Ограничение (математика)

В математике ограничение функции $f$ — новая функция, обозначаемая $f\vert _{A}$ или $f{\upharpoonright _{A}},$ полученный путем выбора меньшего домена $A$ для исходной функции $f.$ Функция $f$ тогда говорят, что он расширяет $f\vert _{A}.$

Формальное определение [ править ]

Позволять $f:E\to F$ быть функцией из множества $E$ в набор $F.$ Если набор $A$ является подмножеством $E,$ тогда ограничение $f$ к $A$ это функция ^[1]

{f|}_{A}:A\to F

данный

{f|}_{A}(x)=f(x)

для

x\in A.

Неофициально ограничение

f

к

A

та же функция, что и

f,

но определяется только

A

.

Если функция $f$ рассматривается как отношение $(x,f(x))$ о декартовом произведении $E\times F,$ тогда ограничение $f$ к $A$ может быть представлена его графиком ,

G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),

где пары $(x,f(x))$ представлять упорядоченные пары в графе $G.$

Расширения [ править ]

Функция $F$ Говорят, что это расширение другой функции $f$ если когда-нибудь $x$ находится в области $f$ затем $x$ также находится в области $F$ и $f(x)=F(x).$ То есть, если $\operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F$ и $F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f.$

А линейное продолжение (соответственно непрерывное продолжение и т. д.) функции $f$ является продолжением $f$ это тоже линейное отображение (соответственно непрерывное отображение и т. д.).

Примеры [ править ]

Ограничение неинъективной функции $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ в домен $\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$ это инъекция $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}.$
Функция факториала представляет собой ограничение гамма -функции целыми положительными числами со сдвигом аргумента на единицу: ${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$

Свойства ограничений [ править ]

Ограничение функции $f:X\rightarrow Y$ на весь свой домен $X$ возвращает исходную функцию, то есть $f|_{X}=f.$
Ограничить функцию дважды — это то же самое, что ограничить ее один раз, т. е. если $A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f,$ затем $\left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}.$
Ограничение тождественной функции на множестве $X$ к подмножеству $A$ из $X$ это просто карта включения из $A$ в $X.$ ^[2]
Ограничение непрерывной функции непрерывно. ^[3]^[4]

Приложения [ править ]

Обратные функции [ править ]

Чтобы функция имела обратную, она должна быть взаимно однозначной . Если функция $f$ не является взаимно однозначным, возможно определить частичную инверсию $f$ путем ограничения домена. Например, функция

f(x)=x^{2}

определяется в целом

\mathbb {R}

не является взаимно однозначным, поскольку

x^{2}=(-x)^{2}

для любого

x\in \mathbb {R} .

Однако функция становится взаимно однозначной, если мы ограничимся областью определения

\mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty ),

в таком случае

f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.

(Если вместо этого мы ограничимся областью $(-\infty ,0],$ тогда обратное значение является отрицательным квадратным корнем из $y.$ ) Альтернативно, нет необходимости ограничивать область определения, если мы позволяем обратной функции быть многозначной функцией .

Операторы выбора [ править ]

В реляционной алгебре выбор (иногда называемый ограничением , чтобы избежать путаницы с SQL использованием SELECT в ) — это унарная операция, записанная как $\sigma _{a\theta b}(R)$ или $\sigma _{a\theta v}(R)$ где:

$a$ и $b$ являются именами атрибутов,
$\theta$ — бинарная операция в множестве $\{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\},$
$v$ является константой значения,
$R$ это отношение .

Выбор $\sigma _{a\theta b}(R)$ выбирает все эти кортежи в $R$ для которого $\theta$ держится между $a$ и $b$ атрибут.

Выбор $\sigma _{a\theta v}(R)$ выбирает все эти кортежи в $R$ для которого $\theta$ держится между $a$ атрибут и значение $v.$

Таким образом, оператор выбора ограничивается подмножеством всей базы данных.

Лемма о вставке [ править ]

Лемма о вставке — это результат топологии , который связывает непрерывность функции с непрерывностью ее ограничений на подмножества.

Позволять $X,Y$ быть двумя замкнутыми подмножествами (или двумя открытыми подмножествами) топологического пространства. $A$ такой, что $A=X\cup Y,$ и разреши $B$ также будет топологическим пространством. Если $f:A\to B$ является непрерывным, если ограничено обоими $X$ и $Y,$ затем $f$ является непрерывным.

Этот результат позволяет взять две непрерывные функции, определенные на замкнутых (или открытых) подмножествах топологического пространства, и создать новую.

Шкивы [ править ]

Пучки предоставляют способ обобщения ограничений для объектов, помимо функций.

В теории снопов объекту присваивается $F(U)$ в категории к каждому открытому набору $U$ топологического пространства и требует, чтобы объекты удовлетворяли определенным условиям. Наиболее важным условием является наличие ограничения морфизмов между каждой парой объектов, связанных с вложенными открытыми множествами; то есть, если $V\subseteq U,$ тогда существует морфизм $\operatorname {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)$ удовлетворяющие следующим свойствам, которые предназначены для имитации ограничения функции:

Для каждого открытого набора $U$ из $X,$ морфизм ограничения $\operatorname {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)$ является тождественным морфизмом на $F(U).$
Если у нас есть три открытых набора $W\subseteq V\subseteq U,$ затем композит $\operatorname {res} _{W,V}\circ \operatorname {res} _{V,U}=\operatorname {res} _{W,U}.$
(Местоположение) Если $\left(U_{i}\right)$ является открытым покрытием открытого множества $U,$ и если $s,t\in F(U)$ таковы, что $s{\big \vert }_{U_{i}}=t{\big \vert }_{U_{i}}$ за каждый комплект $U_{i}$ покрытия, то $s=t$ ; и
(Приклеивание) Если $\left(U_{i}\right)$ является открытым покрытием открытого множества $U,$ и если для каждого $i$ секция $x_{i}\in F\left(U_{i}\right)$ задано так, что для каждой пары $U_{i},U_{j}$ покрытия накладывает ограничения $s_{i}$ и $s_{j}$ согласен по поводу совпадений: $s_{i}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}},$ тогда есть раздел $s\in F(U)$ такой, что $s{\big \vert }_{U_{i}}=s_{i}$ для каждого $i.$

Совокупность всех таких объектов называется пучком . Если удовлетворяются только первые два свойства, это предпучок .

Левое и правое ограничение [ править ]

В более общем смысле, ограничение (или ограничение домена или левое ограничение ) $A\triangleleft R$ бинарного отношения $R$ между $E$ и $F$ может быть определено как отношение, имеющее домен $A,$ кодомен $F$ и график $G(A\triangleleft R)=\{(x,y)\in F(R):x\in A\}.$ Аналогичным образом можно определить ограничение справа или ограничение диапазона. $R\triangleright B.$ Действительно, можно определить ограничение на $n$ -арных отношений, а также к подмножествам , понимаемым как отношения, например, к декартову произведению $E\times F$ для бинарных отношений. Эти случаи не укладываются в схему пучков . ^{[ нужны разъяснения ]}

Антиограничение [ править ]

Антиограничение домена (или вычитание домена ) функции или бинарного отношения $R$ (с доменом $E$ и кодомен $F$ ) по набору $A$ может быть определен как $(E\setminus A)\triangleleft R$ ; он удаляет все элементы $A$ из домена $E.$ Иногда его обозначают $A$ ⩤ $R.$ ^[5] Аналогично, антиограничение диапазона (или вычитание диапазона ) функции или бинарного отношения $R$ по набору $B$ определяется как $R\triangleright (F\setminus B)$ ; он удаляет все элементы $B$ из кодомена $F.$ Иногда его обозначают $R$ ⩥ $B.$

См. также [ править ]

Ограничение - условие задачи оптимизации, которому должно удовлетворять решение.
Отвод деформации — непрерывное отображение топологического пространства в подпространство с сохранением положения.
Локальное свойство – свойство, которое встречается в достаточно малых или произвольно малых окрестностях точек.
Функция (математика) § Ограничение и расширение
Бинарное отношение § Ограничение
Реляционная алгебра § Выбор (σ)

Ссылки [ править ]

^ Столл, Роберт (1974). Множества, логика и аксиоматические теории (2-е изд.). Сан-Франциско: WH Freeman and Company. стр. [36]. ISBN 0-7167-0457-9 .
^ Халмос, Пол (1960). Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Д. Ван Ностранд. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974 г. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано издательством Martino Fine Books, 2011 г. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).
^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Река Аппер-Седл: Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2 .
^ Адамс, Колин Конрад; Францоза, Роберт Дэвид (2008). Введение в топологию: чистую и прикладную . Пирсон Прентис Холл. ISBN 978-0-13-184869-6 .
^ Данн, С. и Стоддарт, Билл, объединяющий теории программирования: Первый международный симпозиум, UTP 2006, Замок Уолворт, графство Дарем, Великобритания, 5–7 февраля 2006 г., Пересмотренное избранное ... Информатика и общие вопросы) . Спрингер (2006)

[Stoll-1] Столл, Роберт (1974). Множества, логика и аксиоматические теории (2-е изд.). Сан-Франциско: WH Freeman and Company. стр. [36]. ISBN 0-7167-0457-9 .

[2] Халмос, Пол (1960). Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Д. Ван Ностранд. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974 г. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано издательством Martino Fine Books, 2011 г. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).

[3] Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Река Аппер-Седл: Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2 .

[4] Адамс, Колин Конрад; Францоза, Роберт Дэвид (2008). Введение в топологию: чистую и прикладную . Пирсон Прентис Холл. ISBN 978-0-13-184869-6 .

[5] Данн, С. и Стоддарт, Билл, объединяющий теории программирования: Первый международный симпозиум, UTP 2006, Замок Уолворт, графство Дарем, Великобритания, 5–7 февраля 2006 г., Пересмотренное избранное ... Информатика и общие вопросы) . Спрингер (2006)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]