Дифференцирование интегралов

В математике проблема дифференцирования интегралов заключается в определении того, при каких обстоятельствах среднего значения интеграл подходящей функции в небольшой окрестности точки приближает значение функции в этой точке. Более формально, учитывая пространство X с мерой µ и метрикой d , спрашивается, какие функции f : X → R выполняют $$\lim _{r\to 0}{\frac {1}{\mu {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=f(x)$$для всех (или хотя бы µ - почти всех ) x ∈ X ? (Здесь, как и в остальной части статьи, B _r ( x ) обозначает открытый шар в X с d - радиусом r и центром x .) Это естественный вопрос, особенно с учетом эвристической конструкции уравнения Римана. интеграл , в котором почти неявно подразумевается, что f ( x ) является «хорошим представителем» значений f вблизи x .

Теоремы о дифференцировании интегралов

Мера Лебега

Одним из результатов о дифференцировании интегралов является теорема Лебега о дифференцировании , доказанная Анри Лебегом в 1910 году. Рассмотрим n - мерную меру Лебега λ. ^н в n -мерном евклидовом пространстве R ^н . Тогда для любой локально интегрируемой функции f : R ^н → R , есть $$\lim _{r\to 0}{\frac {1}{\lambda ^{n}{\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(y)=f(x)$$для λ ^н -почти все точки x ∈ R ^н . Однако важно отметить, что нулевой набор «плохих» точек меры зависит от функции f .

Борелевские меры на R ^н

Результат для меры Лебега оказывается частным случаем следующего результата, основанного на теореме о покрытии Безиковича : если µ — любая локально конечная борелевская мера на R ^н и е : Р ^н → R локально интегрируемо по µ , то $$\lim _{r\to 0}{\frac {1}{\mu {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=f(x)$$для µ -почти все точки x ∈ R ^н .

Гауссовы меры

Проблема дифференцирования интегралов значительно сложнее в бесконечномерной ситуации. Рассмотрим сепарабельное гильбертово пространство ( H , ⟨ , ⟩), снабженное гауссовой мерой γ . Как указано в статье о теореме о покрытии Витали , теорема о покрытии Витали не работает для гауссовских мер в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Два результата Дэвида Прейсса (1981 и 1983) показывают, с какими трудностями можно столкнуться в этой ситуации:

• Существует гауссова мера γ на сепарабельном гильбертовом пространстве H и борелевское множество M ⊆ H так, что для γ -почти всех x ∈ H , $$\lim _{r\to 0}{\frac {\gamma {\big (}M\cap B_{r}(x){\big )}}{\gamma {\big (}B_{r}(x){\big )}}}=1.$$
• существуют гауссова мера γ В сепарабельном гильбертовом пространстве H и функция f ∈ L ¹ ( H , γ ; R ) такой, что $$\lim _{r\to 0}\inf \left\{\left.{\frac {1}{\gamma {\big (}B_{s}(x){\big )}}}\int _{B_{s}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \gamma (y)\right|x\in H,0<s<r\right\}=+\infty .$$

если хорошо контролировать ковариацию γ Однако есть некоторая надежда , . Пусть ковариационный оператор γ равен S : H → H , заданный формулой $$\langle Sx,y\rangle =\int _{H}\langle x,z\rangle \langle y,z\rangle \,\mathrm {d} \gamma (z),$$или для некоторого счетного ортонормированного базиса ( e _i ) _{i ∈ N} группы H , $$Sx=\sum _{i\in \mathbf {N} }\sigma _{i}^{2}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.$$

В 1981 году Прейсс и Ярослав Тишер показали, что если существует константа 0 < q < 1 такая, что $$\sigma _{i+1}^{2}\leq q\sigma _{i}^{2},$$тогда для всех f ∈ L ¹ ( Ч , с ; р ), $${\frac {1}{\mu {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y){\xrightarrow[{r\to 0}]{\gamma }}f(x),$$где сходимость есть сходимость по мере относительно γ . В 1988 году Тишер показал, что если $$\sigma _{i+1}^{2}\leq {\frac {\sigma _{i}^{2}}{i^{\alpha }}}$$для некоторого α > 5 ⁄ 2, то $${\frac {1}{\mu {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y){\xrightarrow[{r\to 0}]{}}f(x),$$для γ -почти все x и все f ∈ L ^п ( ЧАС , γ ; р ), р > 1.

По состоянию на 2007 год все еще остается открытым вопрос, существует ли бесконечномерная гауссова мера γ в сепарабельном гильбертовом пространстве H такая, что для всех f ∈ L ¹ ( Ч , с ; р ), $$\lim _{r\to 0}{\frac {1}{\gamma {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \gamma (y)=f(x)$$для γ -почти все x ∈ H . Однако предполагается, что такой меры не существует, поскольку σ _i должна была бы очень быстро затухать.

См. также

• Правила дифференцирования - Правила вычисления производных функций.
• Интегральное правило Лейбница - Дифференцирование по формуле интегрального знака
• Теорема Рейнольдса о переносе - трехмерное обобщение интегрального правила Лейбница

Ссылки

• Прейсс, Дэвид; Тишер, Ярослав (1982). «Дифференцирование мер в гильбертовых пространствах». Теория меры, Обервольфач 1981 (Oberwolfach, 1981) . Конспект лекций по математике. Том. 945. Берлин: Шпрингер. стр. 194–207. дои : 10.1007/BFb0096675 . ISBN  978-3-540-11580-9 . МР   0675283 .
• Тишер, Ярослав (1988). «Теорема дифференцирования для гауссовских мер в гильбертовом пространстве» (PDF) . Труды Американского математического общества . 308 (2): 655–666. дои : 10.2307/2001096 . JSTOR   2001096 . МР   0951621 .