Когерентный пучок
В математике, особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , когерентные пучки — это класс пучков, тесно связанных с геометрическими свойствами основного пространства. Определение когерентных пучков производится со ссылкой на пучок колец , который кодифицирует эту геометрическую информацию.
Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторных расслоений . В отличие от векторных расслоений, они образуют абелеву категорию и поэтому замкнуты при таких операциях, как взятие ядер , изображений и коядер . Квазикогерентные пучки являются обобщением когерентных пучков и включают локально свободные пучки бесконечного ранга.
Когомологии когерентного пучка — мощный метод, в частности, для изучения сечений данного когерентного пучка.
Определения
[ редактировать ]Квазикогерентный пучок в кольцевом пространстве это сноп из - модули , имеющие локальное представление, то есть каждая точка в имеет открытое окружение в котором существует точная последовательность
для некоторых (возможно, бесконечных) множеств и .
Связный пучок на кольцевом пространстве это сноп из - модули, удовлетворяющие следующим двум свойствам:
- имеет конечный тип над , то есть каждая точка в имеет открытое окружение в такой, что существует сюръективный морфизм для некоторого натурального числа ;
- для любого открытого набора , любое натуральное число и любой морфизм из -модули, ядро имеет конечный тип.
Морфизмы между (квази)когерентными пучками такие же, как морфизмы пучков -модули.
Дело о схемах
[ редактировать ]Когда является схемой, общие определения, приведенные выше, эквивалентны более явным. Сноп из -модуль квазикогерентен тогда и только тогда, когда над каждой открытой аффинной подсхемой ограничение изоморфен пучку связанный с модулем над . Когда является локально нетеровой схемой, когерентна тогда и только тогда , когда она квазикогерентна и модули выше можно считать конечно порожденным .
По аффинной схеме , имеется эквивалентность категорий из -модулей в квазикогерентные пучки, беря модуль к соответствующему пучку . Обратная эквивалентность принимает квазикогерентный пучок на к -модуль глобальных разделов .
Вот несколько дальнейших характеристик квазикогерентных пучков на схеме. [1]
Теорема — Пусть быть схемой и а -модуль на нем. Тогда следующие утверждения эквивалентны.
- оно квазикогерентно.
- Для каждой открытой аффинной подсхемы из , изоморфен как -модуль к связке связанный с каким-то -модуль .
- Имеется открытое аффинное покрытие из такой, что для каждого обложки, изоморфен пучку, ассоциированному с некоторым -модуль.
- Для каждой пары открытых аффинных подсхем из , естественный гомоморфизм
- является изоморфизмом.
- Для каждой открытой аффинной подсхемы из и каждый , письмо для открытой подсхемы где не равен нулю, естественный гомоморфизм
- является изоморфизмом. Гомоморфизм вытекает из универсального свойства локализации .
Характеристики
[ редактировать ]В произвольном окольцованном пространстве квазикогерентные пучки не обязательно образуют абелеву категорию. С другой стороны, квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию, и они чрезвычайно полезны в этом контексте. [2]
На любом окольцованном пространстве когерентные пучки образуют абелеву категорию, полную подкатегорию категории -модули. [3] (Аналогично категория когерентных модулей над любым кольцом является полной абелевой подкатегорией категории всех -модулей.) Таким образом, ядро, образ и коядро любого отображения когерентных пучков когерентны. двух Прямая сумма когерентных пучков когерентна; в более общем смысле, -модуль, являющийся расширением двух связных пучков, является когерентным. [4]
Подмодуль когерентного пучка называется когерентным, если он имеет конечный тип. Когерентный пучок всегда -модуль конечного представления , означающий, что каждая точка в имеет открытое окружение такое, что ограничение из к изоморфно коядру морфизма для некоторых натуральных чисел и . Если когерентен, то, наоборот, каждый пучок конечного представления над является последовательным.
Сноп колец называется когерентным, если оно когерентно, рассматриваемое как пучок модулей над собой. В частности, теорема Оки о когерентности утверждает, что пучок голоморфных функций в комплексном аналитическом пространстве представляет собой связный пучок колец. Основную часть доказательства составляет случай . Аналогично по локально нетеровской схеме , пучок структур представляет собой связный пучок колец. [5]
Основные конструкции связных пучков
[ редактировать ]- Ан -модуль на кольцеобразном пространстве называется локально свободным конечного ранга или векторным расслоением , если каждая точка из имеет открытое окружение такое, что ограничение изоморфна конечной прямой сумме копий . Если свободен того же ранга возле каждой точки , то векторное расслоение говорят, что он имеет ранг .
- Векторные расслоения в этом теоретико-пучковом смысле над схемой эквивалентны векторным расслоениям, определенным более геометрическим способом, как схема с морфизмом и с покрытием по открытым наборам с заданными изоморфизмами над такие, что два изоморфизма над пересечением отличаются линейным автоморфизмом. [6] (Аналогичная эквивалентность справедлива и для комплексных аналитических пространств.) Например, для векторного расслоения в этом геометрическом смысле соответствующий пучок определяется: по открытому множеству из , -модуль – множество сечений морфизма . Преимущество теоретико-пучковой интерпретации векторных расслоений состоит в том, что векторные расслоения (по локально нетеровой схеме) включаются в абелеву категорию когерентных пучков.
- Локально свободные шкивы оснащены стандартным -модульные операции, но они возвращают локально свободные пучки. [ нечеткий ]
- Позволять , Нётерово кольцо. Тогда векторные расслоения на являются в точности пучками, связанными с конечно порожденными проективными модулями над , или (что эквивалентно) конечно порожденным плоским модулям над . [7]
- Позволять , нетеровец -градуированное кольцо — проективная схема над нётеровым кольцом. . Затем каждый -оцененный -модуль определяет квазикогерентный пучок на такой, что пучок, связанный с -модуль , где представляет собой однородный элемент положительной степени и это место, где не исчезает.
- Например, для каждого целого числа , позволять обозначают градуированные -модуль, заданный . Затем каждый определяет квазикогерентный пучок на . Если генерируется как -алгебра по , затем является линейным расслоением (обратимым пучком) на и это -я тензорная степень . В частности, называется тавтологическим расслоением на проективном -космос.
- Простой пример когерентного пучка на которое не является векторным расслоением, задается коядром в следующей последовательности
- это потому что ограниченное геометрическим нулем двух многочленов, имеет двумерные слои и одномерные слои в других местах.
- Идеальные пучки : Если является замкнутой подсхемой локально нетеровой схемы , сноп всех регулярных функций, исчезающих на является последовательным. Аналогично, если — замкнутое аналитическое подпространство комплексного аналитического пространства , идеальный пучок является последовательным.
- Структурный пучок закрытой подсхемы локально нётеровской схемы можно рассматривать как связный пучок . Если быть точным, то это прямой пучок изображений , где это включение. Аналогично и для замкнутого аналитического подпространства комплексного аналитического пространства. Сноп имеет слой (определенный ниже) нулевой размерности в точках открытого множества , и слой размерности 1 в точках . Существует короткая точная последовательность когерентных пучков на :
- Большинство операций линейной алгебры сохраняют когерентные пучки. В частности, для когерентных пучков и на кольцеобразном пространстве , тензорных произведений пучок и пучок гомоморфизмов являются последовательными. [8]
- Простой непример квазикогерентного пучка дается расширением нулевым функтором. Например, рассмотрим для
- Поскольку этот пучок имеет нетривиальные стебли, но нулевое глобальное сечение, он не может быть квазикогерентным пучком. Это связано с тем, что квазикогерентные пучки в аффинной схеме эквивалентны категории модулей над основным кольцом, а присоединение происходит за счет взятия глобальных сечений.
Функциональность
[ редактировать ]Позволять — морфизм окольцованных пространств (например, морфизм схем ). Если представляет собой квазикогерентный пучок на , то прообраз -модуль (или откат ) является квазикогерентным на . [10] Для морфизма схем и связный пучок на , откат не является когерентным в полной общности (например, , который может быть некогерентным), но обратные связи когерентных пучков когерентны, если локально нетерова. Важным частным случаем является возврат векторного расслоения, которое является векторным расслоением.
Если является квазикомпактным квазиразделённым морфизмом схем и представляет собой квазикогерентный пучок на , затем прямая связка изображений (или pushforward ) является квазикогерентным на . [2]
Прямой образ связного связки часто не связен. Например, для поля , позволять быть аффинной линией над и рассмотрим морфизм ; тогда прямое изображение находится ли сноп на связанный с кольцом полиномов , что не является когерентным, поскольку имеет бесконечное измерение как -векторное пространство. С другой стороны, прямой образ когерентного пучка при правильном морфизме когерентен по результатам Грауэрта и Гротендика .
Локальное поведение когерентных пучков
[ редактировать ]Важная особенность когерентных пучков. заключается в том, что свойства в какой-то момент контролировать поведение в районе , больше, чем было бы верно для произвольного пучка. Например, лемма Накаямы гласит (на языке геометрии), что если представляет собой связный пучок на схеме , то волокно из в какой-то момент (векторное пространство над полем вычетов ) равен нулю тогда и только тогда, когда пучок равен нулю в некоторой открытой окрестности . Связанный с этим факт состоит в том, что размерность волокон когерентного пучка полунепрерывна сверху . [11] Таким образом, когерентный пучок имеет постоянный ранг на открытом множестве, в то время как ранг может резко возрастать на замкнутом подмножестве меньшей размерности.
В том же духе: связный пучок по схеме является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его стебель является свободным модулем над локальным кольцом за каждую точку в . [12]
В общей схеме невозможно определить, является ли когерентный пучок векторным расслоением только по его слоям (а не по стеблям). Однако в приведенной локально нетеровой схеме когерентный пучок является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его ранг локально постоянен. [13]
Примеры векторных расслоений
[ редактировать ]Для морфизма схем , позволять — диагональный морфизм , который является замкнутым погружением , если разделен на . Позволять быть идеальным снопом в . Тогда пучок дифференциалов можно определить как откат из к . Сечения этого пучка называются 1-формами на над , и их можно записать локально на как конечные суммы для обычных функций и . Если локально имеет конечный тип над полем , затем представляет собой когерентный пучок на .
Если все гладко , затем (значение ) — векторное расслоение над , называемое расслоения котангенсом . Тогда касательное расслоение определяется как двойственное расслоение . Для сгладить размера везде касательное расслоение имеет ранг .
Если — гладкая замкнутая подсхема гладкой схемы над , то существует короткая точная последовательность векторных расслоений на :
которое можно использовать как определение нормального расслоения к в .
Для плавной схемы над полем и натуральное число , векторное расслоение -формы i на определяется как -я внешняя степень коткасательного расслоения, . Для гладкого разнообразия размера над , канонический расслоение означает линейный пучок . Таким образом, сечения канонического расслоения являются алгебро-геометрическими аналогами объемных форм на . Например, сечение канонического расслоения аффинного пространства над можно записать как
где представляет собой многочлен с коэффициентами .
Позволять быть коммутативным кольцом и натуральное число. Для каждого целого числа , есть важный пример линейного расслоения в проективном пространстве над , называется . Чтобы определить это, рассмотрим морфизм -схемы
задано в координатах . (То есть, думая о проективном пространстве как о пространстве одномерных линейных подпространств аффинного пространства, отправьте ненулевую точку в аффинном пространстве на линию, которую оно охватывает.) Затем раздел над открытым подмножеством из определяется как регулярная функция на однородный по степени , это означает, что
как регулярные функции на ( . Для всех целых чисел и , существует изоморфизм линейных пучков на .
В частности, каждый однородный полином из степени над можно рассматривать как глобальный раздел над . Обратите внимание, что каждую замкнутую подсхему проективного пространства можно определить как нулевое множество некоторого набора однородных многочленов, следовательно, как нулевое множество некоторых сечений линейных расслоений. . [14] Это контрастирует с более простым случаем аффинного пространства, где замкнутая подсхема — это просто нулевое множество некоторого набора регулярных функций. Регулярные функции в проективном пространстве над являются просто «константами» (кольцо ), поэтому важно работать с линейными расслоениями .
Серр дал алгебраическое описание всех когерентных пучков в проективном пространстве, более тонкое, чем то, что происходит в аффинном пространстве. А именно, пусть — нётерово кольцо (например, поле) и рассмотрим кольцо полиномов как градуированное кольцо с каждым имеющую степень 1. Тогда каждое конечно порожденное градуированное -модуль имеет связанный связный пучок на над . Каждый связный пучок на возникает таким образом из конечно порожденного градуированного -модуль . (Например, линейный пучок пучок, связанный с -модуль с понижением его оценки на .) Но -модуль что дает заданный когерентный пучок на не является уникальным; он уникален только до изменения градуированными модулями, отличными от нуля лишь в конечном числе степеней. Точнее, абелева категория когерентных пучков на является фактором категории конечно порожденных градуированных -модули по подкатегории Серра модулей, отличных от нуля лишь в конечном числе степеней. [15]
Касательное расслоение проективного пространства над полем можно описать с помощью линейного расслоения . А именно, существует короткая точная последовательность, последовательность Эйлера :
Отсюда следует, что каноническое расслоение (двойственное расслоению детерминанта касательного расслоения) изоморфно . Это фундаментальный расчет алгебраической геометрии. Например, тот факт, что каноническое расслоение является отрицательным кратным обильного линейного расслоения означает, что проективное пространство является многообразием Фано . Для комплексных чисел это означает, что проективное пространство имеет метрику Кэлера с положительной кривизной Риччи .
Векторные расслоения на гиперповерхности
[ редактировать ]Рассмотрим гладкую степень гиперповерхность определяется однородным полиномом степени . Тогда существует точная последовательность
где вторая карта — это возврат дифференциальных форм, а первая карта отправляет
Обратите внимание, что эта последовательность говорит нам, что является конормальным пучком в . Дуализация этого дает точную последовательность
следовательно это обычный комплект в . Если мы воспользуемся тем фактом, что для данной точной последовательности
векторных расслоений с рангами , , , существует изоморфизм
линейных расслоений, то мы видим, что существует изоморфизм
показывая это
Конструкция Серра и векторные расслоения
[ редактировать ]Одним из полезных методов построения векторных расслоений ранга 2 является конструкция Серра. [16] [17] стр. 3 которое устанавливает соответствие между векторными расслоениями ранга 2 на гладком проективном многообразии и подмногообразия коразмерности 2 используя определенный -группа рассчитана на . Это задается когомологическим условием на линейном расслоении (см. ниже).
Соответствие в одну сторону задается следующим образом: для раздела мы можем связать исчезающий локус . Если является подмногообразием коразмерности 2, то
- Это локальное полное пересечение, то есть если мы возьмем аффинную диаграмму затем можно представить как функцию , где и
- Линейный пакет изоморфно каноническому расслоению на
В другом направлении, [18] для подмногообразия коразмерности 2 и линейный пучок такой, что
существует канонический изоморфизм
,
который является функториальным относительно включения коразмерности подразновидности. Более того, любой изоморфизм, заданный слева, соответствует локально свободному пучку в середине расширения справа. То есть для то есть изоморфизм, существует соответствующий локально свободный пучок ранга 2, который укладывается в короткую точную последовательность
Затем это векторное расслоение можно дополнительно изучить с использованием когомологических инвариантов, чтобы определить, стабильно оно или нет. Это составляет основу для изучения модулей стабильных векторных расслоений во многих конкретных случаях, например, на принципиально поляризованных абелевых многообразиях. [17] и поверхности К3 . [19]
Классы Чженя и алгебраическая K -теория
[ редактировать ]Векторный расслоение на гладком сорте над полем имеет классы Чженя в Чоу кольце , в для . [20] Они удовлетворяют тем же формальным свойствам, что и классы Чженя в топологии. Например, для любой короткой точной последовательности
векторных расслоений на , классы Черна даны
Отсюда следует, что классы Чженя векторного расслоения зависят только от класса в группе Гротендика . По определению для схемы , — фактор свободной абелевой группы на множестве классов изоморфизма векторных расслоений на по отношению, что для любой короткой точной последовательности, как указано выше. Хотя вообще сложно вычислить, алгебраическая K-теория предоставляет множество инструментов для его изучения, включая последовательность связанных групп для целых чисел .
Вариант — группа (или ), Гротендика на группа когерентных пучков . (В топологических терминах G -теория обладает формальными свойствами теории гомологий Бореля–Мура для схем, а K -теория является соответствующей теорией когомологий .) Естественный гомоморфизм является изоморфизмом, если представляет собой регулярную разделенную нётерову схему, в которой каждый когерентный пучок в этом случае имеет конечное разрешение векторными расслоениями. [21] Например, это дает определение классов Чженя когерентного пучка на гладком многообразии над полем.
В более общем смысле, нётерова схема. Говорят, что он обладает свойством разрешения, если каждый когерентный пучок на имеет сюръекцию из некоторого векторного расслоения на . Например, каждая квазипроективная схема над нетеровым кольцом обладает свойством резольвенты.
Применение свойства разрешения
[ редактировать ]Поскольку свойство разрешения гласит, что когерентный пучок на нётеровой схеме квазиизоморфен в производной категории комплексу векторных расслоений: мы можем вычислить полный класс Чженя с
Например, эта формула полезна для нахождения классов Чженя пучка, представляющего подсхему . Если взять проективную схему связанный с идеалом , затем
так как есть разрешение
над .
Гомоморфизм расслоения против гомоморфизма пучка
[ редактировать ]Когда векторные расслоения и локально свободные пучки конечного постоянного ранга используются взаимозаменяемо,необходимо проявлять осторожность, чтобы различать гомоморфизмы расслоений и гомоморфизмы пучков. В частности, данные векторные расслоения , по определению, гомоморфизм расслоения является схемным морфизмом над (т.е. ) такой, что для каждой геометрической точки в , является линейным отображением ранга, не зависящего от . Таким образом, он индуцирует пучковый гомоморфизм постоянного ранга между соответствующими локально свободными -модули (связки сдвоенных секций). Но может быть -модульный гомоморфизм, не возникающий таким образом; а именно те, которые не имеют постоянного ранга.
В частности, подгруппа является подпучком (т. е. является подпучком ). Но обратное может потерпеть неудачу; например, для эффективного делителя Картье на , является подпучком, но обычно не является подпучком (поскольку любой линейный пучок имеет только два подпучка).
Категория квазикогерентных пучков
[ редактировать ]Квазикогерентные пучки на любой фиксированной схеме образуют абелеву категорию. Габбер показал, что на самом деле квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию с особенно хорошим поведением — категорию Гротендика . [22] Квазикомпактная квазиразделенная схема. (например, алгебраическое многообразие над полем) определяется с точностью до изоморфизма абелевой категорией квазикогерентных пучков на , Розенбергом, обобщающим результат Габриэля . [23]
Когерентные когомологии
[ редактировать ]Фундаментальным техническим инструментом алгебраической геометрии является теория когомологий когерентных пучков. Хотя он был введен только в 1950-х годах, многие более ранние методы алгебраической геометрии поясняются языком пучковых когомологий, применяемым к когерентным пучкам. В общих чертах, когомологии когерентных пучков можно рассматривать как инструмент для создания функций с заданными свойствами; сечения линейных расслоений или более общих пучков можно рассматривать как обобщенные функции. В сложной аналитической геометрии когерентные когомологии пучков также играют основополагающую роль.
Среди основных результатов когомологий когерентных пучков - результаты о конечномерности когомологий, результаты об исчезновении когомологий в различных случаях, теоремы двойственности, такие как двойственность Серра , отношения между топологией и алгебраической геометрией, такие как теория Ходжа , и формулы для эйлеровых характеристик. когерентных пучков, таких как теорема Римана-Роха .
См. также
[ редактировать ]- Группа Пикарда
- Дивизор (алгебраическая геометрия)
- Рефлекторная связка
- Схема котировок
- Витой сноп
- Существенно конечное векторное расслоение
- Комплект основных частей
- Теорема реконструкции Габриэля – Розенберга
- Псевдокогерентный пучок
- Квазикогерентный пучок на алгебраическом стеке
Примечания
[ редактировать ]- ^ Мамфорд 1999 , гл. III, § 1, Теорема-определение 3.
- ^ Перейти обратно: а б Проект Stacks, тег 01LA .
- ^ Проект Stacks, тег 01BU .
- ^ Теплица 1955 , §13
- ^ Гротендик и Дьедонне, 1960 , следствие 1.5.2.
- ^ Хартсхорн 1977 , Упражнение II.5.18.
- ^ Проект Stacks, тег 00NV .
- ^ Теплица 1955 , §14
- ^ Хартшорн 1977
- ^ Проект Stacks, тег 01BG .
- ^ Хартсхорн 1977 , Пример III.12.7.2
- ^ Гротендик и Дьедонне 1960 , гл. 0, 5.2.7
- ^ Эйзенбуд 1995 , Упражнение 20.13.
- ^ Хартсхорн 1977 , следствие II.5.16
- ^ Проект Stacks, тег 01YR .
- ^ Серр, Жан-Пьер (1960–1961). «О проективных модулях» . Семинар Дюбрейля. Алгебра и теория чисел (на французском языке). 14 (1): 1–16.
- ^ Перейти обратно: а б Гулбрандсен, Мартин Г. (20 мая 2013 г.). «Векторные расслоения и монады на абелевых тройниках» (PDF) . Связь в алгебре . 41 (5): 1964–1988. arXiv : 0907.3597 . дои : 10.1080/00927872.2011.645977 . ISSN 0092-7872 .
- ^ Хартсхорн, Робин (1978). «Стабильные векторные расслоения ранга 2 на P3» . Математические Аннален . 238 : 229–280.
- ^ Хайбрехтс, Дэниел; Лен, Манфред (2010). Геометрия пространств модулей пучков . Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 123–128, 238–243. дои : 10.1017/cbo9780511711985 . ISBN 978-0-521-13420-0 .
- ^ Фултон 1998 , §3.2 и пример 8.3.3.
- ^ Фултон 1998 , B.8.3
- ^ Проект Stacks, тег 077K .
- ^ Антио 2016 , Следствие 4.2.
Ссылки
[ редактировать ]- Антио, Бенджамин (2016), «Теорема о реконструкции абелевых категорий скрученных пучков», Журнал чистой и прикладной математики , 712 : 175–188, arXiv : 1305.2541 , doi : 10.1515/crell-2013-0119 , MR 3466552
- Данилов, В.И. (2001) [1994], «Связный алгебраический пучок» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Грауэрт, Ганс ; Реммерт, Рейнхольд (1984), Когерентные аналитические пучки , Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-69582-7 , ISBN 3-540-13178-7 , МР 0755331
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для аспирантов по математике , том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN. 978-0-387-94268-1 , МР 1322960
- Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-0-387-98549-7 , МР 1644323
- Разделы 0.5.3 и 0.5.4 Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР 0217083 .
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
- Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает Мичиганские лекции (1974 г.) о кривых и их якобианах (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/b62130 . ISBN 354063293X . МР 1748380 .
- Онищик, А. Л. (2001) [1994], «Связная аналитическая связка» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Онищик, А. Л. (2001) [1994], «Связный пучок» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Серр, Жан-Пьер (1955), «Когерентные алгебраические пучки», Annals of Mathematics , 61 : 197–278, doi : 10.2307/1969915 , MR 0068874
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Авторы проекта Stacks, The Stacks Project
- Часть V Вакиль, Рави , Восходящее море