Стебель (пучок)

В математике стебель снопа конструкция , — это математическая фиксирующая поведение снопа вокруг заданной точки.

Мотивация и определение

Пучки определены на открытых множествах , но лежащее в их основе топологическое пространство $X$ состоит из точек. Разумно попытаться изолировать поведение пучка в одной фиксированной точке. $x$ из $X$ . Концептуально говоря, мы делаем это, рассматривая небольшие окрестности точки. Если мы посмотрим на достаточно малую окрестность $x$ , поведение пучка ${\mathcal {F}}$ в этой маленькой окрестности должно быть таким же, как поведение ${\mathcal {F}}$ в тот момент. Конечно, ни одна из окрестностей не будет достаточно маленькой, поэтому нам придется принять какой-то предел.

Точное определение таково: стебель ${\mathcal {F}}$ в $x$ , обычно обозначается ${\mathcal {F}}_{x}$ , является:

{\mathcal {F}}_{x}:=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U).

Здесь прямой предел индексируется по всем открытым множествам, содержащим $x$ , с отношением порядка, индуцированным обратным включением ( $U\leq V$ , если $U\supseteq V$ ). По определению (или универсальному свойству ) прямого предела элемент стебля представляет собой класс эквивалентности элементов $f_{U}\in {\mathcal {F}}(U)$ , где два таких участка $f_{U}$ и $f_{V}$ считаются эквивалентными , если ограничения двух участков совпадают в окрестности некоторой $x$ .

Альтернативное определение

Существует еще один подход к определению стебля, который полезен в некоторых контекстах. Выберите точку $x$ из $X$ , и пусть $i$ быть включением одноточечного пространства $\{x\}$ в $X$ . Затем стебель ${\mathcal {F}}_{x}$ то же самое, что и обратного образа пучок $i^{-1}{\mathcal {F}}$ . Обратите внимание, что единственные открытые множества одноточечного пространства $\{x\}$ являются $\{x\}$ и $\emptyset$ , и в пустом наборе нет данных. Над $\{x\}$ , однако мы получаем:

i^{-1}{\mathcal {F}}(\{x\})=\varinjlim _{U\supseteq \{x\}}{\mathcal {F}}(U)=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U)={\mathcal {F}}_{x}.

Примечания

Для некоторых категорий C прямой предел, используемый для определения стебля, может не существовать. Однако он существует для большинства категорий, встречающихся на практике, таких как категории множеств или большинства категорий алгебраических объектов, таких как абелевы группы или кольца , которые именно являются кополными .

Существует естественный морфизм ${\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}_{x}$ для любого открытого набора $U$ содержащий $x$ : требуется раздел $s$ в ${\mathcal {F}}(U)$ своему ростку , т. е. его классу эквивалентности в прямом пределе. Это обобщение обычного понятия о ростке , которое можно восстановить, рассматривая стебли пучка непрерывных функций на $X$ .

Примеры

Постоянные шкивы

Постоянный пучок ${\underline {S}}$ связанный с некоторым набором, $S$ , (или группа, кольцо и т. д.) — это пучок, для которого ${\underline {S}}_{x}=S$ для всех $x$ в $X$ .

Пучки аналитических функций

Например, в пучке аналитических функций на аналитическом многообразии росток функции в точке определяет функцию в малой окрестности точки. Это связано с тем, что росток записывает разложение функции в степенной ряд , а все аналитические функции по определению локально равны своему степенному ряду. Используя аналитическое продолжение , находим, что росток в точке определяет функцию на любом связном открытом множестве, где функция может быть определена всюду. (Это не означает, что все отображения ограничений этого пучка инъективны!)

Пучки гладких функций

Напротив, для пучка гладких функций на гладком многообразии ростки содержат некоторую локальную информацию, но ее недостаточно для восстановления функции в любой открытой окрестности. Например, пусть $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ быть функцией рельефа , которая тождественно равна единице в окрестности начала координат и тождественно нулю вдали от начала координат. В любой достаточно малой окрестности, содержащей начало координат, $f$ тождественно единица, поэтому в начале координат она имеет тот же зародыш, что и постоянная функция со значением 1. Предположим, что мы хотим восстановить $f$ из своего зародыша. Даже если мы заранее знаем, что $f$ является функцией выпуклости, росток не сообщает нам, насколько велика его выпуклость. Судя по тому, что говорит нам микроб, шишка может быть бесконечно широкой, то есть $f$ может равняться постоянной функции со значением 1. Мы не можем даже восстановить $f$ на небольшом открытом участке $U$ содержащий начало координат, поскольку мы не можем сказать, является ли выступ $f$ полностью вписывается в $U$ или оно настолько велико, что $f$ тождественно один в $U$ .

С другой стороны, ростки гладких функций могут различать постоянную функцию со значением один и функцию $1+e^{-1/x^{2}}$ , поскольку последняя функция не является тождественной ни в одной окрестности начала координат. Этот пример показывает, что микробы содержат больше информации, чем разложение функции в степенной ряд, поскольку степенной ряд функции $1+e^{-1/x^{2}}$ тождественно один. (Эта дополнительная информация связана с тем фактом, что стебель пучка гладких функций в начале координат является ненетеровым кольцом . Теорема Крулля о пересечении говорит, что этого не может произойти для нетерово кольца.)

Квазикогерентные пучки

По аффинной схеме $X=\mathrm {Spec} (A)$ , стебель квазисвязного снопа ${\mathcal {F}}$ соответствующий $A$ -модуль $M$ в точку $x$ соответствующий простому идеалу $p$ это просто локализация $M_{p}$ .

Сноп небоскреба

В любом топологическом пространстве пучок небоскребов связан с замкнутой точкой. $x$ и группа или кольцо $G$ имеет стебли $0$ выключенный $x$ и $G$ на $x$ — отсюда и название небоскреб . Эта идея имеет больше смысла, если принять общепринятую визуализацию отображения функций из некоторого пространства выше в пространство ниже; с помощью этой визуализации любая функция, отображающая $G\to x$ имеет $G$ расположен прямо над $x$ . Это же свойство справедливо для любой точки $x$ если рассматриваемое топологическое пространство является T ₁ пространством , поскольку каждая точка пространства T ₁ замкнута. Эта особенность лежит в основе построения резолюций Годемента , используемых, например, в алгебраической геометрии для получения функториальных инъективных резолюций пучков.

Свойства стебля

Как указано во введении, стебли отражают локальное поведение снопа. Поскольку предполагается, что пучок определяется своими локальными ограничениями (см. аксиому склейки ), можно ожидать, что стебли захватывают изрядное количество информации, которую кодирует пучок. Это действительно правда:

Морфизм пучков является изоморфизмом , эпиморфизмом или мономорфизмом соответственно тогда и только тогда, когда индуцированные морфизмы на всех слоях обладают одним и тем же свойством. (Однако неверно, что два пучка, все стебли которых изоморфны, также изоморфны, потому что между рассматриваемыми пучками может не быть отображения.)

В частности:

Пучок равен нулю (если мы имеем дело с пучками групп) тогда и только тогда, когда все слои пучка обращаются в нуль. Следовательно, точность данного функтора можно проверить на стеблях, что зачастую проще, поскольку можно переходить к все меньшим и меньшим окрестностям.

Оба утверждения неверны для предпучков . Однако стебли снопов и предснопов тесно связаны:

Учитывая предпучок ${\mathcal {P}}$ и его снопификация ${\mathcal {F}}={\mathcal {P}}^{+}$ , стебли ${\mathcal {P}}$ и ${\mathcal {F}}$ соглашаться. Это следует из того, что пучок ${\mathcal {F}}={\mathcal {P}}^{+}$ это образ ${\mathcal {P}}$ через левый примыкающий $(-)^{+}:\mathbf {Set} ^{{\mathcal {O}}(X)^{op}}\to Sh(X)$ (поскольку функтор расслоения остается сопряженным с функтором включения $Sh(X)\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {O}}(X)^{op}}$ ) и тот факт, что левые сопряженные сохраняют копределы.