Классифицирующее пространство для SU(n)

В математике классифицирующее пространство $\operatorname {BSU} (n)$ для специальной унитарной группы $\operatorname {SU} (n)$ является базовым пространством универсального $\operatorname {SU} (n)$ основной пакет $\operatorname {ESU} (n)\rightarrow \operatorname {BSU} (n)$ . Это означает, что $\operatorname {SU} (n)$ главные расслоения над комплексом CW с точностью до изоморфизма находятся в биекции с гомотопическими классами его непрерывных отображений в $\operatorname {BSU} (n)$ . Изоморфизм задается возвратом .

Определение

Существует каноническое включение комплексно-ориентированных грассманианов, заданное формулой ${\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k})\hookrightarrow {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$ . Его копредел:

$\operatorname {BSU} (n):={\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{\infty }):=\lim _{n\rightarrow \infty }{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k}).$

Поскольку вещественно ориентированные грассманианы можно выразить как однородное пространство следующим образом:

{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k})=\operatorname {SU} (n+k)/(\operatorname {SU} (n)\times \operatorname {SU} (k))

структура группы переносится на $\operatorname {BSU} (n)$ .

Простейшие классифицирующие пространства

С $\operatorname {SU} (1)\cong 1$ — тривиальная группа , $\operatorname {BSU} (1)\cong \{*\}$ — тривиальное топологическое пространство.

С $\operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)$ , у одного есть $\operatorname {BSU} (2)\cong \operatorname {BSp} (1)\cong \mathbb {H} P^{\infty }$ .

Классификация основных пакетов

Учитывая топологическое пространство $X$ набор $\operatorname {SU} (n)$ главные расслоения на нем с точностью до изоморфизма обозначаются $\operatorname {Prin} _{\operatorname {SU} (n)}(X)$ . Если $X$ является комплексом CW , то карта: ^[1]

[X,\operatorname {BSU} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {SU} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {ESU} (n)

является биективным .

Кольцо когомологий

когомологий Кольцо $\operatorname {BSU} (n)$ с коэффициентами в кольце $\mathbb {Z}$ целых чисел генерируется классами Черна : ^[2]

H^{*}(\operatorname {BSU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{2},\ldots ,c_{n}].

Бесконечное классифицирующее пространство

Канонические включения $\operatorname {SU} (n)\hookrightarrow \operatorname {SU} (n+1)$ индуцировать канонические включения $\operatorname {BSU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSU} (n+1)$ на соответствующих классификационных пространствах. Их соответствующие копределы обозначаются как: