Стек частных

В алгебраической геометрии факторстек стек — это , который параметризует эквивариантные объекты. Геометрически он обобщает фактор схемы или многообразия по группе : скажем, фактор-многообразие было бы грубой аппроксимацией фактор-стека.

Это понятие имеет фундаментальное значение при изучении стеков: стек, возникающий в природе, часто либо сам по себе является фактор-стеком, либо допускает расслоение по фактор-стекам (например, стек Делиня–Мамфорда ). Фактор-стек также используется для построения другие стеки, такие как классификационные стеки .

Определение

Фактор-стек определяется следующим образом. Пусть G — аффинная гладкая групповая схема над схемой S , а X - схема — S на которой G. действует , Пусть частное складывается $[X/G]$ — категория над категорией S -схем:

объект над T является главным G -расслоением $P\to T$ вместе с эквивариантной картой $P\to X$ ;
стрела из $P\to T$ к $P'\to T'$ представляет собой расслоение (т. е. образует коммутативную диаграмму), совместимое с эквивариантными отображениями $P\to X$ и $P'\to X$ .

Предположим, что частное $X/G$ существует как алгебраическое пространство (например, по теореме Киля–Мори ). Каноническая карта

[X/G]\to X/G

,

который отправляет пакет P через T в соответствующую T -точку, ^[1] не обязательно должен быть изоморфизмом стопок; то есть пространство «X/G» обычно более грубое. Каноническое отображение является изоморфизмом тогда и только тогда, когда стабилизаторы тривиальны (в этом случае $X/G$ существует.) ^{[ нужна ссылка ]}

В общем, $[X/G]$ представляет собой стек Артина (также называемый алгебраическим стеком). Если стабилизаторы геометрических точек конечны и редуцированы, то это стек Делиня–Мамфорда .

Берт Тотаро ( 2004 ) показал: пусть X — нормальный нётеров алгебраический стек, группы стабилизаторов которого в закрытых точках аффинны. Тогда X является фактор-стеком тогда и только тогда, когда он обладает свойством разрешения ; т. е. каждый когерентный пучок является фактором векторного расслоения. Ранее Роберт Уэйн Томасон доказал, что фактор-стек обладает свойством разрешения.

Примеры

Эффективный факторорбифолд , например, $[M/G]$ где $G$ действие имеет только конечные стабилизаторы на гладком пространстве $M$ , является примером стека частных. ^[2]

Если $X=S$ с тривиальным действием $G$ (часто $S$ это точка), то $[S/G]$ называется классифицирующим стеком $G$ (по аналогии с пространством классифицирующим $G$ ) и обычно обозначается $BG$ . Теорема Бореля описывает кольцо когомологий классифицирующего стека.

Модули линейных пучков

Одним из основных примеров стеков частных является стек модулей. $B\mathbb {G} _{m}$ линейных связок $[*/\mathbb {G} _{m}]$ над ${\text{Sch}}$ , или $[S/\mathbb {G} _{m}]$ над ${\text{Sch}}/S$ для тривиального $\mathbb {G} _{m}$ -действие на $S$ . Для любой схемы (или $S$ -схема) $X$ , $X$ -точки стека модулей являются группоидом принципала $\mathbb {G} _{m}$ -связки $P\to X$ .

Модули линейных расслоений n-секций

Существует еще один тесно связанный стек модулей, заданный $[\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}]$ который представляет собой стек модулей линейных расслоений с $n$ -разделы. Это следует непосредственно из определения стеков частных, оцениваемых в баллах. Для схемы $X$ , $X$ -точки — это группоид, объекты которого заданы множеством

$[\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}](X)=\left\{{\begin{matrix}P&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\\X\end{matrix}}:{\begin{aligned}&P\to \mathbb {A} ^{n}{\text{ is }}\mathbb {G} _{m}{\text{ equivariant and}}\\&P\to X{\text{ is a principal }}\mathbb {G} _{m}{\text{-bundle}}\end{aligned}}\right\}$

Морфизм в верхней строке соответствует $n$ -разделы соответствующего линейного пучка над $X$ . Это можно найти, отметив, что $\mathbb {G} _{m}$ -эквивариантное отображение $\phi :P\to \mathbb {A} ^{1}$ и ограничивая его волокном $P|_{x}$ дает те же данные, что и раздел $\sigma$ комплекта. Это можно проверить, посмотрев на график и отправив точку $x\in X$ на карту $\phi _{x}$ , отметив набор $\mathbb {G} _{m}$ -эквивариантные отображения $P|_{x}\to \mathbb {A} ^{1}$ изоморфен $\mathbb {G} _{m}$ . Затем эта конструкция глобализируется путем склеивания аффинных диаграмм вместе, образуя глобальную часть пакета. С $\mathbb {G} _{m}$ -эквивариантные отображения в $\mathbb {A} ^{n}$ эквивалентно $n$ -кортеж из $\mathbb {G} _{m}$ -эквивариантные отображения в $\mathbb {A} ^{1}$ , результат имеет место.

Модули формальных групповых законов

Пример: ^[3] Пусть L — кольцо Лазара ; то есть, $L=\pi _{*}\operatorname {MU}$ . Тогда стек частных $[\operatorname {Spec} L/G]$ к $G$ ,

G(R)=\{g\in R[\![t]\!]|g(t)=b_{0}t+b_{1}t^{2}+\cdots ,b_{0}\in R^{\times }\}

,

называется стеком модулей формальных групповых законов и обозначается ${\mathcal {M}}_{\text{FG}}$ .

См. также

Гомотопический коэффициент
Стек модулей основных пакетов (который, грубо говоря, представляет собой бесконечный продукт классификации стеков.)
Групповая схема действия
Модули алгебраических кривых

Ссылки

^ Т - точка получается путем заполнения диаграммы $T\leftarrow P\to X\to X/G$ .
^ «Определение 1.7». Орбифолды и струнная топология . Кембриджские трактаты по математике. п. 4.
^ Взято из http://www.math.harvard.edu/~lurie/252xnotes/Lecture11.pdf.

Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969), «Неприводимость пространства кривых данного рода» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288 , doi : 10.1007/BF02684599 , MR 0262240
Тотаро, Берт (2004). «Свойство разрешения схем и стеков». Журнал чистой и прикладной математики . 577 : 1–22. arXiv : математика/0207210 . дои : 10.1515/crll.2004.2004.577.1 . МР2108211 .

Некоторые другие ссылки

Беренд, Кай (1991). Формула следа Лефшеца для стека модулей главных расслоений (PDF) (Диссертация). Калифорнийский университет, Беркли.
Эдидин, Дэн. «Заметки о построении пространства модулей кривых» (PDF) .

[1] Т - точка получается путем заполнения диаграммы $T\leftarrow P\to X\to X/G$ .

[2] «Определение 1.7». Орбифолды и струнная топология . Кембриджские трактаты по математике. п. 4.

[3] Взято из http://www.math.harvard.edu/~lurie/252xnotes/Lecture11.pdf.

[1]

[2]

[3]