Фундаментальный группоид

В алгебраической топологии фундаментальный группоид — некоторый топологический инвариант топологического пространства . Ее можно рассматривать как расширение более широко известной фундаментальной группы ; как таковой, он собирает информацию о гомотопическом типе топологического пространства. В терминах теории категорий фундаментальный группоид — это некоторый функтор из категории топологических пространств в категорию группоидов .

[...] люди по-прежнему упорно упорствуют при расчетах с фундаментальными группами в фиксации одной базовой точки вместо того, чтобы ловко выбирать целый пакет точек, инвариантный относительно симметрий ситуации, которые таким образом теряются на пути. В определенных ситуациях (например, теоремы о спуске фундаментальных групп а-ля Ван Кампен) гораздо более элегантно и даже необходимо для понимания чего-либо работать с фундаментальными группоидами относительно подходящего пакета базовых точек, [,,,]
- Александр Гротендик , Программа Esquisse d'un (Раздел 2, английский перевод )

Определение [ править ]

Пусть $X$ — топологическое пространство . Рассмотрим отношение эквивалентности на непрерывных путях в $X$ , в котором два непрерывных пути эквивалентны, если они гомотопны с фиксированными концами. Фундаментальный группоид сопоставляет каждой упорядоченной паре точек $(p, q)$ в $X$ набор классов эквивалентности непрерывных путей от $p$ до $q$ . В более общем смысле, фундаментальный группоид $X$ на множестве $S$ ограничивает фундаментальный группоид точками, которые лежат как в $X,$ так и $в S$ . Это позволяет обобщить теорему Ван Кампена, используя две базовые точки для вычисления фундаментальной группы круга. ^[1]

Как следует из названия, фундаментальный группоид $X$ естественным образом имеет структуру группоида . В частности, оно образует категорию; объекты считаются точками $X$ , а набор морфизмов от $p$ до $q$ — это набор классов эквивалентности, приведенный выше. Тот факт, что это удовлетворяет определению категории, сводится к стандартному факту , что класс эквивалентности конкатенации двух путей зависит только от классов эквивалентности отдельных путей. ^[2] Аналогично, тот факт, что эта категория является группоидом, который утверждает, что каждый морфизм обратим, сводится к стандартному факту, что можно изменить ориентацию пути, а класс эквивалентности полученной конкатенации содержит постоянный путь. ^[3]

что фундаментальный группоид присваивает упорядоченной паре $(p, p)$ , фундаментальную группу X $Обратите внимание ,$ основанную на $p$ .

Основные свойства [ править ]

В топологическом пространстве $X$ X компоненты линейной связности образом $естественным$ закодированы в его фундаментальном группоиде; наблюдение состоит в том, что $p$ и $q$ находятся в одной и той же компоненте линейной связности $X$ тогда и только тогда, когда набор классов эквивалентности непрерывных путей от $p$ до $q$ непуст. В категорических терминах утверждение состоит в том, что объекты $p$ и $q$ находятся в одной и той же компоненте группоида тогда и только тогда, когда множество морфизмов от $p$ до $q$ непусто. ^[4]

Предположим, что $X$ линейно связен, и зафиксируем элемент $p$ из $X$ . Фундаментальную группу $π 1 (X, p)$ можно рассматривать как категорию; существует один объект и морфизмы из него в себя являются элементами $π 1 (X, p)$ . Выбор для каждого $q$ в $M$ непрерывного пути от $p$ до $q$ позволяет использовать конкатенацию для просмотра любого пути в $X$ как цикла, основанного на $p$ . Это определяет эквивалентность категорий между $π 1 (X, p)$ и фундаментальным $X.$ группоидом Точнее, это демонстрирует $π 1 (X, p)$ как скелет фундаментального группоида $X$ . ^[5]

Фундаментальный группоид (линейно-связного) дифференцируемого многообразия $X$ деле является группоидом Ли , возникающим как калибровочный группоид универсального накрытия X $на самом$ . ^[6]

Связки групп и локальных систем [ править ]

В топологическом пространстве $X$ локальная система является функтором фундаментального группоида $X$ в категорию. ^[7] В качестве важного частного случая расслоение (абелевых) групп на $X$ является локальной системой со значениями в категории (абелевых) групп. Это означает, что расслоение групп на $X$ сопоставляет группу $G p$ каждому элементу $p$ из $X$ и сопоставляет групповой гомоморфизм $G p \to G q$ каждому непрерывному пути от $p$ к $q$ . Чтобы быть функтором, эти групповые гомоморфизмы должны быть совместимы с топологической структурой, так что гомотопические пути с фиксированными конечными точками определяют один и тот же гомоморфизм; при этом групповые гомоморфизмы должны складываться в соответствии с конкатенацией и инверсией путей. ^[8] Можно определить гомологии с коэффициентами в пучке абелевых групп. ^[9]

Когда $X$ удовлетворяет определенным условиям, локальную систему можно эквивалентно описать как локально постоянный пучок .

Примеры [ править ]

Фундаментальным группоидом одноэлементного пространства является тривиальный группоид (группоид с одним объектом * и одним морфизмом $Hom(*, *) = { id * : * \to *$ }
Фундаментальный группоид окружности связен , и все его группы вершин изоморфны $(\mathbb {Z} ,+)$ , аддитивная группа целых чисел .

гипотеза Гомотопическая

Гомотопическая гипотеза , известная гипотеза в теории гомотопии, сформулированная Александром Гротендиком , утверждает, что подходящее обобщение фундаментального группоида, известное как фундаментальный ∞-группоид , захватывает всю информацию о топологическом пространстве с точностью до слабой гомотопической эквивалентности .

Ссылки [ править ]

^ Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды . Академический поиск завершен. Северный Чарльстон: CreateSpace . ISBN 978-1-4196-2722-4 . OCLC 712629429 .
^ Спаниер, раздел 1.7; Лемма 6 и теорема 7.
^ Спаниер, раздел 1.7; Теорема 8.
^ Спаниер, раздел 1.7; Теорема 9.
^ Май, раздел 2.5.
^ Маккензи, Кирилл CH (2005). Общая теория группоидов и алгеброидов Ли . Серия лекций Лондонского математического общества. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9781107325883 . ISBN 978-0-521-49928-6 .
^ Спаниер, глава 1; Упражнения Ф.
^ Уайтхед, раздел 6.1; стр. 257.
^ Уайтхед, раздел 6.2.

Рональд Браун . Топология и группоиды. Третье издание «Элементов современной топологии» [McGraw-Hill, New York, 1968]. С 1 компакт-диском (Windows, Macintosh и UNIX). BookSurge, LLC, Чарльстон, Южная Каролина, 2006. xxvi+512 стр. ISBN 1-4196-2722-8
Браун Р., Хиггинс П.Дж. и Сивера Р., Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды. Трактаты по математике Том 15. Европейское математическое общество (2011). (663+xxv страниц) ISBN 978-3-03719-083-8
Дж. Питер Мэй . Краткий курс алгебраической топологии. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета, Чикаго, Иллинойс, 1999. x+243 стр. ISBN 0-226-51182-0 , 0-226-51183-9
Эдвин Х. Спэньер . Алгебраическая топология. Исправленная перепечатка оригинала 1966 года. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Берлин, 1981. xvi+528 стр. ISBN 0-387-90646-0
Джордж Уайтхед . Элементы теории гомотопий. Тексты для выпускников по математике, 61. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Берлин, 1978. xxi +744 стр. ISBN 0-387-90336-4

Внешние ссылки [ править ]

Веб-сайт Рональда Брауна, известного автора по теме группоидов в топологии: http://groupoids.org.uk/
фундаментальный группоид в n Lab
фундаментальный группоид бесконечности в n Lab

[1] Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды . Академический поиск завершен. Северный Чарльстон: CreateSpace . ISBN 978-1-4196-2722-4 . OCLC 712629429 .

[2] Спаниер, раздел 1.7; Лемма 6 и теорема 7.

[3] Спаниер, раздел 1.7; Теорема 8.

[4] Спаниер, раздел 1.7; Теорема 9.

[5] Май, раздел 2.5.

[6] Маккензи, Кирилл CH (2005). Общая теория группоидов и алгеброидов Ли . Серия лекций Лондонского математического общества. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9781107325883 . ISBN 978-0-521-49928-6 .

[7] Спаниер, глава 1; Упражнения Ф.

[8] Уайтхед, раздел 6.1; стр. 257.

[9] Уайтхед, раздел 6.2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]