$ Говорят, что пространство-время статично . По определению, каждое статическое пространство-время стационарно, но обратное, как правило, неверно, поскольку метрика Керра представляет собой контрпример.

Используйте в качестве отправной точки для уравнений вакуумного поля.

В стационарном пространстве-времени, удовлетворяющем вакуумным уравнениям Эйнштейна $R_{\mu \nu }=0$ вне источников твист 4-вектора $\omega _{\mu }$ не имеет скручиваний,

$\nabla _{\mu }\omega _{\nu }-\nabla _{\nu }\omega _{\mu }=0,\,$

и поэтому локально является градиентом скаляра $\omega$ (называемый скаляром твиста):

$\omega _{\mu }=\nabla _{\mu }\omega .\,$

Вместо скаляров $\lambda$ и $\omega$ удобнее использовать два потенциала Хансена — потенциал массы и момента импульса, $\Phi _{M}$ и $\Phi _{J}$, определяемый как

$\Phi _{M}={\frac {1}{4}}\lambda ^{-1}(\lambda ^{2}+\omega ^{2}-1),$

$\Phi _{J}={\frac {1}{2}}\lambda ^{-1}\omega .$

В общей теории относительности массовый потенциал $\Phi _{M}$ играет роль ньютоновского гравитационного потенциала. Нетривиальный потенциал углового момента $\Phi _{J}$ возникает для вращающихся источников за счет вращательной кинетической энергии, которая из-за эквивалентности массы и энергии может выступать также источником гравитационного поля. Ситуация аналогична статическому электромагнитному полю, в котором имеется два набора потенциалов: электрический и магнитный. В общей теории относительности вращающиеся источники создают гравитомагнитное поле , не имеющее ньютоновского аналога.

Таким образом, стационарная вакуумная метрика выражается через потенциалы Хансена. $\Phi _{A}$ ( $A=M$, $J$) и 3-метрика $h_{ij}$. В терминах этих величин уравнения вакуумного поля Эйнштейна можно записать в виде

$(h^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}-2R^{(3)})\Phi _{A}=0,\,$

$R_{ij}^{(3)}=2[\nabla _{i}\Phi _{A}\nabla _{j}\Phi _{A}-(1+4\Phi ^{2})^{-1}\nabla _{i}\Phi ^{2}\nabla _{j}\Phi ^{2}],$

где $\Phi ^{2}=\Phi _{A}\Phi _{A}=(\Phi _{M}^{2}+\Phi _{J}^{2})$, и $R_{ij}^{(3)}$ – тензор Риччи пространственной метрики и $R^{(3)}=h^{ij}R_{ij}^{(3)}$ соответствующий скаляр Риччи. Эти уравнения составляют отправную точку для исследования точных показателей стационарного вакуума.

См. также

• Статическое пространство-время
• Сферически симметричное пространство-время