Лемма о вставке

В топологии непрерывные функции могут быть « склеены важным результатом является лемма о склейке или склейке, а иногда и правило склейки, которая гласит, что две » вместе, чтобы создать другую непрерывную функцию. Лемма кусочных неявно проявляется при использовании функций . Например, в книге «Топология и группоиды» , где условием утверждения ниже является то, что $A\setminus B\subseteq \operatorname {Int} A$ и $B\setminus A\subseteq \operatorname {Int} B.$

Лемма о склейке имеет решающее значение для построения фундаментальной группы и фундаментального группоида топологического пространства ; он позволяет объединять пути для создания нового пути.

Официальное заявление

Позволять $X,Y$ быть оба закрытыми (или оба открытыми ) подмножествами топологического пространства $A$ такой, что $A=X\cup Y$, и пусть $B$ также будет топологическим пространством. Если $f:A\to B$ является непрерывным, если ограничено обоими $X$ и $Y,$ затем $f$ является непрерывным.

Этот результат позволяет взять две непрерывные функции, определенные на замкнутых (или открытых) подмножествах топологического пространства, и создать новую.

Доказательство : если $U$ является закрытым подмножеством $B,$ затем $f^{-1}(U)\cap X$ и $f^{-1}(U)\cap Y$ оба закрыты, поскольку каждый прообразом является $f$ когда ограничено $X$ и $Y$ соответственно, которые по предположению непрерывны. Тогда их союз , $f^{-1}(U)$ также замкнуто, являясь конечным объединением замкнутых множеств.

Аналогичный аргумент применим, когда $X$ и $Y$ оба открыты. $\Box$

Бесконечный аналог этого результата (где $A=X_{1}\cup X_{2}\cup X_{3}\cup \cdots$) неверно для закрытых $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots .$ Например, карта включения $\iota :\mathbb {Z} \to \mathbb {R}$ от целых чисел до действительной линии (с целыми числами, снабженными коконечной топологией ) является непрерывным, если ограничено целым числом, но прообраз ограниченного открытого множества в действительных числах с этим отображением представляет собой не более конечного числа точек, поэтому не открыть в $\mathbb {Z} .$

Однако это верно, если $X_{1},X_{2},X_{3}\ldots$ образуют локально конечный набор , поскольку объединение локально конечных замкнутых множеств замкнуто. Аналогично, верно, если $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ вместо этого предполагается, что они открыты, поскольку объединение открытых множеств открыто.

Ссылки

• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Браун, Рональд ; Топология и группоиды (Booksurge), 2006 г. ISBN   1-4196-2722-8 .