Статическое пространство-время

В общей теории относительности пространство -время называется статичным, если оно не изменяется с течением времени, а также является безвихревым. Это частный случай стационарного пространства-времени , которое представляет собой геометрию стационарного пространства-времени, которая не меняется во времени, но может вращаться. Таким образом, решение Керра представляет собой пример стационарного пространства-времени, которое не является статичным; невращающееся решение Шварцшильда является статическим примером.

Формально пространство-время статично, если оно допускает глобальное, неисчезающее, времениподобное векторное поле Киллинга. $K$ которое является безвихревым , т. е которого ортогональное распределение инволютивно . . (Обратите внимание, что листы соответствующего слоения обязательно являются пространственноподобными гиперповерхностями .) Таким образом, статическое пространство-время — это стационарное пространство-время, удовлетворяющее этому дополнительному условию интегрируемости. Эти пространства-времени образуют один из простейших классов лоренцевых многообразий .

Локально каждое статическое пространство-время выглядит как стандартное статическое пространство-время , которое представляет собой лоренцево искривленное произведение R. $\times$ S с метрикой вида

$g[(t,x)]=-\beta (x)dt^{2}+g_{S}[x]$,

где R — действительная линия, $g_{S}$ является (положительно определенной) метрикой и $\beta$ положительная функция на римановом многообразии S. —

В таком представлении локальных координат поле Киллинга $K$ может быть отождествлен с $\partial _{t}$ и S , многообразие $K$- траектории , можно рассматривать как мгновенное 3-пространство неподвижных наблюдателей. Если $\lambda$ – квадрат нормы векторного поля Киллинга, $\lambda =g(K,K)$, оба $\lambda$ и $g_{S}$ не зависят от времени (фактически $\lambda =-\beta (x)$). Именно из-за последнего факта статическое пространство-время получило свое название, поскольку геометрия пространственноподобного среза S не меняется со временем.

Примеры статического пространства-времени

• (Внешнее) решение Шварцшильда .
• Пространство Де Ситтера (его часть, покрытая статическим патчем ).
• Рейсснера–Нордстрема . Пространство
• Решение Вейля — статическое осесимметричное решение уравнений вакуумного поля Эйнштейна. $R_{\mu \nu }=0$ открыл Герман Вейль .

Примеры нестатического пространства-времени

В общем, «почти все» пространства-времени не будут статичными. Некоторые явные примеры включают в себя:

• Сферически симметричные пространства-времени , которые являются безвихревыми, но не статичными.
• Решение Керра , поскольку оно описывает вращающуюся черную дыру, представляет собой стационарное пространство-время, которое не является статичным.
• Пространство-время с гравитационными волнами в нем даже не стационарно.

Ссылки

• Хокинг, Юго-Запад; Эллис, GFR (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Кембриджские монографии по математической физике, том. 1, Лондон-Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, MR   0424186