Резолюция Годемента

Резолюция Годемента пучка . — это конструкция гомологической алгебры , которая позволяет рассматривать глобальную когомологическую информацию о пучке с точки зрения локальной информации, исходящей от его стеблей Это полезно для вычисления когомологий пучков . Его обнаружил Роджер Годеман .

Конструкция Годемента [ править ]

Учитывая топологическое пространство X (в более общем смысле, топос X с достаточным количеством точек) и пучок F на X, конструкция Годемана для F дает пучок $\operatorname {Gode} (F)$ построен следующим образом. Для каждой точки $x\in X$ , позволять $F_{x}$ обозначим стебель F в точке x . Учитывая открытый набор $U\subseteq X$ , определять

\operatorname {Gode} (F)(U):=\prod _{x\in U}F_{x}.

Открытое подмножество $U\subseteq V$ явно вызывает карту ограничений $\operatorname {Gode} (F)(V)\rightarrow \operatorname {Gode} (F)(U)$ , так $\operatorname {Gode} (F)$ является предпучком . легко проверить Аксиому пучка . Также легко доказывается, что $\operatorname {Gode} (F)$ является дряблым , что означает, что каждая карта ограничений сюръективна. Карта $\operatorname {Gode}$ можно превратить в функтор, поскольку отображение между двумя пучками порождает отображения между их стеблями. Наконец, существует каноническое отображение пучков $F\to \operatorname {Gode} (F)$ который отправляет каждую секцию к «продукту» своих зародышей . Это каноническое отображение является естественным преобразованием между тождественным функтором и $\operatorname {Gode}$ .

Другой способ просмотра $\operatorname {Gode}$ заключается в следующем. Позволять $X_{\text{disc}}$ — множество X с дискретной топологией. Позволять $p\colon X_{\text{disc}}\to X$ — непрерывное отображение, индуцированное тождеством. Он индуцирует сопряженные функторы прямого и обратного образа. $p_{*}$ и $p^{-1}$ . Затем $\operatorname {Gode} =p_{*}\circ p^{-1}$ , а единицей этого присоединения является описанное выше естественное преобразование.

Из-за этого присоединения существует ассоциированная монада в категории пучков на X . С помощью этой монады можно превратить пучок F в сращенный косимплициальный пучок. Этот дополненный косимплициальный пучок порождает расширенный комплекс коцепей, который определяется как разрешение Годемана F .

Говоря более приземленно, давайте $G_{0}(F)=\operatorname {Gode} (F)$ , и пусть $d_{0}\colon F\rightarrow G_{0}(F)$ обозначим каноническое отображение. Для каждого $i>0$ , позволять $G_{i}(F)$ обозначать $\operatorname {Gode} (\operatorname {coker} (d_{i-1}))$ , и пусть $d_{i}\colon G_{i-1}\rightarrow G_{i}$ обозначим каноническое отображение. Результирующая резольвента является дряблой резольвентой F являются пучковыми когомологиями F , а ее когомологии .

Ссылки [ править ]

Годемент, Роджер (1973), Алгебраическая топология и теория пучков , Париж: Hermann, ISBN 9782705612528 , МР 0345092
Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139644136 , ISBN 978-0-521-55987-4 , МР 1269324

Внешние ссылки [ править ]

Авторы проекта Stacks. «20.30 Годманская резолюция» .
Горески, Марк. «Введение в перверсивные пучки §.4.1. Резолюция Годемента» (PDF) . Институт перспективных исследований.