Унитарная группа

В математике унитарная группа степени n , обозначаемая U( n ), представляет собой группу n × n с унитарных матриц размера групповой операцией умножения матриц . Унитарная группа является подгруппой общей линейной группы GL( n , C ) и имеет в качестве подгруппы специальную унитарную группу , состоящую из унитарных матриц с определителем 1.

В простом случае n = 1 группа U(1) соответствует группе кругов , состоящей из всех комплексных чисел с абсолютным значением 1 при умножении. Все унитарные группы содержат копии этой группы.

Унитарная группа U( n ) является вещественной группой Ли размерности n. ². Алгебра Ли U( n ) состоит из n × n косоэрмитовых матриц размера , со скобкой Ли заданной коммутатором .

Общая унитарная группа (также называемая группой унитарных подобий ) состоит из всех матриц A таких, что A ^∗A — ненулевое кратное единичной матрицы и просто произведение унитарной группы на группу всех положительных кратных единичной матрицы.

Унитарные группы также могут быть определены для полей, отличных от комплексных чисел. Гиперортогональная группа — архаичное название унитарной группы, особенно над конечными полями .

Свойства [ править ]

Поскольку определитель унитарной матрицы является комплексным числом с нормой $1$ , определитель дает групповой гомоморфизм

\det \colon \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1).

Ядром определителем этого гомоморфизма является множество унитарных матриц с $1$ . Эта подгруппа называется специальной унитарной группой и обозначается $SU(n)$ . Тогда мы имеем короткую точную последовательность групп Ли:

1\to \operatorname {SU} (n)\to \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1)\to 1.

Приведенное выше отображение $U(n)$ в $U(1)$ имеет раздел: мы можем рассматривать $U(1)$ как подгруппу $U(n)$ , диагональную с $e iθ$ в левом верхнем углу и $1$ на остальной части диагонали. Следовательно, $U(n)$ является полупрямым произведением U $(1)$ на $SU(n)$ .

Унитарная группа $U(n)$ не является абелевой при $n > 1$ . Центром λI U $(n)$ является множество скалярных матриц $λ$ с $\in U (1)$ ; это следует из леммы Шура . Тогда центр изоморфен $U(1)$ . Поскольку центр $U(n)$ является $1$ -мерной абелевой нормальной подгруппой U $(n)$ , унитарная группа не является полупростой , но она редуктивна .

Топология [ править ]

Унитарная группа U( n ) наделена относительной топологией как подмножество M( n , C ) , набора всех комплексных матриц размера n × n , которое само по себе гомеоморфно 2 n ²-мерное евклидово пространство .

Как топологическое пространство U( n ) одновременно компактно и связно . Чтобы показать, что U( n ) связна, напомним, что любую унитарную матрицу A можно диагонализовать другой унитарной S. матрицей Любая диагональная унитарная матрица должна иметь на главной диагонали комплексные числа с абсолютным значением 1. Поэтому мы можем написать

A=S\,\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.

Тогда путь ) от в U( n единицы к A определяется формулой

t\mapsto S\,\operatorname {diag} \left(e^{it\theta _{1}},\dots ,e^{it\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.

Унитарная группа не просто связна ; фундаментальная группа U( n ) является бесконечной циклической для всех n : ^[1]

\pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \mathbf {Z} .

Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что приведенное выше расщепление U( n ) как полупрямого произведения SU( n ) и U(1) индуцирует топологическую структуру произведения на U( n ), так что

\pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \pi _{1}(\operatorname {SU} (n))\times \pi _{1}(\operatorname {U} (1)).

Теперь первая унитарная группа U(1) топологически является кругом , который, как известно, имеет фундаментальную группу, изоморфную Z , тогда как $\operatorname {SU} (n)$ просто связано. ^[2]

Детерминантное отображение det: U( n ) → U(1) индуцирует изоморфизм фундаментальных групп, причем расщепление U(1) → U( n ) индуцирует обратное.

Группа Вейля U( n ) — это симметрическая группа Sn _: , действующая на диагональном торе путем перестановки элементов

\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\mapsto \operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{\sigma (1)}},\dots ,e^{i\theta _{\sigma (n)}}\right)

Связанные группы [ править ]

Объект 2 из 3 [ править ]

Унитарная группа — это трехкратное пересечение ортогональных , комплексных и симплектических групп :

\operatorname {U} (n)=\operatorname {O} (2n)\cap \operatorname {GL} (n,\mathbf {C} )\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} ).

Таким образом, унитарную структуру можно рассматривать как ортогональную структуру, комплексную структуру и симплектическую структуру, которые должны быть совместимыми (это означает, что используется один и тот же J в комплексной структуре и симплектической форме, и что этот J ортогонален). ; запись всех групп в виде матричных групп фиксирует J (ортогонален) и обеспечивает совместимость).

Фактически, это пересечение любых двух из этих трёх; таким образом, совместимая ортогональная и комплексная структура порождает симплектическую структуру и так далее. ^[3]^[4]

На уровне уравнений это можно увидеть следующим образом:

{\begin{array}{r|r}{\text{Symplectic}}&A^{\mathsf {T}}JA=J\\\hline {\text{Complex}}&A^{-1}JA=J\\\hline {\text{Orthogonal}}&A^{\mathsf {T}}=A^{-1}\end{array}}

Любые два из этих уравнений влекут за собой третье.

На уровне форм это можно увидеть, разложив эрмитову форму на действительную и мнимую части: действительная часть симметрична (ортогональна), а мнимая часть кососимметрична (симплектична) — и они связаны комплексным соотношением структура (которая является совместимостью). На почти кэлеровом многообразии это разложение можно записать как $h = g + iω$ , где $h$ — эрмитова форма, $g$ — риманова метрика , $i$ — почти комплексная структура , а $ω$ — почти симплектическая структура .

С точки зрения групп Ли это частично можно объяснить следующим образом: O(2 n ) — максимальная компактная подгруппа GL (2 n , R ) , а U( n ) — максимальная компактная подгруппа обеих GL( n , C ) и Sp(2 n ). Таким образом, пересечение O(2 n ) ∩ GL( n , C ) или O(2 n ) ∩ Sp(2 n ) является максимальной компактной подгруппой обеих из них, поэтому U( n ). С этой точки зрения неожиданным является пересечение GL( n , C ) ∩ Sp(2 n ) = U( n ) .

Специальные унитарные и группы проективные унитарные

Так же, как ортогональная группа O( n ) имеет специальную ортогональную группу SO( n ) в качестве подгруппы и проективную ортогональную группу PO( n ) в качестве фактора, а также проективную специальную ортогональную группу PSO( n ) в качестве подфактора , унитарная группа U( n ) связал с собой специальную унитарную группу SU( n ), проективную унитарную группу PU( n ) и проективную специальную унитарную группу PSU( n ). Они связаны коммутативной диаграммой справа; примечательно, что обе проективные группы равны: PSU( n ) = PU( n ) .

Вышеупомянутое относится к классической унитарной группе (над комплексными числами) – для унитарных групп над конечными полями аналогичным образом получаются специальные унитарные и проективные унитарные группы, но в общем случае $\operatorname {PSU} \left(n,q^{2}\right)\neq \operatorname {PU} \left(n,q^{2}\right)$ .

G-структура эрмитова почти :

На языке G-структур многообразие с U( n )-структурой является почти эрмитовым многообразием .

Обобщения [ править ]

С точки зрения теории Ли классическая унитарная группа является вещественной формой группы Штейнберга. ${}^{2}\!A_{n}$ , которая представляет собой алгебраическую группу , возникающую в результате комбинации автоморфизма диаграммы общей линейной группы (обращения диаграммы Дынкина An _, что соответствует обратному транспонированию) и автоморфизма поля расширения C / R (а именно комплексного сопряжения ). Оба этих автоморфизма являются автоморфизмами алгебраической группы, имеют порядок 2 и коммутируют, а унитарная группа является неподвижными точками автоморфизма произведения как алгебраической группы. Классическая унитарная группа является вещественной формой этой группы, соответствующей стандартной эрмитовой форме Ψ, которая положительно определена.

Это можно обобщить несколькими способами:

обобщение на другие эрмитовые формы дает неопределенные унитарные группы U( p , q ) ;
расширение поля может быть заменено любой сепарабельной алгеброй степени 2, особенно расширением степени 2 конечного поля;
обобщение на другие диаграммы дает другие группы лиева типа , а именно другие группы Стейнберга. ${}^{2}\!D_{n},{}^{2}\!E_{6},{}^{3}\!D_{4},$ (в дополнение к ${}^{2}\!A_{n}$ ) и группы Сузуки-Ри
${}^{2}\!B_{2}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!F_{4}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!G_{2}\left(3^{2n+1}\right);$
рассматривая обобщенную унитарную группу как алгебраическую группу, можно брать ее точки над различными алгебрами.

Неопределенные формы [ править ]

Аналогично неопределенным ортогональным группам , можно определить неопределенную унитарную группу , рассматривая преобразования, сохраняющие заданную эрмитову форму, не обязательно положительно определенную (но обычно считающуюся невырожденной). Здесь мы работаем с векторным пространством над комплексными числами.

Учитывая эрмитову форму Ψ в комплексном векторном пространстве V , унитарная группа U(Ψ) — это группа преобразований, сохраняющих форму: преобразование M такое, что Ψ( Mv , Mw ) = Ψ( v , w ) для всех v , ш ∈ V . В терминах матриц, представляющих форму матрицей, обозначаемой Φ, это говорит о том, что M ^∗Φ М знак равно Φ .

Так же, как и для симметричных форм над действительными числами, эрмитовы формы определяются сигнатурой и все унитарно конгруэнтны диагональной форме с p элементами, равными 1 на диагонали, и q элементами, равными −1. Предположение о невырожденности эквивалентно тому, что p + q = n . В стандартном базисе это представляется в виде квадратичной формы:

\lVert z\rVert _{\Psi }^{2}=\lVert z_{1}\rVert ^{2}+\dots +\lVert z_{p}\rVert ^{2}-\lVert z_{p+1}\rVert ^{2}-\dots -\lVert z_{n}\rVert ^{2}

и в симметричной форме:

\Psi (w,z)={\bar {w}}_{1}z_{1}+\cdots +{\bar {w}}_{p}z_{p}-{\bar {w}}_{p+1}z_{p+1}-\cdots -{\bar {w}}_{n}z_{n}.

Полученная группа обозначается U( p , q ) .

Конечные поля [ править ]

Над конечным полем с q = p ^р элементов F _q существует единственное поле квадратичного расширения F _{q ²}, с автоморфизмом порядка 2 $\alpha \colon x\mapsto x^{q}$ ( r -я степень автоморфизма Фробениуса ). Это позволяет определить эрмитову форму на F _{q ²} векторное пространство V как F _q -билинейное отображение $\Psi \colon V\times V\to K$ такой, что $\Psi (w,v)=\alpha \left(\Psi (v,w)\right)$ и $\Psi (w,cv)=c\Psi (w,v)$ для c ∈ Fq _². ^{[ нужны разъяснения ]}Кроме того, все невырожденные эрмитовы формы в векторном пространстве над конечным полем унитарно конгруэнтны стандартной форме, представленной единичной матрицей; то есть любая эрмитова форма унитарно эквивалентна

\Psi (w,v)=w^{\alpha }\cdot v=\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{q}v_{i}

где $w_{i},v_{i}$ представляют координаты w , v ∈ V в некотором конкретном F _{q ²}-базис n -мерного пространства V ( Grove 2002 , Thm. 10.3).

Таким образом, можно определить (единственную) унитарную группу размерности n для расширения F _{q ²}/ F _q , обозначаемый либо как U( n , q ) , либо U( n , q ²) в зависимости от автора. Подгруппа унитарной группы, состоящая из матриц определителя 1, называется специальной унитарной группой и обозначается SU( n , q ) или SU( n , q ²) . Для удобства в этой статье будет использоваться U( n , q ²) соглашение. Центр U( n , q ²) имеет порядок q + 1 и состоит из унитарных скалярных матриц, то есть матриц cI _V с $c^{q+1}=1$ . Центр специальной унитарной группы имеет порядок НОД( n , q + 1) и состоит из тех унитарных скаляров, которые также имеют порядок, делящий n . Фактор унитарной группы по ее центру называется проективной унитарной группой PU ( n , q ²) , а фактор специальной унитарной группы по ее центру есть проективная специальная унитарная группа PSU( n , q ²) . В большинстве случаев ( n > 1 и ( n , q ²) ∉ {(2, 2 ²), (2, 3 ²), (3, 2 ²)} ), SU( n , q ²) — совершенная группа и PSU( n , q ²) — конечная простая группа ( Grove 2002 , Thm. 11.22 и 11.26).

2 алгебры степени Сепарабельные

В более общем смысле, учитывая поле k степени 2 и сепарабельную k -алгебру K (которая может быть расширением поля, но не обязательно), можно определить унитарные группы относительно этого расширения.

Во-первых, существует единственный k -автоморфизм K $a\mapsto {\bar {a}}$ которая является инволюцией и фиксирует ровно k ( $a={\bar {a}}$ тогда и только тогда, когда a ∈ k ). ^[5] Это обобщает комплексное сопряжение и сопряжение конечных расширений полей степени 2 и позволяет определять эрмитовые формы и унитарные группы, как указано выше.

Алгебраические группы [ править ]

Уравнения, определяющие унитарную группу, представляют собой полиномиальные уравнения над k (но не над K ): для стандартной формы $Φ = I$ уравнения задаются в матрицах как $A * А = I$ , где $A^{*}={\bar {A}}^{\mathsf {T}}$ это сопряженное транспонирование . В другой форме они представляют собой $A * Ф А знак равно Ф$ . Таким образом, унитарная группа является алгебраической группой , точки которой над k -алгеброй R задаются формулой:

\operatorname {U} (n,K/k,\Phi )(R):=\left\{A\in \operatorname {GL} (n,K\otimes _{k}R):A^{*}\Phi A=\Phi \right\}.

Для расширения поля C / R и стандартной (положительно определенной) эрмитовой формы они дают алгебраическую группу с действительными и комплексными точками, заданными формулой:

{\begin{aligned}\operatorname {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {R} )&=\operatorname {U} (n)\\\operatorname {U} (n,\mathbf {C} /\mathbf {R} )(\mathbf {C} )&=\operatorname {GL} (n,\mathbf {C} ).\end{aligned}}

Фактически унитарная группа является линейной алгебраической группой .

Унитарная группа квадратичного модуля [ править ]

Унитарная группа квадратичного модуля является обобщением только что определенной линейной алгебраической группы U, которая включает в себя в качестве частных случаев множество различных классических алгебраических групп . Это определение восходит к тезису Энтони Бака. ^[6]

Чтобы определить его, нужно сначала определить квадратичные модули:

Пусть R — кольцо с антиавтоморфизмом J , $\varepsilon \in R^{\times }$ такой, что $r^{J^{2}}=\varepsilon r\varepsilon ^{-1}$ для всех r в R и $\varepsilon ^{J}=\varepsilon ^{-1}$ . Определять

{\begin{aligned}\Lambda _{\text{min}}&:=\left\{r\in R\ :\ r-r^{J}\varepsilon \right\},\\\Lambda _{\text{max}}&:=\left\{r\in R\ :\ r^{J}\varepsilon =-r\right\}.\end{aligned}}

Пусть $Λ \subseteq R$ — аддитивная подгруппа группы R , тогда Λ называется параметром формы , если $\Lambda _{\text{min}}\subseteq \Lambda \subseteq \Lambda _{\text{max}}$ и $r^{J}\Lambda r\subseteq \Lambda$ . Пара $(R, Λ)$ , такая что R — кольцо, а Λ — параметр формы, называется кольцом формы .

Пусть M — R -модуль и f — -полуторалинейная форма J на M (т. е. $f(xr,ys)=r^{J}f(x,y)s$ для любого $x,y\in M$ и $r,s\in R$ ). Определять $h(x,y):=f(x,y)+f(y,x)^{J}\varepsilon \in R$ и $q(x):=f(x,x)\in R/\Lambda$ , то определяет говорят, что Λ - квадратичную форму $(h, q)$ на M. f Квадратичный модуль над $(R, Λ)$ — это тройка $(M, h, q)$ такая, что M — R -модуль и $(h, q)$ — Λ-квадратичная форма.

Любому квадратичному модулю $(M, h, q)$ , определенному J -полуторалинейной формой f на M над кольцом форм $(R, Λ),$ можно сопоставить унитарную группу

U(M):=\{\sigma \in GL(M)\ :\ \forall x,y\in M,h(\sigma x,\sigma y)=h(x,y){\text{ and }}q(\sigma x)=q(x)\}.

Особый случай, когда $Λ = Λ max$ , с J любой нетривиальной инволюцией (т. е. $J\neq id_{R},J^{2}=id_{R}$ и $ε = -1$ возвращает «классическую» унитарную группу (как алгебраическую группу).

Полиномиальные инварианты [ править ]

Унитарные группы представляют собой автоморфизмы двух многочленов от действительных некоммутативных переменных:

{\begin{aligned}C_{1}&=\left(u^{2}+v^{2}\right)+\left(w^{2}+x^{2}\right)+\left(y^{2}+z^{2}\right)+\ldots \\C_{2}&=\left(uv-vu\right)+\left(wx-xw\right)+\left(yz-zy\right)+\ldots \end{aligned}}

Легко увидеть, что это действительные и мнимые части сложной формы. $Z{\overline {Z}}$ . Два инварианта по отдельности являются инвариантами O(2 n ) и Sp(2 n ). Вместе они составляют инварианты U( n ), которая является подгруппой обеих этих групп. Переменные должны быть некоммутативными в этих инвариантах, иначе второй полином будет тождественно нулю.

Классификационное пространство [ править ]

Классифицирующее пространство для U( n ) описано в статье Классификационное пространство для U( n ) .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Зал 2015 г., Предложение 13.11.
^ Зал 2015 г., Предложение 13.11.
^ Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (Второе изд.). Спрингер. п. 225 .
^ Баэз, Джон. «Симплектический, кватернионный, фермионный» . Проверено 1 февраля 2012 года .
^ Милн, Алгебраические группы и арифметические группы , с. 103
^ Бак, Энтони (1969), «О модулях с квадратичными формами», Алгебраическая K-теория и ее геометрические приложения (редакторы — Мосс RMF, Томас CB) Конспекты лекций по математике, Vol. 108, стр. 55-66, Спрингер. дои : 10.1007/BFb0059990

Ссылки [ править ]

Гроув, Ларри К. (2002), Классические группы и геометрическая алгебра , Аспирантура по математике , том. 39, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-2019-3 , МР: 1859189
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666

[1] Зал 2015 г., Предложение 13.11.

[2] Зал 2015 г., Предложение 13.11.

[3] Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (Второе изд.). Спрингер. п. 225 .

[4] Баэз, Джон. «Симплектический, кватернионный, фермионный» . Проверено 1 февраля 2012 года .

[5] Милн, Алгебраические группы и арифметические группы , с. 103

[6] Бак, Энтони (1969), «О модулях с квадратичными формами», Алгебраическая K-теория и ее геометрические приложения (редакторы — Мосс RMF, Томас CB) Конспекты лекций по математике, Vol. 108, стр. 55-66, Спрингер. дои : 10.1007/BFb0059990

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]