Пространство Де Ситтера

В математической физике n - мерное пространство де Ситтера (часто обозначаемое dS _n ) представляет собой максимально симметричное лоренцево многообразие с постоянной положительной скалярной кривизной . Это лоренциан аналог n -сферы (с ее канонической римановой метрикой ).

Основное применение пространства де Ситтера — его использование в общей теории относительности , где оно служит одной из простейших математических моделей Вселенной, согласующихся с наблюдаемым ускоряющимся расширением Вселенной . Точнее, пространство де Ситтера — это максимально симметричное вакуумное решение уравнений поля Эйнштейна с положительной космологической постоянной. $\Lambda$ (соответствует положительной плотности энергии вакуума и отрицательному давлению).

Пространство де Ситтера и пространство анти-де Ситтера названы в честь Виллема де Ситтера (1872–1934). профессор астрономии Лейденского университета и директор Лейденской обсерватории . Виллем де Ситтер и Альберт Эйнштейн тесно сотрудничали в Лейдене в 1920-х годах над пространственно-временной структурой нашей Вселенной. Пространство Де Ситтера было также независимо и примерно в то же время открыто Туллио Леви-Чивитой .

Определение

Пространство де Ситтера можно определить как подмногообразие обобщенного пространства Минковского одного более высокого измерения , включая индуцированную метрику. Возьмем пространство Минковского R. ^{1, н} со стандартной метрикой : $$ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}.$$

n описываемое -мерное пространство де Ситтера — это подмногообразие, гиперболоидом однолистным $$-x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\alpha ^{2},$$где $\alpha$ — некоторая ненулевая константа, размерность которой равна длине. Индуцированная метрика в пространстве де Ситтера, индуцированная объемлющей метрикой Минковского. Оно невырождено и имеет лоренцеву сигнатуру. (Если заменить $\alpha ^{2}$ с $-\alpha ^{2}$ в приведенном выше определении получается гиперболоид двухлистовый . Индуцированная метрика в этом случае положительно определена , а каждый лист является копией гиперболического n -пространства . См. Пространство Минковского § Геометрия .)

Пространство де Ситтера также можно определить как фактор O(1, n ) / O(1, n - 1) двух неопределенных ортогональных групп , что показывает, что это нериманово симметрическое пространство .

Топологически dS _n представляет собой R × S ^{п -1} (который является односвязным, если n ≥ 3 ).

Свойства

Группа изометрий пространства де Ситтера — это группа Лоренца O(1, n ) . Таким образом, метрика имеет n ( n + 1)/2 независимых векторных поля Киллинга и является максимально симметричной. Каждое максимально симметричное пространство имеет постоянную кривизну. Тензор кривизны Римана де Ситтера определяется выражением

$R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}\left(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu }\right)$

(используя соглашение о знаках $R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }$ для тензора кривизны Римана). Пространство Де Ситтера является многообразием Эйнштейна , поскольку тензор Риччи пропорционален метрике:

$R_{\mu \nu }=R^{\lambda }{}_{\mu \lambda \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }$

Это означает, что пространство де Ситтера представляет собой вакуумное решение уравнения Эйнштейна с космологической постоянной, определяемой выражением

$\Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}.$

Скалярная кривизна пространства де Ситтера определяется выражением

$R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .$

Для случая n = 4 имеем Λ = 3/ α ² и R = 4Λ = 12/ α ² .

Статические координаты

Мы можем ввести статические координаты $(t,r,\ldots )$ для де Ситтера следующим образом:

${\begin{aligned}x_{0}&={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\\x_{1}&={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\\x_{i}&=rz_{i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\leq i\leq n.\end{aligned}}$

где $z_{i}$ дает стандартное вложение ( n − 2) -сферы в R ^{п -1} . В этих координатах метрика де Ситтера принимает вид:

$ds^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}.$

Обратите внимание, что существует космологический горизонт на $r=\alpha$.

Плоская нарезка

Позволять

${\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)+{\frac {1}{2\alpha }}r^{2}e^{{\frac {1}{\alpha }}t},\\x_{1}&=\alpha \cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)-{\frac {1}{2\alpha }}r^{2}e^{{\frac {1}{\alpha }}t},\\x_{i}&=e^{{\frac {1}{\alpha }}t}y_{i},\qquad 2\leq i\leq n\end{aligned}}$

где ${\textstyle r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}}$. Затем в $\left(t,y_{i}\right)$ Метрика координат гласит:

$ds^{2}=-dt^{2}+e^{2{\frac {1}{\alpha }}t}dy^{2}$

где ${\textstyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$ это плоская метрика на $y_{i}$х.

Параметр $\zeta =\zeta _{\infty }-\alpha e^{-{\frac {1}{\alpha }}t}$, получим конформно плоскую метрику:

$ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{(\zeta _{\infty }-\zeta )^{2}}}\left(dy^{2}-d\zeta ^{2}\right)$

Открытая нарезка

Позволять

${\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\cosh \xi ,\\x_{1}&=\alpha \cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right),\\x_{i}&=\alpha z_{i}\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\sinh \xi ,\qquad 2\leq i\leq n\end{aligned}}$

где ${\textstyle \sum _{i}z_{i}^{2}=1}$ формирование $S^{n-2}$ со стандартной метрикой ${\textstyle \sum _{i}dz_{i}^{2}=d\Omega _{n-2}^{2}}$. Тогда метрика пространства де Ситтера будет иметь вид

$ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}t\right)dH_{n-1}^{2},$

где

$dH_{n-1}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-2}^{2}$

— стандартная гиперболическая метрика.

Закрытая нарезка

Позволять

${\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right),\\x_{i}&=\alpha \cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)z_{i},\qquad 1\leq i\leq n\end{aligned}}$

где $z_{i}$s описать $S^{n-1}$. Тогда метрика гласит:

$ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\cosh ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}t\right)d\Omega _{n-1}^{2}.$

Изменение переменной времени на конформное время через ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{2}}\eta \right)=\tanh \left({\frac {1}{2\alpha }}t\right)}$ мы получаем метрику, конформно эквивалентную статической вселенной Эйнштейна:

$ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{\cos ^{2}\eta }}\left(-d\eta ^{2}+d\Omega _{n-1}^{2}\right).$

Эти координаты, также известные как «глобальные координаты», охватывают максимальное расширение пространства де Ситтера и поэтому могут использоваться для нахождения его диаграммы Пенроуза .

нарезка dS

Позволять

${\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sin \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\cosh \xi ,\\x_{1}&=\alpha \cos \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right),\\x_{2}&=\alpha \sin \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)\cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right),\\x_{i}&=\alpha z_{i}\sin \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\sinh \xi ,\qquad 3\leq i\leq n\end{aligned}}$

где $z_{i}$s описать $S^{n-3}$. Тогда метрика гласит:

$ds^{2}=d\chi ^{2}+\sin ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},$

где

$ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}t\right)dH_{n-2}^{2}$

является метрикой $n-1$ размерное пространство де Ситтера с радиусом кривизны $\alpha$ в координатах открытого среза. Гиперболическая метрика определяется следующим образом:

$dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-3}^{2}.$

Это аналитическое продолжение координат открытого среза под $\left(t,\xi ,\theta ,\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\phi _{n-3}\right)\to \left(i\chi ,\xi ,it,\theta ,\phi _{1},\ldots ,\phi _{n-4}\right)$ а также переключение $x_{0}$ и $x_{2}$ потому что они меняют свою времяподобную/пространственноподобную природу.

См. также

• Антиде Ситтеровское пространство
• Вселенная Де Ситтера
• Переписка AdS/CFT
• Метрика Де Ситтера – Шварцшильда

Ссылки

• Зи, Энтони (2013). Эйнштейн Гравитация в двух словах . Издательство Принстонского университета. ISBN  9780691145587 .

Дальнейшее чтение

• Цинмин Ченг (2001) [1994], «Пространство Де Ситтера» , Математическая энциклопедия , EMS Press
• Номидзу, Кацуми (1982), «Метрика Лоренца–Пуанкаре в верхнем полупространстве и его расширении», Hokkaido Mathematical Journal , 11 (3): 253–261, doi : 10.14492/hokmj/1381757803
• Коксетер, HSM (1943), «Геометрическая основа мира де Ситтера», American Mathematical Monthly , 50 (4), Mathematical Association of America: 217–228, doi : 10.2307/2303924 , JSTOR   2303924
• Сасскинд, Л.; Линдсей, Дж. (2005), Введение в черные дыры, информацию и революцию в теории струн: Голографическая Вселенная , стр. 119(11.5.25)

Внешние ссылки

• Упрощенное руководство по пространствам де Ситтера и анти-де Ситтера. Педагогическое введение в пространства де Ситтера и анти-де Ситтера. Основная статья упрощена, почти без математики. Приложение носит технический характер и предназначено для читателей с физико-математическим образованием.