Функция удара

График функции удара $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),$ где $r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}$ и $\Psi (r)=e^{-1/(1-r^{2})}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.$

В математике ( функция удара также называемая тестовой функцией ) — это функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ который является одновременно гладким (в смысле наличия непрерывных производных всех порядков) и компактным носителем . Набор с всех функций рельефа доменом $\mathbb {R} ^{n}$ образует векторное пространство , обозначаемое $\mathrm {C} _{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ или $\mathrm {C} _{\mathrm {c} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$ Двойственное этому пространству пространство, наделенное подходящей топологией , есть пространство распределений .

Примеры [ править ]

Функция $\Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ данный

\Psi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&{\text{ if }}x\in (-1,1)\\0,&{\text{ if }}x\in \mathbb {R} \setminus \{(-1,1)\}\end{cases}}

является примером функции рельефа в одном измерении. Из конструкции ясно, что эта функция имеет компактный носитель, поскольку функция прямой имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда она имеет ограниченный замкнутый носитель. Доказательство гладкости следует тем же принципам, что и для связанной функции, обсуждаемой в статье «Неаналитическая гладкая функция» . Эту функцию можно интерпретировать как функцию Гаусса.

\exp \left(-y^{2}\right)

масштабирован для размещения на единичном диске: замена

y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}

соответствует отправке

x=\pm 1

к

y=\infty .

Простой пример (квадратной) функции рельефа в $n$ переменных получается путем взятия произведения $n$ копии приведенной выше функции Bump в одной переменной, поэтому

\Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).

Радиально-симметричная функция рельефа в $n$ переменные можно сформировать, взяв функцию $\Psi _{n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ определяется $\Psi _{n}(\mathbf {x} )=\Psi (|\mathbf {x} |)$ . Эта функция поддерживается для единичного шара с центром в начале координат.

Функции плавного перехода

неаналитическая гладкая функция f ( *x ).* Рассматриваемая в статье

Рассмотрим функцию

f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}

определено для каждого действительного числа x .

Здесь определен плавный переход g от 0 к 1.

Функция

g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,

имеет строго положительный знаменатель всюду на вещественной прямой, следовательно, g также гладкая. Кроме того, g ( x ) = 0 для x ≤ 0 и g ( x ) = 1 для x ≥ 1, следовательно, он обеспечивает плавный переход с уровня 0 на уровень 1 в единичном интервале [0, 1]. Чтобы иметь плавный переход в вещественном интервале [ a , b ] с a < b , рассмотрим функцию

\mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.

Для действительных чисел $a < b < c < d$ гладкая функция

\mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}

равен 1 на замкнутом интервале [ b , c ] и исчезает за пределами открытого интервала ( a , d ), следовательно, он может служить функцией рельефа.

Необходимо соблюдать осторожность, поскольку, например, принимая $\{a=-1\}<\{b=c=0\}<\{d=1\}$ , приводит к:

q(x)={\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}}

которая не является бесконечно дифференцируемой функцией (поэтому не является «гладкой»), поэтому ограничения $a < b < c < d$ должны строго выполняться.

Несколько интересных фактов о функции:

q(x,a)={\frac {1}{1+e^{\frac {a(1-2|x|)}{x^{2}-|x|}}}}

Это $q\left(x,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$ создавать плавные кривые перехода с «почти» постоянными краями наклона (ведет себя как наклонные прямые линии на ненулевом интервале измерения).

Правильным примером плавной функции Bump может быть:

u(x)={\begin{cases}1,{\text{if }}x=0,\\0,{\text{if }}|x|\geq 1,\\{\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}},{\text{otherwise}},\end{cases}}

Правильным примером функции плавного перехода будет:

w(x)={\begin{cases}{\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}&{\text{if }}0<x<1,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\\1&{\text{if }}x\geq 1,\end{cases}}

где можно было заметить, что его можно представить также через гиперболические функции :

{\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}={\frac {1}{2}}\left(1-\tanh \left({\frac {2x-1}{2(x^{2}-x)}}\right)\right)

Существование функций рельефа [ править ]

Можно построить функции рельефа «по спецификациям». Формально утверждается, что если $K$ — произвольный компакт в $n$ размеры и $U$ представляет собой открытое множество , содержащее $K,$ существует функция удара $\phi$ который $1$ на $K$ и $0$ вне $U.$ С $U$ можно принять за очень маленькую окрестность $K,$ это означает возможность построить функцию, которая $1$ на $K$ и быстро падает до $0$ вне $K,$ оставаясь при этом гладким.

Функции Bump, определенные в терминах свертки

Строительство происходит следующим образом. Рассматривается компактная окрестность $V$ из $K$ содержалась в $U,$ так $K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U.$ Характеристическая функция $\chi _{V}$ из $V$ будет равен $1$ на $V$ и $0$ вне $V,$ так что, в частности, это будет $1$ на $K$ и $0$ вне $U.$ Однако эта функция не является гладкой. Основная идея – сгладить $\chi _{V}$ немного, свертку взяв $\chi _{V}$ с смягчающим средством . Последняя представляет собой просто функцию удара с очень маленькой опорой, интеграл которой равен $1.$ Такой мягчитель можно получить, например, взяв функцию Bump $\Phi$ из предыдущего раздела и выполнив соответствующие масштабирования.

Выпуклые функции, определенные через функцию $c:\mathbb {R} \to [0,\infty )$ при поддержке $(-\infty ,0]$

Теперь подробно описана альтернативная конструкция, не использующая свертку. Все начинается с построения гладкой функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ что положительно на данном открытом подмножестве $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ и исчезает из $U.$ ^[1] Поддержка этой функции равна замыканию ${\overline {U}}$ из $U$ в $\mathbb {R} ^{n},$ так что если ${\overline {U}}$ компактен, то $f$ является ударной функцией.

Начните с любой плавной функции $c:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ который исчезает в отрицательных реалиях и положителен в положительных реальностях (т. е. $c=0$ на $(-\infty ,0)$ и $c>0$ на $(0,\infty ),$ где непрерывность слева требует $c(0)=0$ ); пример такой функции: $c(x):=e^{-1/x}$ для $x>0$ и $c(x):=0$ в противном случае. ^[1] Исправление открытого подмножества $U$ из $\mathbb {R} ^{n}$ и обозначим обычную евклидову норму через $\|\cdot \|$ (так $\mathbb {R} ^{n}$ наделен обычной евклидовой метрикой ). Следующая конструкция определяет гладкую функцию $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ это позитивно для $U$ и исчезает за пределами $U.$ ^[1] Так, в частности, если $U$ относительно компактна, то эта функция $f$ будет функцией удара.

Если $U=\mathbb {R} ^{n}$ тогда пусть $f=1$ в то время как если $U=\varnothing$ тогда пусть $f=0$ ; так что предположим $U$ не является ни тем, ни другим. Позволять $\left(U_{k}\right)_{k=1}^{\infty }$ быть открытым прикрытием $U$ открытыми шарами, где открытый шар $U_{k}$ имеет радиус $r_{k}>0$ и центр $a_{k}\in U.$ Тогда карта $f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ определяется $f_{k}(x)=c\left(r_{k}^{2}-\left\|x-a_{k}\right\|^{2}\right)$ — гладкая функция, положительная на $U_{k}$ и исчезает из $U_{k}.$ ^[1] Для каждого $k\in \mathbb {N} ,$ позволять

M_{k}=\sup \left\{\left|{\frac {\partial ^{p}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}(x)\right|~:~x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ and }}p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} {\text{ satisfy }}0\leq p_{i}\leq k{\text{ and }}p=\sum _{i}p_{i}\right\},

где эта верхняя грань не равна

+\infty

(так

M_{k}

является неотрицательным действительным числом), поскольку

\left(\mathbb {R} ^{n}\setminus U_{k}\right)\cup {\overline {U_{k}}}=\mathbb {R} ^{n},

все частные производные обращаются в нуль (равны

0

) в любом

x

вне

U_{k},

в то время как на компактном наборе

{\overline {U_{k}}},

значения каждой из (конечного числа) частных производных (равномерно) ограничены сверху некоторым неотрицательным действительным числом. ^{[примечание 1]} Сериал

f~:=~\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f_{k}}{2^{k}M_{k}}}

сходится равномерно на

\mathbb {R} ^{n}

к гладкой функции

f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}

это позитивно для

U

и исчезает из

U.

^[1] Более того, для любых целых неотрицательных чисел

p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} ,

^[1]

{\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}f~=~\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}M_{k}}}{\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}

где этот ряд также сходится равномерно на

\mathbb {R} ^{n}

(потому что всякий раз, когда

k\geq p_{1}+\cdots +p_{n}

тогда

k

^й абсолютное значение термина равно

\leq {\tfrac {M_{k}}{2^{k}M_{k}}}={\tfrac {1}{2^{k}}}

). На этом конструкция завершена.

Как следствие, учитывая два непересекающихся замкнутых подмножества $A,B$ из $\mathbb {R} ^{n},$ приведенная выше конструкция гарантирует существование гладких неотрицательных функций $f_{A},f_{B}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )$ такой, что для любого $x\in \mathbb {R} ^{n},$ $f_{A}(x)=0$ если и только если $x\in A,$ и аналогично, $f_{B}(x)=0$ если и только если $x\in B,$ тогда функция

h~:=~{\frac {f_{A}}{f_{A}+f_{B}}}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]

является гладким и для любого

x\in \mathbb {R} ^{n},

h(x)=0

если и только если

x\in A,

h(x)=1

если и только если

x\in B,

и

0<h(x)<1

если и только если

x\not \in A\cup B.

^[1] В частности,

h(x)\neq 0

если и только если

x\in \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A,

так что если вдобавок

U:=\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A

относительно компактен в

\mathbb {R} ^{n}

(где

A\cap B=\varnothing

подразумевает

B\subseteq U

) затем

h

будет функция плавного удара с поддержкой в

{\overline {U}}.

Свойства и использование [ править ]

Хотя функции рельефа являются гладкими, теорема тождества запрещает им быть аналитическими , если они не исчезают тождественно. Функции Bump часто используются в качестве смягчающих функций , функций плавного отсечения и для формирования плавных разбиений единицы . Это наиболее распространенный класс тестовых функций, используемых в анализе. Пространство рельефных функций замкнуто относительно многих операций. Например, сумма, произведение или свертка двух рельефных функций снова является ударной функцией, и любой дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами, примененный к ударной функции, создаст другую ударную функцию.

Если границы области определения функции Bump $\partial x,$ для выполнения требования «гладкости» он должен сохранять непрерывность всех своих производных, что приводит к следующему требованию на границах его области определения:

\lim _{x\to \partial x^{\pm }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=0,\,{\text{ for all }}n\geq 0,\,n\in \mathbb {Z}

Преобразование Фурье рельефной функции является (действительной) аналитической функцией, и ее можно расширить на всю комплексную плоскость: следовательно, она не может иметь компактный носитель, если она не равна нулю, поскольку единственной полной аналитической рельефной функцией является нулевая функция (см. Теорема Пэли–Винера и теорема Лиувилля ). Поскольку функция рельефа бесконечно дифференцируема, ее преобразование Фурье должно затухать быстрее, чем любая конечная степень $1/k$ для большой угловой частоты $|k|.$ ^[2] Преобразование Фурье конкретной функции рельефа

\Psi (x)=e^{-1/(1-x^{2})}\mathbf {1} _{\{|x|<1\}}

сверху может быть проанализирована методом перевала и асимптотически затухает как

|k|^{-3/4}e^{-{\sqrt {|k|}}}

для больших

|k|.

^[3]

См. также [ править ]

Функция обрезки — ядра интеграции для сглаживания резких особенностей.
Лапласиан индикатора – Предел последовательности гладких функций
Неаналитическая гладкая функция - математические функции, которые являются гладкими, но не аналитическими.
Пространство Шварца - функциональное пространство всех функций, производные которых быстро убывают.

Цитаты [ править ]

^ Частные производные ${\frac {\partial ^{p}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ являются непрерывными функциями, поэтому образ компактного подмножества ${\overline {U_{k}}}$ представляет собой компактное подмножество $\mathbb {R} .$ Супремум относится ко всем неотрицательным целым числам. $0\leq p=p_{1}+\cdots +p_{n}\leq k$ где, потому что $k$ и $n$ фиксированы, эта верхняя грань берется только за конечное число частных производных, поэтому $M_{k}<\infty .$

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г Неструев 2020 , стр. 13–16.
^ К. О. Мид и Л. М. Дельвс, «О скорости сходимости обобщенных разложений Фурье», IMA J. Appl. Математика. , том. 12, стр. 247–259 (1973). дои : 10.1093/имат/12.3.247 .
^ Стивен Г. Джонсон , Интегрирование в седловой точке C _∞ «выпуклых» функций , arXiv:1508.04376 (2015).

Ссылки [ править ]

Неструев, Джет (10 сентября 2020 г.). Гладкие многообразия и наблюдаемые . Тексты для аспирантов по математике . Том. 220. Чам, Швейцария: Springer Nature . ISBN 978-3-030-45649-8 . OCLC 1195920718 .

[2] Частные производные ${\frac {\partial ^{p}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ являются непрерывными функциями, поэтому образ компактного подмножества ${\overline {U_{k}}}$ представляет собой компактное подмножество $\mathbb {R} .$ Супремум относится ко всем неотрицательным целым числам. $0\leq p=p_{1}+\cdots +p_{n}\leq k$ где, потому что $k$ и $n$ фиксированы, эта верхняя грань берется только за конечное число частных производных, поэтому $M_{k}<\infty .$

[FOOTNOTENestruev202013–16-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г Неструев 2020 , стр. 13–16.

[3] К. О. Мид и Л. М. Дельвс, «О скорости сходимости обобщенных разложений Фурье», IMA J. Appl. Математика. , том. 12, стр. 247–259 (1973). дои : 10.1093/имат/12.3.247 .

[4] Стивен Г. Джонсон , Интегрирование в седловой точке C _∞ «выпуклых» функций , arXiv:1508.04376 (2015).

[1]

[примечание 1]

[2]

[3]