Лапласиан индикатора

В теории потенциала , разделе математики , лапласиан индикатора области D является обобщением производной дельта функции Дирака на более высокие измерения и отличен от нуля только поверхности D. на - Ее можно рассматривать как дельта-простую функцию поверхности . Это аналог второй производной ступенчатой ​​функции Хевисайда в одном измерении. Его можно получить, позволив оператору Лапласа работать с индикаторной функцией некоторой области D .

Лапласиан индикатора можно рассматривать как имеющий бесконечно положительные и отрицательные значения, если оценивать его очень близко к границе D. области С математической точки зрения, это не строго функция, а обобщенная функция или мера . Подобно производной дельта-функции Дирака в одном измерении, лапласиан индикатора имеет смысл только как математический объект, когда он стоит под знаком интеграла; т.е. это функция распределения . Как и при формулировке теории распределения, на практике оно рассматривается как предел последовательности гладких функций; можно осмысленно взять лапласиан функции рельефа , который является гладким по определению, и позволить функции удара приближаться к индикатору в пределе.

История

Аппроксимация отрицательной индикаторной функции эллипса на плоскости (слева), производной по нормали к границе (в центре) и ее лапласиана (справа). В пределе самый правый график переходит к (отрицательному) лапласиану индикатора. Чисто интуитивно правый график напоминает эллиптический замок со стеной замка внутри и рвом перед ним; в пределе стена и ров становятся бесконечно высокими и глубокими (и узкими).

Поль Дирак ввёл Дирака δ -функцию , как она стала известна, ещё в 1930 году. Одномерная δ -функция Дирака отлична от нуля только в одной точке. Аналогично, многомерное обобщение, как оно обычно делается, не равно нулю только в одной точке. В декартовых координатах d -мерная δ -функция Дирака является произведением d одномерных δ -функций; по одному для каждой декартовой координаты (см., например, обобщения дельта-функции Дирака ).

Однако возможно и другое обобщение. Нулевая точка в одном измерении может рассматриваться как граница положительной полулинии. Функция 1 _{x >0} равна 1 на положительной полуоси и нулю в противном случае и также известна как ступенчатая функция Хевисайда . -функция Дирака Формально δ и ее производная (т.е. одномерная поверхностная дельта-простая функция ) можно рассматривать как первую и вторую производные ступенчатой ​​функции Хевисайда, т.е. ∂ _x 1 _{x >0} и $\partial _{x}^{2}\mathbf {1} _{x>0}$.

Аналогом ступенчатой ​​функции в более высоких измерениях является индикаторная функция , которую можно записать как 1 _{x ∈ D} , где D — некоторая область определения. Индикаторную функцию еще называют характеристической функцией. По аналогии с одномерным случаем следующие многомерные обобщения δ -функции Дирака и ее производной: были предложены

${\begin{aligned}\delta (x)&\to -n_{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D},\\\delta '(x)&\to \nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}.\end{aligned}}$

Здесь n — вектор внешней нормали . -функция Дирака Здесь δ обобщается до поверхностной дельта-функции на границе некоторой области D в измерениях d ≥ 1. Это определение дает обычный одномерный случай, когда областью определения считается положительная полулиния. Оно равно нулю, за исключением границы области D (где оно бесконечно), и оно интегрируется с общей площадью поверхности, окружающей D , как показано ниже .

Одномерная δ' -функция Дирака обобщается до многомерной поверхностной дельта-простой функции на границе некоторой области D в измерениях d ≥ 1. В одном измерении, приняв D обычную одномерную δ' равным положительной полупрямой, можно восстановить -функцию.

И нормальная производная индикатора, и лапласиан индикатора поддерживаются поверхностями , а не точками . Это обобщение полезно, например, в квантовой механике, поскольку поверхностные взаимодействия могут привести к граничным условиям при d > 1, а точечные взаимодействия - нет. Естественно, что точечное и поверхностное взаимодействия совпадают при d =1. Как поверхностные, так и точечные взаимодействия имеют долгую историю в квантовой механике, и существует обширная литература по так называемым поверхностным дельта-потенциалам или дельта-сферным взаимодействиям. Поверхностные дельта-функции используют одномерную δ -функцию Дирака, но как функцию радиальной координаты r , например δ( r − R ), где R — радиус сферы.

Хотя производные индикаторной функции кажутся плохо определенными, они могут быть формально определены с использованием теории распределений или обобщенных функций : можно получить четко определенный рецепт, постулируя, что, например, лапласиан индикатора определяется двумя интегрированиями: частей , когда оно стоит под знаком интеграла. В качестве альтернативы индикатор (и его производные) можно аппроксимировать с помощью функции рельефа (и ее производных). Тогда предел, при котором (гладкая) функция рельефа приближается к индикаторной функции, должен быть вынесен за пределы интеграла.

Дельта-простая функция поверхности Дирака

В этом разделе будет доказано, что лапласиан индикатора является поверхностной дельта-простой функцией . Поверхностная дельта-функция будет рассмотрена ниже.

Во-первых, для функции f в интервале ( a , b ) вспомните фундаментальную теорему исчисления

$\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}\,dx={\underset {x\nearrow b}{\lim }}f(x)-{\underset {x\searrow a}{\lim }}f(x),$

предполагая, что f локально интегрируемо. Теперь, если a < b, эвристически следует, что

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial ^{2}\mathbf {1} _{a<x<b}}{\partial x^{2}}}\,f(x)\;dx&=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathbf {1} _{a<x<b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle {\Big (}{\underset {x\nearrow b}{\lim }}-{\underset {x\searrow a}{\lim }}{\Big )}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}.\end{aligned}}$

Здесь 1 _{a < x < b} – индикаторная функция области a < x < b . Индикатор равен единице, если условие в его нижнем индексе выполнено, и нулю в противном случае. В этом вычислении два интегрирования по частям (в сочетании с фундаментальной теоремой исчисления, как показано выше) показывают, что первое равенство выполнено; граничные члены равны нулю, когда a и b конечны или когда f обращается в нуль на бесконечности. Последнее равенство показывает сумму внешних нормальных производных, где сумма находится по граничным точкам a и b и где знаки следуют от внешнего направления (т. е. положительные для b и отрицательные для a ). Хотя производных индикатора формально не существует, следование обычным правилам частичного интегрирования дает «правильный» результат. При рассмотрении конечной d -мерной области D ожидается, что сумма по внешним нормальным производным станет интегралом , что можно подтвердить следующим образом:

${\begin{aligned}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx&=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\int _{D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\oint _{\partial D}\,{\underset {x\to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{x}f(x)\;d\beta .\end{aligned}}$

где предел состоит в том, что x приближается к поверхности β изнутри области D , n _β — единичный вектор, нормаль к поверхности β, а ∇ _x теперь является оператором многомерного градиента. Как и раньше, первое равенство следует за двумя интегрированиями по частям (в более высоких измерениях это происходит по второму тождеству Грина ), где граничные члены исчезают, пока область D конечна или если f обращается в нуль на бесконечности; например, и 1 _{x ∈ D} , и ∇ _x 1 _{x ∈ D} равны нулю при вычислении на «границе» R ^д когда область D конечна. Третье равенство следует из теоремы о дивергенции и снова показывает сумму (или, в данном случае, интеграл) внешних нормальных производных по всем граничным местоположениям. Теорема о расходимости справедлива для кусочно-гладких областей D , и, следовательно, D должна быть кусочно-гладкой.

Таким образом, поверхностная дельта-простая функция (она же δ'- функция Дирака) существует на кусочно гладкой поверхности и эквивалентна лапласиану индикаторной функции области D, охватываемой этой кусочно гладкой поверхностью. Естественно, что разница между точкой и поверхностью исчезает в одном измерении.

В электростатике поверхностный диполь (или потенциал двойного слоя ) можно смоделировать с помощью предельного распределения лапласиана индикатора.

Приведенный выше расчет основан на исследованиях интегралов по путям в квантовой физике.

Дельта-функция поверхности Дирака

В этом разделе будет доказано, что (внутренняя) нормальная производная индикатора является поверхностной дельта-функцией .

Для конечной области D или когда f следует обращается в нуль на бесконечности, из теоремы о расходимости , что

$\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\left(\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\right)\;dx=0.$

По правилу произведения отсюда следует, что

$\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx+\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx=-2\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.$

Как следует из анализа приведенного выше раздела , два члена в левой части равны, и, следовательно,

$\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta =-\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.$

Градиент индикатора исчезает везде, кроме границы D , где он указывает в нормальном направлении. Следовательно, важна только составляющая ∇ _x f ( x ) в нормальном направлении. Предположим, что вблизи границы ∇ _x f ( x ) равна n _x g ( x ), где g — некоторая другая функция. Тогда следует, что

$\oint _{\partial D}\,g(\beta )\;d\beta =-\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\,\cdot \,n_{x}\,g(x)\;dx.$

Внешняя нормаль n _x изначально была определена только для x на поверхности, но можно определить, что она существует для всех x ; например, взяв внешнюю нормаль граничной точки, ближайшей к x .

Вышеизложенный анализ показывает, что − n _x ⋅ ∇ _x 1 _{x ∈ D} можно рассматривать как поверхностное обобщение одномерной дельта-функции Дирака . Принимая функцию g равной единице, следует, что внутренняя нормальная производная индикатора интегрируется с площадью поверхности D .

В электростатике плотность поверхностных зарядов (или одиночные пограничные слои ) можно моделировать с использованием поверхностной дельта-функции, как указано выше. обычную дельта-функцию Дирака В некоторых случаях, например, когда поверхность имеет сферическую форму, можно использовать . В общем, обсуждаемая здесь поверхностная дельта-функция может использоваться для представления поверхностной плотности заряда на поверхности любой формы.

Приведенный выше расчет основан на исследованиях интегралов по путям в квантовой физике.

Приближения функциями рельефа

В этом разделе показано, как производные показателя можно трактовать численно под знаком интеграла.

В принципе, показатель не может быть дифференцирован численно, так как его производная либо равна нулю, либо бесконечна. Но для практических целей индикатор можно аппроксимировать рельефной функцией , обозначаемой I _ε ( x ) и приближающейся к индикатору при ε → 0. Возможны несколько вариантов, но удобно считать рельефную функцию неотрицательной. и приблизимся к индикатору снизу , т.е.

${\begin{aligned}0\leq I_{\varepsilon }(x)&\leq \mathbf {1} _{{x}\in D}\quad \forall \varepsilon >0\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\;I_{\varepsilon }(x)&=\mathbf {1} _{x\in D}\end{aligned}}$

Это гарантирует, что семейство функций рельефа тождественно равно нулю вне D . Это удобно, поскольку возможно, что функция определена только внутри D f . Таким образом, для f, определенного в D , мы получаем следующее:

${\begin{aligned}-{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,f(x)\,n_{x}\cdot \nabla _{x}I_{\varepsilon }(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}f(\alpha )\;d\beta ,\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\,\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}I_{\varepsilon }(x)\,f(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta ,\end{aligned}}$

где внутренняя координата α приближается к граничной координате β изнутри D и где нет необходимости, чтобы f существовала вне D .

Когда f определена по обе стороны границы и, кроме того, дифференцируема по границе D , тогда менее важно, как функция рельефа приближается к индикатору.

Функции прерывистого тестирования

Если пробная функция f, возможно, является разрывной на границе, то для понимания поверхностных распределений можно использовать теорию распределения разрывных функций, см., например, раздел V в . На практике для поверхностной дельта-функции это обычно означает усреднение значения f по обе стороны границы D перед интегрированием по границе. Аналогично, для поверхностной дельта-простой функции это обычно означает усреднение внешней нормальной производной f по обе стороны границы области D перед интегрированием по границе.

Приложения

Квантовая механика

В квантовой механике точечные взаимодействия хорошо известны, и по этому вопросу существует большое количество литературы. Хорошо известным примером одномерного сингулярного потенциала является уравнение Шрёдингера с дельта-потенциалом Дирака . С другой стороны, одномерный дельта- простой потенциал Дирака вызвал споры. Спор, по-видимому, был урегулирован независимой газетой. хотя даже эта статья вызвала более позднюю критику.

В последнее время гораздо больше внимания уделяется одномерному дельта-простому потенциалу Дирака.

Точку на одномерной линии можно рассматривать и как точку, и как поверхность; поскольку точка отмечает границу между двумя областями. Таким образом, были сделаны два обобщения дельта-функции Дирака на более высокие измерения: обобщение на многомерную точку, а также обобщение на многомерную поверхность.

Первые обобщения известны как точечные взаимодействия, тогда как вторые известны под разными названиями, например, «взаимодействия дельта-сфера» и «взаимодействия дельта-поверхность». В последних обобщениях могут использоваться производные индикатора, как объяснено здесь, или одномерная δ -функция Дирака как функция радиальной координаты r .

Гидродинамика

Лапласиан индикатора использовался в гидродинамике, например, для моделирования границ раздела между различными средами.

Реконструкция поверхности

Дивергенция индикатора и лапласиана индикатора (или характеристической функции , как также известен индикатор) использовалась в качестве выборочной информации, на основе которой можно реконструировать поверхности.

См. также

• Дельта-потенциал - Модель энергетического потенциала в квантовой механике.
• Дельта-функция Дирака - обобщенная функция, значение которой равно нулю везде, кроме нуля.
• Распределение (математика) - термин математического анализа, аналогичный обобщенной функции.
• Потенциал двойного слоя - решение уравнения Лапласа. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Электростатика - исследование стационарных или медленно движущихся электрических зарядов.
• Обобщенная функция - объекты, расширяющие понятие функций.
• Индикаторная функция – математическая функция, характеризующая принадлежность множества.
• Теория потенциала - Гармонические функции как решения уравнения Лапласа