Группа изометрии
В математике метрического группа изометрий пространства — это набор всех биективных изометрий (то есть биективных, сохраняющих расстояние отображений ) метрического пространства на себя с функциональной композицией как групповой операцией. [1] Его тождественным элементом является тождественная функция . [2] Элементы группы изометрий иногда называют движениями пространства.
Каждая группа изометрий метрического пространства является подгруппой изометрий. В большинстве случаев он представляет собой возможный набор симметрий объектов/фигур в пространстве или функций, определенных в пространстве. См. группу симметрии .
Дискретная группа изометрий — это такая группа изометрий, что для каждой точки пространства множество образов точки под изометриями представляет собой дискретное множество .
В псевдоевклидовом пространстве метрика заменяется изотропной квадратичной формой ; преобразования, сохраняющие эту форму, иногда называют «изометриями», и тогда говорят, что совокупность их образует группу изометрий псевдоевклидова пространства.
Примеры [ править ]
- Группа изометрий подпространства метрического пространства , состоящего из точек разностороннего треугольника, есть тривиальная группа . Аналогичным пространством для равнобедренного треугольника является циклическая группа порядка второго C 2 . Аналогичным пространством для равностороннего треугольника является D 3 , группа диэдра порядка 6 .
- Группа изометрий двумерной сферы — это ортогональная группа O(3). [3]
- Группа изометрий n -мерного евклидова пространства — это евклидова группа E( n ). [4]
- Группа изометрий модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости представляет собой проективную специальную унитарную группу PSU(1,1) .
- Группа изометрий полуплоской модели Пуанкаре гиперболической плоскости — PSL(2,R) .
- Группа изометрий пространства Минковского — это группа Пуанкаре . [5]
- Римановы симметрические пространства являются важными случаями, когда группа изометрий является группой Ли .
См. также [ править ]
- Группа точек
- Группы точек в двух измерениях
- Группы точек в трех измерениях
- Неподвижные точки групп изометрий в евклидовом пространстве
Ссылки [ править ]
- ^ Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (Третье изд.), Springer, p. 271, ISBN 978-0-387-72828-5 .
- ^ Бураго, Дмитрий; Бураго, Юрий; Иванов, Сергей (2001), Курс метрической геометрии , Аспирантура по математике , вып. 33, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. 75, ISBN 0-8218-2129-6 , МР 1835418 .
- ^ Бергер, Марсель (1987), Геометрия. II , Universitext, Берлин: Springer-Verlag, с. 281, номер домена : 10.1007/978-3-540-93816-3 , ISBN. 3-540-17015-4 , МР 0882916 .
- ^ Олвер, Питер Дж. (1999), Классическая теория инвариантов , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 44, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 44. 53, номер домена : 10.1017/CBO9780511623660 , ISBN 0-521-55821-2 , МР 1694364 .
- ^ Мюллер-Кирстен, Харальд Дж.В.; Видеманн, Армин (2010), Введение в суперсимметрию , Конспект мировых научных лекций по физике, том. 80 (2-е изд.), Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Pte. ООО, с. 22, номер домена : 10.1142/7594 , ISBN 978-981-4293-42-6 , МР 2681020 .