Гауссовы полярные координаты

В теории многообразий лоренцевых сферически-симметричные пространства-времени допускают семейство вложенных круглых сфер . В каждой из этих сфер каждая точка может быть перенесена в любую другую соответствующим поворотом вокруг центра симметрии.

Существует несколько различных типов координатных диаграмм, адаптированных к этому семейству вложенных сфер, каждый из которых вносит различные искажения. Самая известная альтернатива — диаграмма Шварцшильда , которая правильно отображает расстояния внутри каждой сферы, но (в целом) искажает радиальные расстояния и углы . Другой популярный выбор — изотропная диаграмма , которая правильно отображает углы (но в целом искажает как радиальные, так и поперечные расстояния). Третий вариант — полярная карта Гаусса , которая правильно отображает радиальные расстояния, но искажает поперечные расстояния и углы. Есть и другие возможные диаграммы; статья о сферически-симметричном пространстве-времени описывает систему координат с интуитивно привлекательными функциями для изучения падающей материи. Во всех случаях вложенные геометрические сферы представлены координатными сферами, поэтому можно сказать, что их округлость представлена ​​правильно.

Определение

В гауссовской полярной карте (в статическом сферически-симметричном пространстве-времени) метрика (она же линейный элемент ) принимает вид

$g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+dr^{2}+b(r)^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right),$

$-\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi .$

В зависимости от контекста, возможно, уместно рассматривать $a$ и $b$ как неопределенные функции радиальной координаты $r$. В качестве альтернативы мы можем подключить определенные функции (возможно, в зависимости от некоторых параметров), чтобы получить изотропную координатную карту в определенном лоренцевом пространстве-времени.

Приложения

Гауссовы диаграммы часто менее удобны, чем диаграммы Шварцшильда или изотропные диаграммы. Однако время от времени они находили применение в теории статических сферически-симметричных совершенных жидкостей.

См. также

• Статическое пространство-время
• Статические сферически-симметричные идеальные жидкости
• Координаты Шварцшильда
• Изотропные координаты
• Поля кадров в общей теории относительности, чтобы узнать больше о полях кадров и полях кофреймов.