Сферически симметричное пространство-время

В физике сферически -симметричные пространства-времени обычно используются для получения аналитических и численных решений уравнений поля Эйнштейна в присутствии радиально движущейся материи или энергии. Поскольку сферически-симметричные пространства-времени по определению являются безвихревыми, они не являются реалистичными моделями черных дыр в природе. Однако их метрики значительно проще, чем у вращающегося пространства-времени, что значительно упрощает их анализ.

Сферически-симметричные модели не совсем неуместны: многие из них имеют диаграммы Пенроуза, аналогичные диаграммам вращающегося пространства-времени, и они обычно имеют качественные особенности (например, горизонты Коши ), на которые не влияет вращение. Одним из таких приложений является изучение инфляции массы из-за встречных потоков падающей материи внутри черной дыры.

Формальное определение

Сферически симметричное пространство-время — это пространство-время которого , группа изометрий содержит подгруппу, изоморфную группе вращения SO(3) , а орбиты этой группы представляют собой 2-сферы (обычные 2-мерные сферы в 3-мерном евклидовом пространстве ). Затем изометрии интерпретируются как вращения, а сферически-симметричное пространство-время часто описывается как пространство, метрика которого «инвариантна относительно вращений». Метрика пространства-времени индуцирует метрику на каждой орбите 2-сферы (и эта индуцированная метрика должна быть кратна метрике 2-сферы). Условно метрика на 2-сфере записывается в полярных координатах как

g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}

,

и поэтому полная метрика включает член, пропорциональный этому.

Сферическая симметрия — характерная особенность многих решений уравнений поля Эйнштейна общей теории относительности , особенно решения Шварцшильда и решения Рейсснера-Нордстрема . Сферически-симметричное пространство-время можно охарактеризовать и другим способом, а именно, используя понятие векторных полей Киллинга , которые в очень точном смысле сохраняют метрику . Упомянутые выше изометрии на самом деле являются диффеоморфизмами локальных потоков векторных полей Киллинга и, таким образом, порождают эти векторные поля. Для сферически-симметричного пространства-времени $M$ , существует ровно 3 вращательных векторных поля Киллинга. Другими словами, размерность алгебры Киллинга $K(M)$ равно 3; то есть, $\dim K(M)=3$ . В общем, ни одно из них не похоже на время, поскольку это подразумевало бы статическое пространство-время .

Известно (см. теорему Биркгофа ), что любое сферически симметричное решение уравнений вакуумного поля обязательно изометрично подмножеству максимально расширенного решения Шварцшильда . Это означает, что внешняя область вокруг сферически-симметричного гравитирующего объекта должна быть статичной и асимптотически плоской .

Сферически симметричные метрики

Традиционно используются сферические координаты. $x^{\mu }=(t,r,\theta ,\phi )$ , чтобы записать метрику ( элемент строки ). несколько координатных карт Возможны ; к ним относятся:

Координаты Шварцшильда
Изотропные координаты , в которых световые конусы имеют круглую форму и поэтому полезны для изучения нулевой пыли .
Гауссовы полярные координаты , иногда используемые для изучения статических сферически-симметричных идеальных жидкостей.
Окружной радиус, указанный ниже, удобен для изучения инфляции массы.

Метрический окружной радиус

Один популярный показатель, ^[1] используемый при изучении массовой инфляции ,

ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=-{\frac {dt^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{\beta _{r}^{2}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)^{2}+r^{2}\,g(\Omega ).

Здесь, $g(\Omega )$ - стандартная метрика для 2-сферы единичного радиуса. $\Omega =(\theta ,\phi )$ . Радиальная координата $r$ определяется так, что это окружной радиус, то есть так, что собственная окружность в радиусе $r$ является $2\pi r$ . При таком выборе координат параметр $\beta _{t}$ определяется так, что $\beta _{t}=dr/d\tau$ — собственная скорость изменения окружного радиуса (т. е. где $\tau$ самое время ). Параметр $\beta _{r}$ можно интерпретировать как радиальную производную окружного радиуса в свободно падающей системе отсчета; это становится явным в тетрадном формализме .

Ортонормированный тетрадный формализм

Обратите внимание, что приведенная выше метрика записывается в виде суммы квадратов, и поэтому ее можно понимать как явно кодирующую вирбейна и , в частности, ортонормированную тетраду . То есть метрический тензор можно записать как аналог . метрики Минковского $\eta _{ij}$ :

g_{\mu \nu }=\eta _{ij}\,e_{\;\mu }^{i}\,e_{\;\nu }^{j}

где $e_{\;\mu }^{i}$ является обратным Вирбейном. Соглашение здесь и далее состоит в том, что римские индексы относятся к плоской ортонормированной тетрадной системе координат, а греческие индексы относятся к системе координат. Обратный Вирбейн можно напрямую прочитать из приведенной выше метрики как

e_{\;\mu }^{t}dx^{\mu }={\frac {dt}{\alpha }}

e_{\;\mu }^{r}dx^{\mu }={\frac {1}{\beta _{r}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)

e_{\;\mu }^{\theta }dx^{\mu }=rd\theta

e_{\;\mu }^{\phi }dx^{\mu }=r\sin \theta d\phi

где должна была быть подпись $(-+++)$ . Записанное в виде матрицы, обратное четвероногое имеет вид

e_{\;\mu }^{i}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\alpha }}&0&0&0\\-{\frac {\beta _{t}}{\alpha \beta _{r}}}&{\frac {1}{\beta _{r}}}&0&0\\0&0&r&0\\0&0&0&r\sin \theta \\\end{bmatrix}}

Четвероногое само по себе является инверсией (-транспозицией) обратного четвероногого.

e_{i}^{\;\mu }={\begin{bmatrix}\alpha &\beta _{t}&0&0\\0&\beta _{r}&0&0\\0&0&{\frac {1}{r}}&0\\0&0&0&{\frac {1}{r\sin \theta }}\\\end{bmatrix}}

То есть, $(e_{\;\mu }^{i})^{T}e_{i}^{\;\nu }=e_{\mu }^{\;\;i}e_{i}^{\;\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }$ является единичной матрицей.

Особенно простая форма вышеизложенного является основным мотивирующим фактором для работы с данной метрикой.

Вирбейн связывает векторные поля в системе координат с векторными полями в тетрадной системе координат, как

\partial _{i}=e_{i}^{\;\mu }{\frac {\partial \;\;}{\partial x^{\mu }}}

Наиболее интересны из этих двух $\partial _{t}$ что является собственным временем в системе покоя, и $\partial _{r}$ что является радиальной производной в системе покоя. По конструкции, как отмечалось ранее, $\beta _{t}$ был правильнымскорость изменения окружного радиуса; теперь это можно явно записать как

\beta _{t}=\partial _{t}r

Аналогично, у человека есть

\beta _{r}=\partial _{r}r

которое описывает градиент (в системе свободно падающей тетрады) окружного радиуса в радиальном направлении. Это не общее единство; сравните, например, со стандартным решением Сваршильда или решением Рейсснера – Нордстрема. Знак $\beta _{r}$ эффективно определяет, «какой путь вниз»; знак $\beta _{r}$ различает входящие и исходящие кадры, так что $\beta _{r}>0$ является входящим кадром, и $\beta _{r}<0$ это исходящий кадр.

Эти два соотношения для окружного радиуса дают еще одну причину, почему эта конкретная параметризация метрики удобна: она имеет простую интуитивную характеристику.

Форма подключения

Форму связи в тетрадной системе координат можно записать через символы Кристоффеля. $\Gamma _{ijk}$ в тетрадной системе отсчета, которые задаются формулами

\Gamma _{rtt}=-\partial _{r}\ln \alpha

\Gamma _{rtr}=-\beta _{t}{\frac {\partial \ln \alpha }{\partial r}}+{\frac {\partial \beta _{t}}{\partial r}}-\partial _{t}\ln \beta _{r}

\Gamma _{\theta t\theta }=\Gamma _{\phi t\phi }={\frac {\beta _{t}}{r}}

\Gamma _{\theta r\theta }=\Gamma _{\phi r\phi }={\frac {\beta _{r}}{r}}

\Gamma _{\phi \theta \phi }={\frac {\cot \theta }{r}}

а все остальные ноль.

Уравнения Эйнштейна

Полный набор выражений для тензора Римана , тензора Эйнштейна и скаляра кривизны Вейля можно найти в книге Hamilton & Avelino. ^[1] Уравнения Эйнштейна принимают вид

\nabla _{t}\beta _{t}=-{\frac {M}{r^{2}}}-4\pi rp

\nabla _{t}\beta _{r}=4\pi rf

где $\nabla _{t}$ - ковариантная производная по времени (и $\nabla$ связь Леви-Чивита ), $p$ радиальное давление ( не изотропное давление!), и $f$ радиальный поток энергии. Масса $M(r)$ — это масса Миснера-Торна или внутренняя масса , определяемая выражением

{\frac {2M}{r}}-1=\beta _{t}^{2}-\beta _{r}^{2}

Поскольку эти уравнения фактически двумерны, их можно решить без особых трудностей при различных предположениях о природе падающего материала (то есть при предположении о сферически-симметричной черной дыре, которая аккрецирует заряженную или нейтральную пыль, газ и газ). , плазма или темная материя, высокой или низкой температуры, т.е. материал с различными уравнениями состояния .)

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Эндрю Дж. С. Гамильтон и Педро П. Авелино, «Физика релятивистской неустойчивости противотока, которая вызывает массовую инфляцию внутри черных дыр» (2008), arXiv : 0811.1926

Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-87033-2 . См. раздел 6.1 для обсуждения сферической симметрии .

[hamilton-1] Jump up to: ^а ^б Эндрю Дж. С. Гамильтон и Педро П. Авелино, «Физика релятивистской неустойчивости противотока, которая вызывает массовую инфляцию внутри черных дыр» (2008), arXiv : 0811.1926

[1]