Классифицирующее пространство для U( n )

В математике классифицирующим пространством для унитарной группы U( n ) является пространство BU( n ) вместе с универсальным расслоением EU( n ), такое, что любое эрмитово расслоение на паракомпактном пространстве X является возвратом EU( n ). отображением X → BU( n ), единственным с точностью до гомотопии.

Это пространство с его универсальным расслоением можно построить либо как

грассманиан плоскостей в n - бесконечномерном комплексном гильбертовом пространстве ; или,
прямой предел с индуцированной топологией грассманианов плоскостей n .

Обе конструкции подробно описаны здесь.

Построение из бесконечного грассманиана

Полное пространство EU( n ) универсального расслоения определяется выражением

EU(n)=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\ :\ (e_{i},e_{j})=\delta _{ij},e_{i}\in H\right\}.

Здесь H обозначает бесконечномерное комплексное гильбертово пространство, e _i — векторы из H , а $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера . Символ $(\cdot ,\cdot )$ является внутренним продуктом на H . Таким образом, мы имеем, что EU( n ) — это пространство ортонормированных n -шкалов в H .

Групповое действие U( n ) на этом пространстве является естественным. Базовое пространство тогда

BU(n)=EU(n)/U(n)

и является множеством грассмановых n -мерных подпространств (или n -плоскостей) в H . То есть,

BU(n)=\{V\subset H\ :\ \dim V=n\}

так что V — n -мерное векторное пространство.

Случай линейных пучков

Для n = 1 имеем EU(1) = S ^∞, которое, как известно, является сжимаемым пространством . Тогда базовое пространство будет BU(1) = CP. ^∞, бесконечномерное комплексное проективное пространство . Таким образом, множество классов изоморфизма расслоений окружностей над многообразием M находится во взаимно однозначном соответствии с классами гомотопий отображений из M в CP. ^∞.

Также имеется отношение, что

BU(1)=PU(H),

то есть BU(1) — бесконечномерная проективная унитарная группа . См. эту статью для дополнительного обсуждения и свойств.

Для тора T , который абстрактно изоморфен U(1) × ... × U(1), но не обязательно должен иметь выбранную идентификацию, пишут BT .

Топологическая К-теория K ₀ (BT ) задается числовыми полиномами ; более подробная информация ниже.

Конструкция как индуктивный предел

Пусть F _n ( C ^к) — пространство ортонормированных семейств из n векторов в C ^к и пусть G _n ( C ^к) — грассманиан n -мерных субвекторных пространств C ^к. Общее пространство универсального расслоения можно считать прямым пределом F _n ( C ^к) при k → ∞, а базовое пространство является прямым пределом G _n ( C ^к) при k → ∞.

Срок действия конструкции

В этом разделе мы определим топологию EU( n ) и докажем, что EU( n ) действительно сжимаема.

Группа U( n ) действует свободно на F _n ( C ^к), а фактором является грассманиан G _n ( C ^к). Карта

{\begin{aligned}F_{n}(\mathbf {C} ^{k})&\longrightarrow \mathbf {S} ^{2k-1}\\(e_{1},\ldots ,e_{n})&\longmapsto e_{n}\end{aligned}}

является расслоением слоя F _{n −1} ( C ^{к -1}). Таким образом, потому что $\pi _{p}(\mathbf {S} ^{2k-1})$ тривиально и из-за длинной точной последовательности расслоения имеем

\pi _{p}(F_{n}(\mathbf {C} ^{k}))=\pi _{p}(F_{n-1}(\mathbf {C} ^{k-1}))

в любое время $p\leq 2k-2$ . Взяв k достаточно большим именно для $k>{\tfrac {1}{2}}p+n-1$ , мы можем повторить процесс и получить

\pi _{p}(F_{n}(\mathbf {C} ^{k}))=\pi _{p}(F_{n-1}(\mathbf {C} ^{k-1}))=\cdots =\pi _{p}(F_{1}(\mathbf {C} ^{k+1-n}))=\pi _{p}(\mathbf {S} ^{k-n}).

Эта последняя группа тривиальна при k > n + p . Позволять

EU(n)={\lim _{\to }}\;_{k\to \infty }F_{n}(\mathbf {C} ^{k})

— прямой предел всех F _n ( C ^к) (с индуцированной топологией). Позволять

G_{n}(\mathbf {C} ^{\infty })={\lim _{\to }}\;_{k\to \infty }G_{n}(\mathbf {C} ^{k})

— прямой предел всех G _n ( C ^к) (с индуцированной топологией).

Лемма: Группа $\pi _{p}(EU(n))$ тривиально для всех p ≥ 1.

Доказательство. Пусть γ : S ^п → EU( n ), поскольку S ^п компактен такой , , существует k что γ( S ^п) входит в F _n ( C ^к). Взяв k достаточно большим, мы видим, что γ гомотопно относительно базовой точки постоянному отображению. $\Box$

Кроме того, U( n ) свободно действует на EU( n ). Пространства F _n ( C ^к) и G _n ( C ^к) являются CW-комплексами . Можно найти разложение этих пространств на CW-комплексы такое, что разложение F _n ( C ^к), соотв. Г _н ( С ^к), индуцируется ограничением ограничения для F _n ( C ^{к +1}), соотв. Г _н ( С ^{к +1}). Таким образом, EU( n ) (а также G _n ( C ^∞)) является CW-комплексом. По теореме Уайтхеда и приведенной выше лемме EU( n ) сжимаема.

Когомологии BU( n )

Предложение : Кольцо когомологий $\operatorname {BU} (n)$ с коэффициентами в кольце $\mathbb {Z}$ целых чисел генерируется классами Черна : ^[1]

H^{*}(\operatorname {BU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{1},\ldots ,c_{n}].

Доказательство: сначала рассмотрим случай n = 1. В этом случае U(1) — это окружность S ¹ а универсальное расслоение — это S ^∞ → КП ^∞. Это хорошо известно ^[2] что когомологии CP ^к изоморфен $\mathbf {R} \lbrack c_{1}\rbrack /c_{1}^{k+1}$ , где c ₁ — класс Эйлера U(1)-расслоения S ^{2к 1 +} → КП ^к, и что инъекции CP ^к → КП ^{к +1}, при k ∈ N *, совместимы с этими представлениями когомологий проективных пространств. Это доказывает предложение для n = 1.

Существуют последовательности гомотопических слоев

\mathbb {S} ^{2n-1}\to BU(n-1)\to BU(n)

Конкретно, точка общего пространства $BU(n-1)$ задается точкой базового пространства $BU(n)$ классификация комплексного векторного пространства $V$ , вместе с единичным вектором $u$ в $V$ ; вместе они классифицируют $u^{\perp }<V$ в то время как разделение $V=(\mathbb {C} u)\oplus u^{\perp }$ , упрощенный $u$ , понимает карту $BU(n-1)\to BU(n)$ представляющая собой прямую сумму с $\mathbb {C} .$

Применяя последовательность Гайзина , получаем длинную точную последовательность

H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1)){\overset {\partial }{\longrightarrow }}H^{p+1}(BU(n))\longrightarrow \cdots

где $\eta$ является фундаментальным классом волокна $\mathbb {S} ^{2n-1}$ . По свойствам последовательности Гайзина ^{[ нужна ссылка ]}, $j^{*}$ является мультипликативным гомоморфизмом; по индукции, $H^{*}BU(n-1)$ генерируется элементами с $p<-1$ , где $\partial$ должно быть равно нулю, и, следовательно, где $j^{*}$ должно быть сюръективным. Отсюда следует, что $j^{*}$ должен всегда быть сюръективным: по универсальному свойству выбор колец полиномов прообраза для каждого генератора вызывает мультипликативное расщепление. Следовательно, по точности $\smile d_{2n}\eta$ всегда должно быть инъективным . Таким образом, мы имеем короткие точные последовательности, расщепляемые кольцевым гомоморфизмом

0\to H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1))\to 0

Таким образом, мы заключаем $H^{*}(BU(n))=H^{*}(BU(n-1))[c_{2n}]$ где $c_{2n}=d_{2n}\eta$ . На этом индукция завершена.

К-теория BU( n )

Рассмотрим топологическую комплексную K-теорию как теорию когомологий, представленную спектром $KU$ . В этом случае, $KU^{*}(BU(n))\cong \mathbb {Z} [t,t^{-1}][[c_{1},...,c_{n}]]$ , ^[3] и $KU_{*}(BU(n))$ это бесплатно $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]$ модуль включен $\beta _{0}$ и $\beta _{i_{1}}\ldots \beta _{i_{r}}$ для $n\geq i_{j}>0$ и $r\leq n$ . ^[4] В этом описании структура продукта на $KU_{*}(BU(n))$ происходит из структуры H-пространства $BU$ задается суммой Уитни векторных расслоений. Это произведение называется произведением Понтрягина .

Топологическая К-теория известна явно в терминах числовых симметричных многочленов .

K-теория сводится к вычислению K ₀ , поскольку K-теория является 2-периодической по теореме о периодичности Ботта , а BU( n ) является пределом комплексных многообразий, поэтому она имеет CW-структуру только с ячейками четных измерений, поэтому странная К-теория исчезает.

Таким образом $K_{*}(X)=\pi _{*}(K)\otimes K_{0}(X)$ , где $\pi _{*}(K)=\mathbf {Z} [t,t^{-1}]$ , где t — генератор Ботта.

K ₀ (BU(1)) — кольцо числовых многочленов от w , рассматриваемое как подкольцо H _∗ (BU(1); Q ) = Q [ w ], где w — элемент, двойственный тавтологическому расслоению.

Для n -тора K ₀ ( BT ^н) — числовые полиномы от n переменных. Отображение K ₀ (B T ^н) → K ₀ (BU( n )) находится на основании принципа расщепления , поскольку T ^н является максимальным тором U( n ). Карта представляет собой карту симметризации.

f(w_{1},\dots ,w_{n})\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})

и изображение можно идентифицировать как симметричные полиномы, удовлетворяющие условию целочисленности, которое

{n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}}f(k_{1},\dots ,k_{n})\in \mathbf {Z}

где

{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}

- полиномиальный коэффициент и $k_{1},\dots ,k_{n}$ содержит r различных целых чисел, повторяющихся $n_{1},\dots ,n_{r}$ раз соответственно.

Бесконечное классифицирующее пространство

Канонические включения $\operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)$ индуцировать канонические включения $\operatorname {BU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BU} (n+1)$ на соответствующих классификационных пространствах. Их соответствующие копределы обозначаются как:

\operatorname {U} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {U} (n);

\operatorname {BU} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BU} (n).

$\operatorname {BU}$ действительно является классифицирующим пространством $\operatorname {U}$ .

См. также

Примечания

^ Хэтчер 02, Теорема 4D.4.
^ Р. Ботт, Л.В. Ту - Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Тексты для аспирантов по математике 82, Springer
^ Адамс 1974, с. 49
^ Адамс 1974, с. 47

Ссылки

Дж. Ф. Адамс (1974), Стабильная гомотопия и обобщенная гомология , University of Chicago Press, ISBN 0-226-00524-0 Содержит расчет $KU^{*}(BU(n))$ и $KU_{*}(BU(n))$ .
С. Очанин; Л. Шварц (1985), «Замечание о генераторах комплексных кобордизмов», Math. З. , 190 (4): 543–557, doi : 10.1007/BF01214753 Содержит описание $K_{0}(BG)$ как $K_{0}(K)$ -комодуль для любой компактной связной группы Ли.
Л. Шварц (1983), «К-теория и стабильная гомотопия», диссертация , Парижский университет – VII. Явное описание $K_{0}(BU(n))$
А. Бейкер; Ф. Кларк; Н. Рэй; Л. Шварц (1989), «О куммеровых сравнениях и стабильной гомотопии BU », Пер. амер. Математика. Соц. , 316 (2), Американское математическое общество: 385–432, номер документа : 10.2307/2001355 , JSTOR 2001355.
Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79160-Х .
Митчелл, Стивен (август 2001 г.). Универсальные основные расслоения и классифицирующие пространства (PDF) .

Внешние ссылки

Классификация пространства в nLab
BU(n) на nLab

[1] Хэтчер 02, Теорема 4D.4.

[2] Р. Ботт, Л.В. Ту - Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Тексты для аспирантов по математике 82, Springer

[3] Адамс 1974, с. 49

[4] Адамс 1974, с. 47

[1]

[2]

[3]

[4]