Группы точек в двух измерениях

В геометрии двумерная ) , группа точек или группа розеток — это группа геометрических симметрий ( изометрий которые удерживают хотя бы одну точку неподвижной в плоскости. Каждая такая группа является подгруппой ортогональной группы O(2), включая саму O(2). Ее элементами являются вращения и отражения, и каждая такая группа, содержащая только вращения, является подгруппой специальной ортогональной группы SO(2), включая саму SO(2). Эта группа изоморфна R/Z и первой унитарной группе U(1), группе, также известной как группа кругов .

Двумерные точечные группы важны как основа для осевых трехмерных точечных групп с добавлением отражений в осевой координате. Они также важны для симметрии организмов, таких как морские звезды и медузы , и частей организмов, таких как цветы .

Дискретные группы

Существует два семейства дискретных двумерных точечных групп, и они заданы параметром n , который является порядком группы вращений в группе.

Группа	Международный	Орбифолд	Коксетер		Заказ	Описание
С _н	н	n•	[н] ⁺		н	Циклический: n -кратных вращений. ^[1] Абстрактная группа Z _n , группа целых чисел при сложении по модулю n . ^{[ нужна ссылка ]}
Д _н	нм	*n•	[н]		22н	Диэдр: n -кратные повороты и n -кратные отражения. ^[1] Абстрактная группа Dih _n , группа диэдра .

Intl относится к обозначениям Германа-Могена или международным обозначениям, часто используемым в кристаллографии . В бесконечном пределе эти группы становятся одномерными группами прямых .

Если группа представляет собой симметрию двумерной решетки или сетки, то кристаллографическая ограничительная теорема ограничивает значение n до 1, 2, 3, 4 и 6 для обоих семейств. Таким образом, существует 10 двумерных кристаллографических точечных групп :

С ₁ , С ₂ , С ₃ , С ₄ , С ₆ ,
Д ₁ , Д ₂ , Д ₃ , Д ₄ , Д ₆

Группы могут быть построены следующим образом:

С _н . Генерируется элементом, также называемым Cn _, который соответствует повороту на угол 2π/ n . Его элементами являются E (тождество), C _n , C _n², ..., С _н^{п -1}, соответствующие углам поворота 0, 2π/ n , 4π/ n , ..., 2( n − 1)π/ n .
Д _н . Порождается элементом C _n и отражением σ. Его элементами являются элементы группы Cn _с элементами σ, Cn _σ , _Cn²σ, ..., C _н^{п -1}σ добавил. Эти дополнительные соответствуют отражениям от линий с углами ориентации 0, π/ n , 2π/ n , ..., ( n − 1)π/ n . Таким образом, D _n является полупрямым произведением C _n и группы (E,σ).

Все эти группы имеют отдельные абстрактные группы, за исключением C ₂ и D ₁ , которые имеют общую абстрактную группу Z ₂ . Все циклические группы абелевы или коммутативны, но только две группы диэдра: D ₁ ~ Z ₂ и D ₂ ~ Z ₂ ×Z ₂ . Фактически D3 _— наименьшая неабелева группа.

Для четного n символ Германа -Могена n m является сокращением полного символа n mm, как объяснено ниже. Буква n в символе HM обозначает n -кратное вращение, а буква m обозначает плоскости отражения или зеркала.

Паритет n	Полный международный	Линии отражения для правильного многоугольника
Даже н	н мм	вершина к вершине, центр края к центру края (2 семейства, 2 м)
Странный н	нм	от вершины до центра края (1 семейство, 1 м)

Более общие группы

Эти группы легко построить с помощью двумерных ортогональных матриц .

Непрерывная циклическая группа SO(2) или C∞ _и ее подгруппы имеют элементы, являющиеся матрицами вращения:

R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}

где SO(2) имеет любое возможное θ. Неудивительно, что SO(2) и ее подгруппы абелевы; сложение углов поворота коммутирует.

Для дискретных циклических групп _Cn элементы _Cn^к = R(2π k / n )

Непрерывная группа диэдра O(2) или D∞ _и ее подгруппы с отражениями имеют элементы, включающие не только матрицы вращения, но и матрицы отражений:

S(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{bmatrix}}

где O(2) имеет любое возможное θ. Однако единственные абелевы подгруппы O(2) с отражениями — это _D1 и _D2 .

Для дискретных групп диэдра _Dn элементы _Cn^кσ = S(2π k / n )

При использовании полярных координат связь этих групп с одномерными группами симметрии становится очевидной.

Типы подгрупп SO(2):

конечные циклические подгруппы C _n ( n ≥ 1); для каждого n существует одна группа изометрий абстрактного типа группы Z _n
конечно порожденные группы , каждая из которых изоморфна одному из видов Z ^м $\oplus$ Z _n порождается C _n и m независимыми вращениями с иррациональным числом оборотов, причем m , n ≥ 1; для каждой пары ( m , n ) существует бесчисленное множество групп изометрий, все тех же абстрактных групп; для пары (1, 1) группа циклическая.
другие счетные подгруппы. Например, для целого числа n группа, порожденная всеми вращениями на количество оборотов, равное отрицательной целой степени n.
бесчисленные подгруппы, включая сам SO(2)

Каждой подгруппе SO(2) соответствует несчетный класс подгрупп O(2), взаимно изоморфных как абстрактная группа: каждая из подгрупп в одном классе порождается первой упомянутой подгруппой и единственным отражением в линия, проходящая через начало координат. Это (обобщенные) группы диэдра , включая конечные D _n ( n ≥ 1) абстрактного типа группы Dih _n . Для n = 1 обычно используется обозначение C _s типа абстрактной группы Z ₂ .

В качестве топологических подгрупп O(2) замкнутыми являются только конечные группы изометрий, а также SO(2) и O(2).

Эти группы делятся на два отдельных семейства в зависимости от того, состоят ли они только из вращений или включают отражения . Циклические группы Cn _n (абстрактный тип группы Zn ₎ состоят из вращений на 360°/ и всех целочисленных кратных. Например, табурет на четырех ножках имеет группу симметрии C ₄ , состоящую из поворотов на 0°, 90°, 180° и 270°. Группа симметрии квадрата принадлежит к семейству групп диэдра D _n (абстрактный тип группы Dih _n ), включающему столько же отражений, сколько и вращений. Бесконечная вращательная симметрия круга также подразумевает симметрию отражения, но формально группа круга S ₁ отличается от Dih(S ₁ ), поскольку последняя явно включает отражения.

Бесконечная группа не обязательно должна быть непрерывной; например, у нас есть группа всех целых чисел, кратных повороту на 360°/ √ 2 , которая не включает поворот на 180°. В зависимости от применения однородность до произвольно высокого уровня детализации в поперечном направлении может считаться эквивалентной полной однородности в этом направлении, и в этом случае эти группы симметрии можно игнорировать.

C _n и D _n для n = 1, 2, 3, 4 и 6 можно комбинировать с трансляционной симметрией, иногда более чем одним способом. Таким образом, эти 10 групп дают начало 17 группам обоев .

Группы симметрии

Группы 2D-симметрии соответствуют группам изометрии, за исключением того, что симметрию по O(2) и SO(2) можно различить только в обобщенной концепции симметрии, применимой для векторных полей .

Кроме того, в зависимости от применения однородность до произвольно мелких деталей в поперечном направлении может считаться эквивалентной полной однородности в этом направлении. Это значительно упрощает категоризацию: мы можем ограничиться замкнутыми топологическими подгруппами O(2): конечными и O(2) ( круговая симметрия ), а также векторными полями SO(2).

Эти группы также соответствуют одномерным группам симметрии , если их обернуть в круг.

Комбинации с трансляционной симметрией

E (2) является полупрямым произведением O ( 2) и группы сдвигов T . Другими словами, O (2) является подгруппой E (2) , изоморфной фактор-группе E ( 2) по T :

( 2 )

\cong

Э (2) / Т

Существует «естественный» гомоморфизм сюръективной группы p : E (2) → E (2) /T , отправляющий каждый элемент g из E (2) в смежный класс T , которому принадлежит g , то есть: p ( g ) = gT , иногда называемый канонической проекцией E (2 ) на E (2) /T или O (2). Его ядро — T.

Для каждой подгруппы группы E (2) можно рассмотреть ее образ при p : точечную группу, состоящую из смежных классов, которым принадлежат элементы подгруппы, другими словами, точечную группу, полученную игнорированием трансляционных частей изометрий. Для каждой дискретной подгруппы E (2) в силу кристаллографической ограничительной теоремы эта точечная группа является либо для _n = 1 _{Cn, либо типа Dn} , 2 , 3, 4 или 6.

C _n и D _n для n = 1, 2, 3, 4 и 6 можно комбинировать с трансляционной симметрией, иногда более чем одним способом. Таким образом, эти 10 групп дают начало 17 группам обоев , а четыре группы с n = 1 и 2 также дают начало 7 группам фризов .

Для каждой из групп обоев p1, p2, p3, p4, p6 изображения под p всех групп изометрии (т.е. «проекции» на E (2) /T или O (2)) равны соответствующим C _п ; также две группы фризов соответствуют C ₁ и C ₂ .

Каждая группа изометрий p6m отображается в одну из точечных групп D6 _типа . Для остальных 11 групп обоев каждая группа изометрии сопоставляется с одной из групп точек типов D ₁ , D ₂ , D ₃ или D ₄ . Также пять групп фризов соответствуют D ₁ и D ₂ .

Для данной гексагональной решетки трансляции существуют две разные группы D ₃ , дающие начало P31m и p3m1. Для каждого из типов D ₁ , D ₂ и D ₄ различие между 3, 4 и 2 группами обоев соответственно определяется вектором трансляции, связанным с каждым отражением в группе: поскольку изометрии находятся в одном смежном классе независимо от поступательных составляющих, отражение и скользящее отражение от одного и того же зеркала находятся в одном смежном классе. Таким образом, группы изометрий, например, типа p4m и p4g, отображаются в точечные группы типа D ₄ .

Для данной группы изометрий сопряжения перевода в группе элементами группы порождают группу перевода (решетку ) — то есть подгруппу группы изометрии, которая зависит только от перевода, с которого мы начали, и точки группа, связанная с группой изометрии. Это связано с тем, что сопряжение перевода при скользящем отражении такое же, как и при соответствующем отражении: вектор перевода отражается.

Если группа изометрий содержит n -кратное вращение, то решетка имеет n -кратную симметрию для четных n и 2 n- кратную симметрию для нечетных n . Если в случае дискретной группы изометрий, содержащей сдвиг, применить это к сдвигу минимальной длины, то, учитывая векторную разность сдвигов в двух соседних направлениях, следует, что n ≤ 6, а для нечетного n что 2 n ≤ 6, следовательно, n = 1, 2, 3, 4 или 6 ( кристаллографическая ограничительная теорема ).

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Соломон, Рональд (2003). Абстрактная алгебра . Американское математическое общество. п. 40. ИСБН 978-0-8218-4795-4 .

Внешние ссылки

[1] , Геометрические преобразования и группы обоев: симметрии геометрических узоров (дискретные группы изометрий), Лэнс Драгер.
[2] Точечные группы и кристаллические системы, И-Шу Вэй, стр. 4–5.
Центр геометрии: 2.1 Формулы симметрии в декартовых координатах (два измерения)

[solomon-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Соломон, Рональд (2003). Абстрактная алгебра . Американское математическое общество. п. 40. ИСБН 978-0-8218-4795-4 .

[1]