Локально интегрируемая функция

В математике — локально интегрируемая функция (иногда называемая также локально суммируемой функцией ). — функция , которая интегрируема (поэтому ее интеграл конечен) на каждом компактном подмножестве области определения . Важность таких функций заключается в том, что их функциональное пространство аналогично L ^п space , но его члены не обязаны удовлетворять каким-либо ограничениям роста своего поведения на границе своей области (на бесконечности, если область неограничена): другими словами, локально интегрируемые функции могут расти сколь угодно быстро на границе области, но по-прежнему управляемы аналогично обычным интегрируемым функциям.

Определение

Стандартное определение

Определение 1 . Пусть Ω — открытое множество в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ и f : Ω → $\mathbb {C}$ — измеримая по Лебегу функция . Если f на Ω такова, что

$\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,$

т. е. его интеграл Лебега конечен на всех компактных подмножествах K в Ω , тогда f называется локально интегрируемым . Множество всех таких функций обозначается L _1,loc (Ω) :

$L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f\colon \Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable}}:f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}{\bigr \}},$

где ${\textstyle \left.f\right|_{K}}$ обозначает ограничение f K множество . на

Классическое определение локально интегрируемой функции включает в себя только теорию меры и топологию. понятия и могут быть перенесены абстрактно на комплекснозначные функции в топологическом пространстве с мерой ( X , Σ, µ ) : однако, поскольку наиболее распространенное применение таких функций - это теория распределения в евклидовых пространствах, все определения в этом и последующих разделах явно касаются только этого важного случая.

Альтернативное определение

Определение 2 . Пусть Ω — открытое множество в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$. Тогда функция f : Ω → $\mathbb {C}$ такой, что

$\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,$

для каждой пробной функции φ ∈ C   ∞
c   (Ω) называется локально интегрируемой , а множество таких функций обозначается L _1,loc (Ω) . Здесь С   ∞
c   (Ω) обозначает множество всех бесконечно дифференцируемых функций φ : Ω → $\mathbb {R}$ с компактным носителем, содержащимся в Ω .

Это определение имеет свои корни в подходе к теории меры и интегрирования, основанном на концепции непрерывного линейного функционала в топологическом векторном пространстве , разработанном школой Николя Бурбаки : он также принят Стрихарцем (2003) и Мазьей и Шапошниковой (2009 , стр. 34). Это определение «теории распределения» эквивалентно стандартному, как доказывает следующая лемма:

Лемма 1 . Данная функция f : Ω → $\mathbb {C}$ локально интегрируема согласно определению 1 тогда и только тогда, когда она локально интегрируема согласно определению 2 , т.е.

$\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).$

Доказательство леммы 1

Если часть : Пусть φ ∈ C   ∞
c   (Ω) — пробная функция. Он ограничен своей верхней нормой || φ || _∞ , измерима и имеет компактный носитель назовем его K. , Следовательно

$\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty$

по определению 1 .

Только если часть : Пусть K — компактное подмножество открытого множества Ω . Сначала построим пробную функцию φ _K ∈ C   ∞
c   (Ω), которая мажорирует индикаторную функцию χ _K оператора K .Обычное установленное расстояние между K и границей ∂Ω строго больше нуля, т.е.

$\Delta :=d(K,\partial \Omega )>0,$

следовательно, можно выбрать действительное число δ такое, что ∆ > 2 δ > 0 (если ∂Ω — пустое множество, возьмем ∆ = ∞ ). Пусть K _δ и K _{2 δ} обозначают замкнутую δ -окрестность и 2 δ -окрестность точки K соответственно. Они также компактны и удовлетворяют

$K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.$

Теперь используйте свертку , чтобы определить функцию φ _K : Ω → $\mathbb {R}$ к

$\varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,$

где φδ _{построенный} — мягчитель, с использованием стандартного положительно-симметричного мягчителя . Очевидно, φ _K неотрицательна в том смысле, что φ _K ≥ 0 , бесконечно дифференцируема и ее носитель содержится в K _{2 δ} , в частности, это пробная функция. Поскольку φ _K ( x ) = 1 для всех x ∈ K , мы имеем χ _K ≤ φ _K .

Пусть f — локально интегрируемая функция согласно определению 2 . Затем

$\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .$

Поскольку это справедливо для любого компактного подмножества K в Ω , функция f локально интегрируема согласно определению 1 . □

Обобщение: локально p -интегрируемые функции

Определение 3 . Пусть Ω — открытое множество в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ и f : Ω → $\mathbb {C}$ — измеримая по Лебегу функция. Если для данного p с 1 ≤ p ≤ +∞ , f удовлетворяет условию

$\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,$

т. е. оно принадлежит Lp _{компактных} ( K ) для всех подмножеств K в Ω , то f называется локально p - интегрируемым или также p - локально интегрируемым . Множество всех таких функций обозначается L _{p ,loc} (Ω) :

$L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.$

Альтернативное определение, полностью аналогичное тому, которое дано для локально интегрируемых функций, может быть дано и для локально p -интегрируемых функций: оно также может быть и доказано эквивалентным определению, данному в этом разделе. Несмотря на кажущуюся более высокую общность, локально p -интегрируемые функции образуют подмножество локально интегрируемых функций для каждого p такого, что 1 < p ≤ +∞ .

Обозначения

Помимо различных символов , которые могут использоваться для обозначения заглавной буквы «L», вариантов обозначения множества локально интегрируемых функций немного.

• $L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),$ adopted by ( Hörmander 1990 , p. 37), ( Strichartz 2003 , pp. 12–13) and ( Vladimirov 2002 , p. 3).
• $L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),$ adopted by ( Maz'ya & Poborchi 1997 , p. 4) and Maz'ya & Shaposhnikova (2009 , p. 44).
• $L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),$ принято ( Мазья 1985 , с. 6) и ( Мазья 2011 , с. 2).

Свойства

L _{p ,loc} — полное метрическое пространство для всех p ≥ 1

Теорема 1 . L _{p ,loc} — полное метризуемое пространство : его топология может быть порождена следующей метрикой :

$d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),$

где { ω _k } _{k ≥1} — семейство непустых открытых множеств такое, что

• ωk _т.е. ⊂⊂ ωk _{ωk +1} , что означает, что ωk _{это множество ,} компактно включено в + _{, 1} имеющее компактное замыкание, строго включенное в множество более высокого индекса.
• ∪ _k ω _{k знак} равно Ω .
• $\scriptstyle {\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}}\to \mathbb {R} ^{+}$, k ∈ $\mathbb {N}$ — семейство полунорм индексированное , определяемое как

${\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).$

В ссылках ( Gilbarg & Trudinger 2001 , стр. 147), ( Maz'ya & Poborchi 1997 , p. 5), ( Maz'ja 1985 , p. 6) и ( Maz'ya 2011 , p. 2) эта теорема утверждается, но не доказывается формально: полное доказательство более общего результата, включающее его, можно найти в ( Meise & Vogt 1997 , стр. 40).

L _p — подпространство L _1,loc для всех p ≥ 1

Теорема 2 . Любая функция f, принадлежащая L _p (Ω) , 1 ⩽ p ⩽ +∞ , где Ω — открытое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$, локально интегрируемо.

Доказательство . Случай p = 1 тривиален, поэтому в дальнейшем доказательстве предполагается, что 1 < p ⩽ +∞ . Рассмотрим характеристическую функцию χ _K компактного подмножества K в Ω : тогда для p ⩽ + ∞

$\left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,$

где

• q — положительное число такое, что 1/ p + 1/ q = 1 для заданного 1 ≤ p ≤ +∞
• | К | – Лебега компакта K мера

Тогда для любого f, принадлежащего L _p (Ω) по неравенству Гёльдера , произведение fχ _K интегрируемо т. е . принадлежит L ₁ (Ω) и

${\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,$

поэтому

$f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).$

Заметим, что поскольку верно следующее неравенство

${\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\chi _{K}\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,$

теорема справедлива и для функций f, принадлежащих только пространству локально p -интегрируемых функций, поэтому из теоремы следует также следующий результат.

Следствие 1 . Каждая функция $f$ в $L_{p,loc}(\Omega )$, $1<p\leq \infty$, локально интегрируемо, т. е. принадлежит $L_{1,loc}(\Omega )$.

Примечание: Если $\Omega$ является открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ которое также ограничено, то имеет место стандартное включение $L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )$ что имеет смысл, учитывая приведенное выше включение $L_{1}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )$. Но первое из этих утверждений неверно, если $\Omega$ не ограничен; тогда это все еще правда, что $L_{p}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )$ для любого $p$, но не это $L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )$. Чтобы убедиться в этом, обычно рассматривают функцию $u(x)=1$, который находится в $L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ но не в $L_{p}(\mathbb {R} ^{n})$ для любого конечного $p$.

L _1,loc — пространство плотностей абсолютно непрерывных мер

Теорема 3 . Функция f является плотностью абсолютно непрерывной меры тогда и только тогда, когда $f\in L_{1,loc}$.

Доказательство этого результата кратко изложено ( Шварц 1998 , стр. 18). Перефразируя свое утверждение, эта теорема утверждает, что каждая локально интегрируемая функция определяет абсолютно непрерывную меру и наоборот, что каждая абсолютно непрерывная мера определяет локально интегрируемую функцию: это также, в рамках абстрактной теории меры, форма важной теоремы Радона – Никодима данное Станиславом Саксом в его трактате.

Примеры

• Постоянная функция 1, определенная на вещественной прямой, локально интегрируема, но не интегрируема глобально, поскольку вещественная линия имеет бесконечную меру. В более общем смысле, константы , непрерывные функции а интегрируемые функции локально интегрируемы.
• Функция $f(x)=1/x$ для x ∈ (0, 1) локально, но не глобально интегрируемо на (0, 1). Он локально интегрируем, поскольку любой компакт K ⊆ (0, 1) имеет положительное расстояние от 0 и, следовательно, f ограничен на K. Этот пример подтверждает исходное утверждение о том, что локально интегрируемые функции не требуют выполнения условий роста вблизи границы в ограниченные домены.
• Функция

$f(x)={\begin{cases}1/x&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}\quad x\in \mathbb {R}$

не является локально интегрируемым в x = 0 : он действительно локально интегрируем вблизи этой точки, поскольку его интеграл по каждому компактному множеству, не включающему его, конечен. Формально говоря, $1/x\in L_{1,loc}(\mathbb {R} \setminus 0)$: однако эту функцию можно распространить на распределение в целом $\mathbb {R}$ как главное значение Коши .

• В предыдущем примере возникает вопрос: каждая ли функция, локально интегрируемая в Ω ⊊ $\mathbb {R}$ допускать расширение целого $\mathbb {R}$ в качестве раздачи? Ответ отрицательный, а контрпример предоставляет следующая функция:

$f(x)={\begin{cases}e^{1/x}&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}$

не определяет никакого распределения по $\mathbb {R}$.

• Следующий пример, аналогичный предыдущему, представляет собой функцию, принадлежащую L _1,loc ( $\mathbb {R}$ \ 0), который служит элементарным контрпримером при применении теории распределений к дифференциальным операторам с нерегулярными сингулярными коэффициентами :

$f(x)={\begin{cases}k_{1}e^{1/x^{2}}&x>0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0,\end{cases}}$

где k ₁ и k ₂ — комплексные константы , является общим решением следующего элементарного нефуксова дифференциального уравнения первого порядка

$x^{3}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+2f=0.$

Опять же, он не определяет никакого распределения в целом. $\mathbb {R}$, если k ₁ или k ₂ не равны нулю: единственным распределенным глобальным решением такого уравнения является, следовательно, нулевое распределение, и это показывает, что в этой отрасли теории дифференциальных уравнений нельзя ожидать применения методов теории распределений. добиться таких же успехов и в других разделах той же теории, особенно в теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Приложения

Локально интегрируемые функции играют видную роль в теории распределений и встречаются в определении различных классов функций и функциональных пространств , например функций ограниченной вариации . Более того, они появляются в теореме Радона–Никодима, характеризуя абсолютно непрерывную часть каждой меры.

См. также

• Компактный набор
• Распределение (математика)
• Теорема плотности Лебега
• Теорема Лебега о дифференцировании
• Интеграл Лебега
• пространство ЛП

Ссылки

• Кафьеро, Федерико (1959), Misura e integrazione , Mongrafie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche (на итальянском языке), vol. 5, Рим : Edizioni Cremonese, стр. VII+451, MR   0215954 , Zbl   0171.01503 . «Мера и интеграция» (как гласит английский перевод названия) — это исчерпывающая монография по интеграции и теории меры: трактовка предельного поведения интеграла различного рода последовательностей структур, связанных с мерой (измеримые функции, измеримые множества , меры). и их комбинации) является в некоторой степени убедительным.
• Гельфанд, И.М. ; Шилов Г. Е. (1964) [1958], Обобщенные функции. Том. I: Недвижимость и операции , Нью-Йорк – Лондон: Academic Press , стр. xviii+423, ISBN  978-0-12-279501-5 , МР   0166596 , Збл   0115.33101 . Это важная монография по теории обобщенных функций , переведенная с оригинального русского издания 1958 года Юджином Салетаном, посвященная как распределениям, так и аналитическим функционалам.
• Гилбарг, Дэвид ; Трудингер, Нил С. (2001) [1998], Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка , Классика математики (пересмотренное 3-е издание 2-го изд.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. xiv + 517, ISBN  3-540-41160-7 , МР   1814364 , Збл   1042.35002 .
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных I , Основы математической науки, том. 256 (2-е изд.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer-Verlag , стр. xii+440, ISBN  0-387-52343-Х , MR   1065136 , Zbl   0712.35001 (также доступен как ISBN   3-540-52343-X ).
• Мазья, Владимир Г. (1985), Пространства Соболева , Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xix + 486, ISBN  3-540-13589-8 , MR   0817985 , Zbl   0692.46023 (также доступен как ISBN   0-387-13589-8 ).
• Мазья, Владимир Георгиевич (2011) [1985], Пространства Соболева. С приложениями к эллиптическим уравнениям в частных производных. , Основы математических наук, вып. 342 (2-е исправленное и дополненное издание), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. xxviii + 866, ISBN  978-3-642-15563-5 , МР   2777530 , Збл   1217.46002 .
• Мазья Владимир Георгиевич ; Поборчи, Сергей В. (1997), Дифференцируемые функции в плохих областях , Сингапур – Нью-Джерси – Лондон – Гонконг: World Scientific , стр. xx + 481, ISBN  981-02-2767-1 , МР   1643072 , Збл   0918.46033 .
• Мазья Владимир Георгиевич ; Шапошникова, Татьяна О. (2009), Теория множителей Соболева. С приложениями к дифференциальным и интегральным операторам , Основы математической науки, вып. 337, Гейдельберг : Springer-Verlag , стр. xiii+609, ISBN.  978-3-540-69490-8 , МР   2457601 , Збл   1157.46001 .
• Мейзе, Рейнхольд; Фогт, Дитмар (1997), Введение в функциональный анализ , Оксфордские тексты для аспирантов по математике, том. 2, Оксфорд: Clarendon Press , стр. x+437, ISBN.  0-19-851485-9 , МР   1483073 , Збл   0924.46002 .
• Сакс, Станислав (1937), Теория интеграла , Monografie Matematyczne , vol. 7 (2-е изд.), Варшава – Львов : GE Stechert & Co., стр. VI+347, JFM   63.0183.05 , MR   0167578 , Zbl   0017.30004 . Английский перевод Лоуренса Чизхолма Янга с двумя дополнительными примечаниями Стефана Банаха : номер Mathematical Reviews относится к изданию Dover Publications 1964 года, которое по сути представляет собой переиздание.
• Шварц, Лоран (1998) [1966], Теория распределений , Публикации Института математики Страсбургского университета (на французском языке) (новое издание), Париж: Hermann Éditeurs, стр. xiii+420, ISBN  2-7056-5551-4 , МР   0209834 , Збл   0149.09501 .
• Стрихарц, Роберт С. (2003), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье (2-е печатное издание), River Edge, Нью-Джерси : World Scientific Publishers , стр. x + 226, ISBN  981-238-430-8 , МР   2000535 , Збл   1029.46039 .
• Владимиров В.С. (2002), Методы теории обобщенных функций , Аналитические методы и специальные функции, вып. 6, Лондон – Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис , стр. XII + 353, ISBN.  0-415-27356-0 , МР   2012831 , Збл   1078.46029 . Монография по теории обобщенных функций , написанная с прицелом на их приложения к ряду комплексных переменных и математической физике , как это принято у Автора.

Внешние ссылки

• Роуленд, Тодд. «Локально интегрируемый» . Математический мир .
• Виноградова, И.А. (2001) [1994], «Локально интегрируемая функция» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Эта статья включает в себя материал из локально интегрируемой функции PlanetMath , которая лицензируется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .