Правило продукта

Эта статья о производной продукта. Чтобы узнать о связи между производными трех зависимых переменных, см. Правило тройного произведения . Принцип подсчета в комбинаторике см. в разделе « Правило произведения» . Чтобы узнать об условных вероятностях, см. Правило цепочки (вероятность) .

Геометрическая иллюстрация доказательства правила произведения

В исчислении действует правило произведения (или правило Лейбница). или правило произведения Лейбница ) — формула, используемая для нахождения производных произведений двух и более функций . Для двух функций это можно записать в обозначениях Лагранжа как

$$(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$$

или в обозначениях Лейбница как

$${\frac {d}{dx}}(u\cdot v)={\frac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\frac {dv}{dx}}.$$

Правило может быть расширено или обобщено на продукты с тремя или более функциями, на правило для производных продукта более высокого порядка и на другие контексты.

Открытие

Открытие этого правила приписывается Готфриду Лейбницу , который продемонстрировал его с помощью дифференциалов . (Однако Дж. М. Чайлд, переводчик статей Лейбница, утверждает, что это заслуга Исаака Барроу .) Вот аргумент Лейбница: Пусть u ( x ) и v ( x ) — две дифференцируемые функции от x . Тогда дифференциал uv равен

$${\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}$$

Поскольку член du · dv «незначителен» (по сравнению с du и dv ), Лейбниц пришел к выводу, что

$$d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv$$

и это действительно дифференциальная форма правила продукта. Если мы разделим на дифференциал dx , мы получим

$${\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}$$

которое также можно записать в обозначениях Лагранжа как

$$(u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.$$

Примеры

• Предположим, мы хотим дифференцировать $f(x)=x^{2}{\text{sin}}(x).$ Используя правило произведения, можно получить производную $f'(x)=2x\cdot {\text{sin}}(x)+x^{2}{\text{cos}}(x)$ (поскольку производная от $x^{2}$ является $2x,$ а производная функции синуса — это функция косинуса).
• Особым случаем правила произведения является правило постоянного множественного числа , которое гласит: если c — число, и $f(x)$ является дифференцируемой функцией, то $c\cdot f(x)$ также дифференцируема, и ее производная равна $(cf)'(x)=c\cdot f'(x).$ Это следует из правила произведения, поскольку производная любой константы равна нулю. Это, в сочетании с правилом сумм для производных, показывает, что дифференцирование является линейным .
• Правило интегрирования по частям вытекает из правила произведения, как и (слабая версия) правила фактора . (Это «слабая» версия, поскольку она не доказывает, что частное дифференцируемо, а только говорит, какова его производная, если оно дифференцируемо.)

Доказательства

Предельное определение производной

Пусть h ( x ) = f ( x ) g ( x ) и предположим, что f и g дифференцируемы в точке x . Мы хотим доказать, что h дифференцируема в точке x и что ее производная, h ′ ( x ) , определяется формулой f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . Для этого $f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)$ (который равен нулю и, следовательно, не меняет значение) добавляется к числителю, чтобы разрешить его факторизацию, а затем используются свойства пределов.

$${\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \underbrace {\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)} _{\text{See the note below.}}+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}$$

Тот факт, что $\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)$ следует из того, что дифференцируемые функции непрерывны.

Линейные аппроксимации

По определению, если $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ дифференцируемы по $x$, то мы можем написать линейные аппроксимации :

$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h)$$

и

$$g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h),$$

где члены ошибки малы по отношению к h : то есть, ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{2}(h)}{h}}=0,}$ также написано $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\sim o(h)$. Затем:

$${\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h-f(x)g(x)+{\text{error terms}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}$$

«Термины ошибок» состоят из таких элементов, как $f(x)\varepsilon _{2}(h),f'(x)g'(x)h^{2}$ и $hf'(x)\varepsilon _{1}(h)$ которые, как легко видеть, имеют величину $o(h).$ Деление на $h$ и берем предел $h\to 0$ дает результат.

Четверть квадрата

В этом доказательстве используется цепное правило и функция четверти квадрата. $q(x)={\tfrac {1}{4}}x^{2}$ с производной $q'(x)={\tfrac {1}{2}}x$. У нас есть:

$$uv=q(u+v)-q(u-v),$$

и дифференцирование обеих сторон дает:

$${\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(u-v)(u'-v')\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(u-v)(u'-v')\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'.\end{aligned}}$$

Правило многовариантной цепочки

Правило произведения можно рассматривать как частный случай правила цепочки для нескольких переменных, примененного к функции умножения. $m(u,v)=uv$:

$${d(uv) \over dx}={\frac {\partial (uv)}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial (uv)}{\partial v}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}.$$

Нестандартный анализ

Пусть u и v — непрерывные функции по x , а dx , du и dv — бесконечно малые в рамках нестандартного анализа , а именно гипердействительные числа . Используя st для обозначения стандартной части функции , которая сопоставляет конечному гипердействительному числу бесконечно близкое к нему действительное число, это дает

$${\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{dx}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+du)(v+dv)-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(u{\frac {dv}{dx}}+(v+dv){\frac {du}{dx}}\right)\\&=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}.\end{aligned}}$$

По сути, это было трансцендентный доказательство Лейбница, использующее закон однородности (вместо стандартной части, приведенной выше).

анализ

В контексте подхода Ловера к бесконечно малым, пусть $dx$ быть бесконечно малым ниль-квадратом. Затем $du=u'\ dx$ и $dv=v'\ dx$, так что

$${\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\end{aligned}}$$

с $du\,dv=u'v'(dx)^{2}=0.$ Деление на $dx$ затем дает ${\frac {d(uv)}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}$ или $(uv)'=u\cdot v'+v\cdot u'$.

Логарифмическое дифференцирование

Позволять $h(x)=f(x)g(x)$. Взяв абсолютное значение каждой функции и натуральный логарифм обеих частей уравнения,

$$\ln |h(x)|=\ln |f(x)g(x)|$$

Применяя свойства абсолютной величины и логарифмов,

$$\ln |h(x)|=\ln |f(x)|+\ln |g(x)|$$

Берём логарифмическую производную от обеих частей и затем решаем $h'(x)$:

$${\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}$$

Решение для $h'(x)$ и заменив обратно $f(x)g(x)$ для $h(x)$ дает:

$${\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f(x)g(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}$$

Примечание. Взятие абсолютного значения функций необходимо для логарифмического дифференцирования функций, которые могут иметь отрицательные значения, поскольку логарифмы имеют действительные значения только для положительных аргументов. Это работает, потому что ${\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}$, что оправдывает принятие абсолютного значения функций для логарифмического дифференцирования.

Обобщения

Произведение более

Правило продукта можно обобщить на произведение более чем двух факторов. Например, для трех факторов имеем

$${\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.$$

Для набора функций $f_{1},\dots ,f_{k}$, у нас есть

$${\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).$$

Логарифмическая производная обеспечивает более простое выражение последней формы, а также прямое доказательство, не требующее какой-либо рекурсии . Логарифмическая производная функции f , обозначенная здесь Logder( f ) , является производной логарифма функции . Отсюда следует, что

$$\operatorname {Logder} (f)={\frac {f'}{f}}.$$

Используя тот факт, что логарифм произведения представляет собой сумму логарифмов множителей, правило сумм для производных сразу дает

$$\operatorname {Logder} (f_{1}\cdots f_{k})=\sum _{i=1}^{k}\operatorname {Logder} (f_{i}).$$

Последнее приведенное выше выражение производной произведения получается путем умножения обоих членов этого уравнения на произведение $f_{i}.$

Высшие производные

Основная статья: Правило генерала Лейбница

Его также можно обобщить до общего правила Лейбница для n- й производной произведения двух факторов путем символического разложения в соответствии с биномиальной теоремой :

$$d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).$$

Применительно к конкретной точке x приведенная выше формула дает:

$$(uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).$$

Кроме того, для n- й производной произвольного числа факторов существует аналогичная формула с полиномиальными коэффициентами :

$$\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{\!\!(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.$$

производные

Для частных производных имеем

$${\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}$$

где индекс S проходит через все 2 ^н подмножества { 1 , ..., n } и | С | — мощность S ​ . Например, когда n = 3 ,

$${\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[1ex]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[1ex]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\\[-3ex]&\end{aligned}}$$

Банахово пространство

Предположим, что X , Y и Z — банаховы пространства (включая евклидово пространство ), а B : X × Y → Z — непрерывный билинейный оператор . Тогда B дифференцируемо, и его производная в точке ( x , y ) в X × Y является линейным отображением D _{( x , y )} B : X × Y → Z , заданным формулой

$$(D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right)\qquad \forall (u,v)\in X\times Y.$$

Этот результат можно распространить к более общим топологическим векторным пространствам.

В векторном исчислении

Основная статья: Тождества векторного исчисления § Тождества первой производной

Правило произведения распространяется на различные операции произведения векторных функций на $\mathbb {R} ^{n}$:

• Для скалярного умножения :
  $$(f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '$$
• Для скалярного произведения :
  $$(\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '$$
• Для векторного произведения векторных функций на $\mathbb {R} ^{3}$:
  $$(\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '$$

Также существуют аналоги для других аналогов производной: если f и g — скалярные поля, то существует правило произведения с градиентом :

$$\nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g$$

Такое правило будет справедливым для любой непрерывной билинейной операции произведения. Пусть B : X × Y → Z — непрерывное билинейное отображение между векторными пространствами, и пусть f и g — дифференцируемые функции в X и Y соответственно. Единственное свойство умножения, используемое в доказательстве с использованием предельного определения производной, - это то, что умножение непрерывно и билинейно. Итак, для любой непрерывной билинейной операции

$$H(f,g)'=H(f',g)+H(f,g').$$

Это также частный случай правила произведения для билинейных отображений в банаховом пространстве .

в абстрактной алгебре и

В абстрактной алгебре правило произведения является определяющим свойством вывода . В этой терминологии правило произведения гласит, что оператор производной является производным функции.

В дифференциальной геометрии касательный вектор к многообразию M в точке p может быть определен абстрактно как оператор над вещественнозначными функциями, который ведет себя как производная по направлению в точке p : то есть линейный функционал v, который является дифференцированием,

$$v(fg)=v(f)\,g(p)+f(p)\,v(g).$$

Обобщая (и дуализируя) формулы векторного исчисления на n -мерное многообразие M, можно взять дифференциальные формы степеней k и l , обозначаемые $\alpha \in \Omega ^{k}(M),\beta \in \Omega ^{\ell }(M)$, с клином или продукта внешней операцией $\alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+\ell }(M)$, а также внешняя производная $d:\Omega ^{m}(M)\to \Omega ^{m+1}(M)$. Тогда действует градуированное правило Лейбница :

$$d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .$$

Приложения

Среди применений правила произведения есть доказательство того, что

$${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}$$

когда n — целое положительное число (это правило верно, даже если n не является положительным или не является целым числом, но доказательство этого должно опираться на другие методы). Доказательство проводится методом математической индукции по показателю степени n . Если n = 0, то x ^н является постоянным и nx ^{п - 1} = 0. В этом случае правило выполняется, поскольку производная постоянной функции равна 0. Если правило справедливо для любого конкретного показателя степени n , то для следующего значения n + 1 мы имеем

$${\begin{aligned}{\frac {dx^{n+1}}{dx}}&{}={\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[1ex]&{}=x{\frac {d}{dx}}x^{n}+x^{n}{\frac {d}{dx}}x&{\text{(the product rule is used here)}}\\[1ex]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1&{\text{(the induction hypothesis is used here)}}\\[1ex]&{}=\left(n+1\right)x^{n}.\end{aligned}}$$

Следовательно, если предложение верно для n , оно верно и для n + 1, а значит, и для всех натуральных n .

См. также

• Дифференцирование интегралов — Задача по математике
• Дифференцирование тригонометрических функций - Математический процесс нахождения производной тригонометрической функции.
• Правила дифференцирования - Правила вычисления производных функций.
• Распределение (математика) - термин математического анализа, аналогичный обобщенной функции.
• Общее правило Лейбница - Обобщение правила произведения в исчислении.
• Интегрирование по частям - Математический метод в исчислении
• Обратные функции и дифференциация — страницы идентификации исчисления, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Линейность дифференцирования - свойство исчисления
• Правило степени - метод дифференцирования одночленных полиномов
• Правило частного – формула для производной отношения функций.
• Таблица производных — правила вычисления производных функций. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Тождества векторного исчисления - Математические тождества