Функция удара

График функции удара $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),$ где $r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}$ и $\Psi (r)=e^{-1/(1-r^{2})}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.$

В математике функция удара (также называемая тестовой функцией ) — это функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ который является одновременно гладким (в смысле наличия непрерывных производных всех порядков) и компактным носителем . Набор с всех функций рельефа доменом $\mathbb {R} ^{n}$ образует векторное пространство , обозначаемое $\mathrm {C} _{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ или $\mathrm {C} _{\mathrm {c} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$ Двойственное топологией этому пространству пространство, наделенное подходящей , есть пространство распределений .

Примеры

Функция 1d Bump $\Psi (x).$

Функция $\Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ данный

$$\Psi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&{\text{ if }}x\in (-1,1)\\0,&{\text{ if }}x\in \mathbb {R} \setminus \{(-1,1)\}\end{cases}}$$

является примером функции рельефа в одном измерении. Из конструкции ясно, что эта функция имеет компактный носитель, поскольку функция прямой имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда она имеет ограниченный замкнутый носитель. Доказательство гладкости следует тем же принципам, что и для связанной функции, обсуждаемой в статье «Неаналитическая гладкая функция» . Эту функцию можно интерпретировать как функцию Гаусса. $\exp \left(-y^{2}\right)$ масштабирован для размещения на единичном диске: замена $y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}$ соответствует отправке $x=\pm 1$ к $y=\infty .$

Простой пример (квадратной) функции рельефа в $n$ переменных получается путем взятия произведения $n$ копии приведенной выше функции Bump в одной переменной, поэтому

$$\Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).$$

Радиально-симметричная функция рельефа в $n$ переменные можно сформировать, взяв функцию $\Psi _{n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ определяется $\Psi _{n}(\mathbf {x} )=\Psi (|\mathbf {x} |)$. Эта функция поддерживается для единичного шара с центром в начале координат.

Функции плавного перехода

неаналитическая гладкая функция f ( x ). Рассматриваемая в статье

Рассмотрим функцию

$f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}$

определено для каждого действительного числа x .

Здесь определен плавный переход g от 0 к 1.

Функция

$g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,$

имеет строго положительный знаменатель всюду на вещественной прямой, следовательно, g также гладкая. Кроме того, g ( x ) = 0 для x ≤ 0 и g ( x ) = 1 для x ≥ 1, следовательно, это обеспечивает плавный переход с уровня 0 на уровень 1 в единичном интервале [0, 1]. Чтобы иметь плавный переход в вещественном интервале [ a , b ] с a < b , рассмотрим функцию

$\mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.$

Для действительных чисел a < b < c < d гладкая функция

$\mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}$

равен 1 на замкнутом интервале [ b , c ] и исчезает за пределами открытого интервала ( a , d ), следовательно, он может служить функцией рельефа.

Необходимо соблюдать осторожность, поскольку, например, принимая $\{a=-1\}<\{b=c=0\}<\{d=1\}$, приводит к:

$q(x)={\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}}$

которая не является бесконечно дифференцируемой функцией (поэтому не является «гладкой»), поэтому ограничения a < b < c < d должны строго выполняться.

Несколько интересных фактов о функции:

$q(x,a)={\frac {1}{1+e^{\frac {a(1-2|x|)}{x^{2}-|x|}}}}$

Это $q\left(x,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$ создавать плавные кривые перехода с «почти» постоянными краями наклона (ведет себя как наклонные прямые линии на ненулевом интервале измерения).

Правильным примером плавной функции Bump может быть:

$u(x)={\begin{cases}1,{\text{if }}x=0,\\0,{\text{if }}|x|\geq 1,\\{\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}},{\text{otherwise}},\end{cases}}$

Правильным примером функции плавного перехода будет:

$w(x)={\begin{cases}{\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}&{\text{if }}0<x<1,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\\1&{\text{if }}x\geq 1,\end{cases}}$

где можно было заметить, что его можно представить также через гиперболические функции :

${\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}={\frac {1}{2}}\left(1-\tanh \left({\frac {2x-1}{2(x^{2}-x)}}\right)\right)$

Существование функций рельефа

Иллюстрация наборов в конструкции.

Можно построить функции рельефа «по спецификациям». Формально утверждается, что если $K$ — произвольный компакт в $n$ размеры и $U$ представляет собой открытое множество, содержащее $K,$ существует функция удара $\phi$ который $1$ на $K$ и $0$ за пределами $U.$ С $U$ можно принять за очень маленькую окрестность $K,$ это означает возможность построить функцию, которая $1$ на $K$ и быстро падает до $0$ за пределами $K,$ оставаясь при этом гладким.

Функции Bump, определенные в терминах свертки

Строительство происходит следующим образом. Рассматривается компактная окрестность $V$ из $K$ содержится в $U,$ так $K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U.$ Характеристическая функция $\chi _{V}$ из $V$ будет равен $1$ на $V$ и $0$ за пределами $V,$ так что, в частности, это будет $1$ на $K$ и $0$ за пределами $U.$ Однако эта функция не является гладкой. Основная идея – сгладить $\chi _{V}$ немного, свертку взяв $\chi _{V}$ с смягчающим средством . Последняя представляет собой просто функцию удара с очень маленькой опорой, интеграл которой равен $1.$ Такой мягчитель можно получить, например, взяв функцию Bump $\Phi$ из предыдущего раздела и выполнив соответствующие масштабирования.

Выпуклые функции, определенные через функцию $c:\mathbb {R} \to [0,\infty )$ при поддержке $(-\infty ,0]$

Теперь подробно описана альтернативная конструкция, не использующая свертку. Все начинается с построения гладкой функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ что положительно на данном открытом подмножестве $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ и исчезает из $U.$ Поддержка этой функции равна замыканию ${\overline {U}}$ из $U$ в $\mathbb {R} ^{n},$ так что если ${\overline {U}}$ компактен, то $f$ является ударной функцией.

Начните с любой плавной функции $c:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ который исчезает в отрицательных реалиях и положителен в положительных реальностях (т. е. $c=0$ на $(-\infty ,0)$ и $c>0$ на $(0,\infty ),$ где непрерывность слева требует $c(0)=0$); пример такой функции: $c(x):=e^{-1/x}$ для $x>0$ и $c(x):=0$ в противном случае. Исправление открытого подмножества $U$ из $\mathbb {R} ^{n}$ и обозначим обычную евклидову норму через $\|\cdot \|$ (так $\mathbb {R} ^{n}$ наделен обычной евклидовой метрикой ). Следующая конструкция определяет гладкую функцию $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ это позитивно для $U$ и исчезает за пределами $U.$ Так, в частности, если $U$ относительно компактна, то эта функция $f$ будет функцией удара.

Если $U=\mathbb {R} ^{n}$ тогда пусть $f=1$ в то время как если $U=\varnothing$ тогда пусть $f=0$; так что предположим $U$ не является ни тем, ни другим. Позволять $\left(U_{k}\right)_{k=1}^{\infty }$ быть открытым прикрытием $U$ открытыми шарами, где открытый шар $U_{k}$ имеет радиус $r_{k}>0$ и центр $a_{k}\in U.$ Тогда карта $f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ определяется $f_{k}(x)=c\left(r_{k}^{2}-\left\|x-a_{k}\right\|^{2}\right)$ — гладкая функция, положительная на $U_{k}$ и исчезает из $U_{k}.$ Для каждого $k\in \mathbb {N} ,$ позволять

$$M_{k}=\sup \left\{\left|{\frac {\partial ^{p}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}(x)\right|~:~x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ and }}p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} {\text{ satisfy }}0\leq p_{i}\leq k{\text{ and }}p=\sum _{i}p_{i}\right\},$$

где эта верхняя грань не равна $+\infty$ (так $M_{k}$ является неотрицательным действительным числом), поскольку $\left(\mathbb {R} ^{n}\setminus U_{k}\right)\cup {\overline {U_{k}}}=\mathbb {R} ^{n},$ все частные производные обращаются в нуль (равны $0$) в любом $x$ за пределами $U_{k},$ в то время как на компактном наборе ${\overline {U_{k}}},$ значения каждой из (конечного числа) частных производных (равномерно) ограничены сверху некоторым неотрицательным действительным числом. Серия

$$f~:=~\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f_{k}}{2^{k}M_{k}}}$$

сходится равномерно на $\mathbb {R} ^{n}$ к гладкой функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ это позитивно для $U$ и исчезает из $U.$ Более того, для любых целых неотрицательных чисел $p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} ,$

$${\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}f~=~\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}M_{k}}}{\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}$$

где этот ряд также сходится равномерно на $\mathbb {R} ^{n}$ (потому что всякий раз, когда $k\geq p_{1}+\cdots +p_{n}$ тогда $k$^й абсолютное значение термина равно $\leq {\tfrac {M_{k}}{2^{k}M_{k}}}={\tfrac {1}{2^{k}}}$). На этом конструкция завершена.

Как следствие, для данных двух непересекающихся замкнутых подмножеств $A,B$ из $\mathbb {R} ^{n},$ приведенная выше конструкция гарантирует существование гладких неотрицательных функций $f_{A},f_{B}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )$ такой, что для любого $x\in \mathbb {R} ^{n},$ $f_{A}(x)=0$ тогда и только тогда, когда $x\in A,$ и аналогично, $f_{B}(x)=0$ тогда и только тогда, когда $x\in B,$ тогда функция

$$h~:=~{\frac {f_{A}}{f_{A}+f_{B}}}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$$

является гладким и для любого $x\in \mathbb {R} ^{n},$ $h(x)=0$ тогда и только тогда, когда $x\in A,$ $h(x)=1$ тогда и только тогда, когда $x\in B,$ и $0<h(x)<1$ тогда и только тогда, когда $x\not \in A\cup B.$ В частности, $h(x)\neq 0$ тогда и только тогда, когда $x\in \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A,$ так что если вдобавок $U:=\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A$ относительно компактен в $\mathbb {R} ^{n}$ (где $A\cap B=\varnothing$ подразумевает $B\subseteq U$) затем $h$ будет функция плавного удара с поддержкой в ${\overline {U}}.$

Свойства и использование

Хотя функции рельефа являются гладкими, теорема тождества запрещает им быть аналитическими, если они не исчезают тождественно. Функции Bump часто используются в качестве смягчающих функций , функций плавного отсечения и для формирования плавных разбиений единицы . Это наиболее распространенный класс тестовых функций, используемых в анализе. Пространство Bump-функций замкнуто относительно многих операций. Например, сумма, произведение или свертка двух рельефных функций снова является ударной функцией, и любой дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами, примененный к ударной функции, создаст другую ударную функцию.

Если границы области определения функции Bump $\partial x,$ для выполнения требования «гладкости» он должен сохранять непрерывность всех своих производных, что приводит к следующему требованию на границах его области определения:

$$\lim _{x\to \partial x^{\pm }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=0,\,{\text{ for all }}n\geq 0,\,n\in \mathbb {Z}$$

Преобразование Фурье рельефной функции является (действительной) аналитической функцией, и ее можно расширить на всю комплексную плоскость: следовательно, она не может иметь компактный носитель, если она не равна нулю, поскольку единственной полной аналитической рельефной функцией является нулевая функция (см. Теорема Пэли–Винера и теорема Лиувилля ). Поскольку функция рельефа бесконечно дифференцируема, ее преобразование Фурье должно затухать быстрее, чем любая конечная степень $1/k$ для большой угловой частоты $|k|.$ Преобразование Фурье конкретной функции рельефа

$$\Psi (x)=e^{-1/(1-x^{2})}\mathbf {1} _{\{|x|<1\}}$$

сверху может быть проанализирована методом перевала и асимптотически затухает как

$$|k|^{-3/4}e^{-{\sqrt {|k|}}}$$

для больших $|k|.$

См. также

• Функция обрезки — ядра интеграции для сглаживания резких особенностей. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Лапласиан индикатора – Предел последовательности гладких функций
• Неаналитическая гладкая функция - математические функции, которые являются гладкими, но не аналитическими.
• Пространство Шварца - функциональное пространство всех функций, производные которых быстро убывают.

Ссылки

• Неструев, Джет (10 сентября 2020 г.). Гладкие многообразия и наблюдаемые . Тексты для аспирантов по математике . Том. 220. Чам, Швейцария: Springer Nature . ISBN  978-3-030-45649-8 . OCLC   1195920718 .