Классифицирующее пространство для SO(n)

В математике классифицирующее пространство $\operatorname {BSO} (n)$ для специальной ортогональной группы $\operatorname {SO} (n)$ является базовым пространством универсального $\operatorname {SO} (n)$ основной пакет $\operatorname {ESO} (n)\rightarrow \operatorname {BSO} (n)$ . Это означает, что $\operatorname {SO} (n)$ главные расслоения над комплексом CW с точностью до изоморфизма находятся в биекции с гомотопическими классами его непрерывных отображений в $\operatorname {BSO} (n)$ . Изоморфизм задается возвратом .

Определение

Существует каноническое включение вещественно-ориентированных грассманианов, заданное формулой ${\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})\hookrightarrow {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$ . Его копредел: ^[1]

\operatorname {BSO} (n):=\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty }):=\lim _{k\rightarrow \infty }{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k}).

Поскольку вещественно ориентированные грассманианы можно выразить как однородное пространство следующим образом:

{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})=\operatorname {SO} (n+k)/(\operatorname {SO} (n)\times \operatorname {SO} (k))

структура группы переносится на $\operatorname {BSO} (n)$ .

Простейшие классифицирующие пространства

С $\operatorname {SO} (1)\cong 1$ — тривиальная группа , $\operatorname {BSO} (1)\cong \{*\}$ — тривиальное топологическое пространство.

С $\operatorname {SO} (2)\cong \operatorname {U} (1)$ , у одного есть $\operatorname {BSO} (2)\cong \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }$ .

Классификация основных пакетов

Учитывая топологическое пространство $X$ набор $\operatorname {SO} (n)$ главные расслоения на нем с точностью до изоморфизма обозначаются $\operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X)$ . Если $X$ является комплексом CW , то карта: ^[2]

[X,\operatorname {BSO} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {ESO} (n)

является биективным .

Кольцо когомологий

когомологий Кольцо $\operatorname {BSO} (n)$ с коэффициентами в поле $\mathbb {Z} _{2}$ из двух элементов генерируется классами Стифеля – Уитни : ^[3]^[4]

H^{*}(\operatorname {BSO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{2},\ldots ,w_{n}].

В более общем смысле результаты справедливы для любого кольца с характеристикой $\operatorname {char} =2$ .

Кольцо когомологий $\operatorname {BSO} (n)$ с коэффициентами в поле $\mathbb {Q}$ рациональных чисел порождается классами Понтрягина и классом Эйлера :

H^{*}(\operatorname {BSO} (2n);\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n},e]/(p_{n}-e^{2}),

H^{*}(\operatorname {BSO} (2n+1);\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].

В более общем смысле результаты справедливы для любого кольца с характеристикой $\operatorname {char} \neq 2$ .

Бесконечное классифицирующее пространство

Канонические включения $\operatorname {SO} (n)\hookrightarrow \operatorname {SO} (n+1)$ индуцировать канонические включения $\operatorname {BSO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSO} (n+1)$ на соответствующих классификационных пространствах. Их соответствующие копределы обозначаются как:

\operatorname {SO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {SO} (n);

\operatorname {BSO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BSO} (n).

$\operatorname {BSO}$ действительно является классифицирующим пространством $\operatorname {SO}$ .

См. также

Литература

Милнор, Джон ; Сташефф, Джеймс (1974). Классы характеристик (PDF) . Издательство Принстонского университета. дои : 10.1515/9781400881826 . ISBN 9780691081229 .
Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79160-Х .
Митчелл, Стивен (август 2001 г.). Универсальные основные расслоения и классифицирующие пространства (PDF) .

Внешние ссылки

Классификация пространства в nLab
БСО(n) на nLab

Ссылки

^ Milnor & Stasheff 74, раздел 12.2 Ориентированный универсальный пакет на странице 151
^ «универсальный основной пакет» . нЛаб . Проверено 14 марта 2024 г.
^ Милнор и Сташефф, Теорема 12.4.
^ Хэтчер 02, пример 4D.6.

[1] Milnor & Stasheff 74, раздел 12.2 Ориентированный универсальный пакет на странице 151

[:36-2] «универсальный основной пакет» . нЛаб . Проверено 14 марта 2024 г.

[:9-3] Милнор и Сташефф, Теорема 12.4.

[:34-4] Хэтчер 02, пример 4D.6.

[1]

[2]

[3]

[4]