Классификация пространства

В математике , особенно в теории гомотопий , классифицирующее пространство BG топологической группы G представляет собой фактор слабо сжимаемого пространства EG . топологического пространства, все гомотопические группы которого тривиальны) по собственному действию G. (т. е свободному Он обладает тем свойством, что любое G главное расслоение над паракомпактным многообразием изоморфно образу главного расслоения. $EG\to BG$. Как будет объяснено позже, это означает, что классифицирующие пространства представляют собой многозначный функтор в гомотопической категории топологических пространств. Термин «классифицирующее пространство» также может использоваться для пространств, которые представляют собой многозначный функтор в категории топологических пространств , таких как пространство Серпинского . Это понятие обобщается понятием классификации топосов . Однако в оставшейся части статьи обсуждается более часто используемое понятие классификации пространства с точностью до гомотопии.

Для дискретной группы G а BG — это, грубо говоря, линейно-связное топологическое пространство X такое, что фундаментальная группа X изоморфна G , высшие гомотопические группы X BG тривиальны , то есть . — пространство Эйленберга–Маклейна , или K ( G , 1).

Мотивация

Примером классифицирующего пространства для циклической группы G является круг X бесконечной . Когда G — дискретная группа , другой способ указать условие на X состоит в том, что покрытие Y группы X стягиваемо универсальное . В этом случае карта проекции

$\pi \colon Y\longrightarrow X\$

становится расслоением со структурной группой G фактически главным расслоением для G. , Интерес к концепции классифицирующего пространства действительно возникает из-за того, что в этом случае Y обладает универсальным свойством по отношению к главным G -расслоениям в гомотопической категории . На самом деле это более фундаментально, чем условие исчезновения высших гомотопических групп: основная идея состоит в том, чтобы, учитывая G , найти такое сжимаемое пространство Y , на котором G действует свободно . ( Идея слабой эквивалентности гомотопической теории связывает эти две версии.) В случае примера с кругом речь идет о том, что мы замечаем, что бесконечная циклическая группа C действует свободно на вещественной прямой R , которая стягиваема. Принимая X как факторпространственный круг, мы можем рассматривать проекцию π от R = Y на X как спираль в геометрических терминах, подвергающуюся проекции из трех измерений на плоскость. Утверждается, что π обладает универсальным свойством среди основных C -расслоений; что любое главное C -расслоение определенным образом «происходит из» π.

Формализм

Более формальное утверждение учитывает, что может быть топологической группой (а не просто дискретной группой ), и что групповые действия G G считаются непрерывными; в отсутствие непрерывных действий с концепцией классифицирующего пространства можно разобраться в гомотопических терминах с помощью конструкции пространства Эйленберга – Маклейна . определение топологического пространства BG — классифицирующего пространства для главных G В теории гомотопий дается -расслоений — вместе с пространством EG, которое является тотальным пространством универсального расслоения над BG . То есть фактически обеспечивается непрерывное отображение

$\pi \colon EG\longrightarrow BG.$

Предположим, что гомотопическая категория комплексов CW с этого момента является основной категорией. Классифицирующее свойство , требуемое от BG, на самом деле относится к π. Мы должны быть в состоянии сказать, что для любого главного G -расслоения

$\gamma \colon Y\longrightarrow Z\$

над пространством Z существует классифицирующее отображение φ из Z в BG такое, что $\gamma$ — это обратный ход π вдоль φ. Говоря менее абстрактно, построение $\gamma$ путем «скручивания» должно быть сведено через φ к скручиванию, уже выраженному конструкцией π.

Чтобы эта концепция была полезной, очевидно, должна быть какая-то причина полагать, что такие пространства BG существуют. В ранних работах по классификации пространств были введены конструкции (например, конструкция стержня ), которые давали конкретные описания BG как симплициального комплекса для произвольной дискретной группы. Такие конструкции делают очевидной связь с групповыми когомологиями .

В частности, пусть EG — слабый симплициальный комплекс симплексы которого , n- представляют собой упорядоченные ( n +1)-кортежи. $[g_{0},\ldots ,g_{n}]$ элементов G . Такой n- симплекс присоединяется к (n−1) симплексам $[g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{i},\ldots ,g_{n}]$ точно так же к граням прикрепляется стандартный симплекс, где ${\hat {g}}_{i}$ означает, что эта вершина удалена. Комплекс ЭГ сократим. Группа G действует на EG умножением слева:

$g\cdot [g_{0},\ldots ,g_{n}]=[gg_{0},\ldots ,gg_{n}],$

и только тождество e переводит любой симплекс в себя. Таким образом, действие G на EG является действием накрывающего пространства, а фактор-отображение $EG\to EG/G$ — универсальное покрытие орбитального пространства $BG=EG/G$, а БГ — это $K(G,1)$.

В абстрактных терминах (которые изначально не использовались примерно в 1950 году, когда эта идея была впервые представлена) это вопрос о том, представим ли определенный функтор : контравариантный функтор из гомотопической категории в категорию множеств , определяемый формулой

h ( Z ) = множество классов изоморфизма главных G -расслоений на Z.

Известные для этого абстрактные условия ( теорема Брауна о представимости ) гарантируют, что результат, как теорема существования , будет утвердительным и не слишком трудным.

Примеры

1. Круг ​ $S^{1}$ является классифицирующим пространством бесконечной циклической группы $\mathbb {Z} .$ Общая площадь составляет $E\mathbb {Z} =\mathbb {R} .$
2. -тор n ​ $\mathbb {T} ^{n}$ является классифицирующим пространством для $\mathbb {Z} ^{n}$, свободная абелева группа ранга n . Общая площадь составляет $E\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}.$
3. Клин из n кругов является классифицирующим пространством свободной группы ранга n .
4. Замкнутая поверхность (т. е. компактная и не имеющая края) связная S рода не . менее 1 является классифицирующим пространством для своей фундаментальной группы $\pi _{1}(S).$
5. Замкнутое ( т. е. компактное и без края) связное гиперболическое многообразие M является классифицирующим пространством для своей фундаментальной группы. $\pi _{1}(M)$.
6. Конечный локально связный CAT(0) кубический комплекс является классифицирующим пространством своей фундаментальной группы .
7. Бесконечномерное проективное пространство $\mathbb {RP} ^{\infty }$ (прямой предел конечномерных проективных пространств) является классифицирующим пространством циклической группы $\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .$ Общая площадь составляет $E\mathbb {Z} _{2}=S^{\infty }$ (прямой предел сфер $S^{n}.$ В качестве альтернативы можно использовать гильбертово пространство с удаленным началом координат; он сжимаемый).
8. Пространство $B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}$ является классифицирующим пространством циклической группы $\mathbb {Z} _{n}.$ Здесь, $S^{\infty }$ Под множеством понимается некоторое подмножество бесконечномерного гильбертова пространства. $\mathbb {C} ^{\infty }$ с удаленным источником; считается, что циклическая группа действует на него умножением на корни из единицы.
9. Неупорядоченное конфигурационное пространство $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ — классифицирующее пространство группы кос Артина $B_{n}$, и упорядоченное конфигурационное пространство $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ является классифицирующим пространством для чистой группы кос Артина $P_{n}.$
10. (Неупорядоченное) конфигурационное пространство $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })$ является классифицирующим пространством для симметрической группы $S_{n}.$
11. Бесконечномерное комплексное проективное пространство $\mathbb {CP} ^{\infty }$ – классифицирующее пространство BS ¹ для круга S ¹ рассматривается как компактная топологическая группа.
12. Грассманиан ​ $Gr(n,\mathbb {R} ^{\infty })$ -плоскостей n в $\mathbb {R} ^{\infty }$ — классифицирующее пространство ортогональной группы O( n ) . Общая площадь составляет $EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })$, многообразие Штифеля -мерных n ортонормированных реперов в $\mathbb {R} ^{\infty }.$

Приложения

Это все еще оставляет вопрос о проведении эффективных вычислений с помощью BG ; например, теория характеристических классов по существу совпадает с вычислением групп когомологий BG , по крайней мере, в ограничительных терминах теории гомотопий, для интересных групп G , таких как группы Ли ( теорема Х. Картана ). Как показала периодичности Ботта , гомотопические группы BG теорема о также представляют фундаментальный интерес.

Примером классифицирующего пространства является то, что G циклическое второго порядка; тогда BG — реальное проективное пространство бесконечной размерности, что соответствует наблюдению, что EG можно рассматривать как сжимаемое пространство, возникающее в результате удаления начала координат в бесконечномерном гильбертовом пространстве , где G действует через v , идя к − v , и допускает гомотопию эквивалентность в выборе БГ . Этот пример показывает, что классификация пространств может быть сложной задачей.

Что касается дифференциальной геометрии ( теория Черна-Вейля ) и теории грассманианов , гораздо более практический подход к теории возможен для таких случаев, как унитарные группы , которые представляют наибольший интерес. Построение комплекса Тома MG показало, что пространства BG также вовлечены в теорию кобордизмов , так что они заняли центральное место в геометрических соображениях, выходящих из алгебраической топологии . Поскольку групповые когомологии могут (во многих случаях) определяться с помощью классифицирующих пространств, их также можно рассматривать как основу во многих гомологических алгебрах .

Обобщения включают обобщения для классификации слоений и классифицирующие топоны для логических теорий исчисления предикатов в интуиционистской логике, которые заменяют «пространство моделей».

См. также

• Классифицирующее пространство для O(n) , B O( n )
• Классифицирующее пространство для U(n) , B U( n )
• Классифицирующее пространство для SO(n)
• Классифицирующее пространство для SU(n)
• Классифицирующий стек
• Теорема Бореля
• Эквивариантные когомологии

Ссылки

• Мэй, JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии . Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-51183-2 .
• Классификационное пространство в n Lab
• «Классифицирующее пространство» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]