Покрытие пространства

Интуитивно понятно, что покрытие локально проецирует «стопку блинов» над открытым районом. $U$ на $U$

В топологии покрытие локально или покрывающая проекция — это карта между топологическими пространствами , которая интуитивно действует как проекция множества копий пространства на себя. В частности, накрытия представляют собой специальные виды локальных гомеоморфизмов . Если $p:{\tilde {X}}\to X$ представляет собой покрытие, $({\tilde {X}},p)$ называется пространством или покрытием покрывающим $X$, и $X$ Говорят, что это основа покрытия или просто основа . Злоупотребляя терминологией , ${\tilde {X}}$ и $p$ можно назвать покрывающими пространствами иногда также . Поскольку накрытия являются локальными гомеоморфизмами, накрывающее пространство представляет собой особый вид этального пространства .

Накрывающие пространства впервые возникли в контексте комплексного анализа (в частности, техники аналитического продолжения ), где они были введены Риманом как области, на которых естественно многозначные комплексные функции становятся однозначными. Эти пространства теперь называются римановыми поверхностями .

Покрывающие пространства являются важным инструментом в нескольких областях математики. В современной геометрии накрывающие пространства (или разветвленные накрытия , имеющие несколько более слабые условия) используются при построении многообразий , орбифолдов и морфизмов между ними. В алгебраической топологии накрывающие пространства тесно связаны с фундаментальной группой : во-первых, поскольку все покрытия обладают свойством гомотопического подъема , накрывающие пространства являются важным инструментом при вычислении гомотопических групп . Стандартный пример в этом духе — вычисление фундаментальной группы окружности посредством покрытия $S^{1}$ к $\mathbb {R}$ (см. ниже ). При определенных условиях накрывающие пространства также обнаруживают соответствие Галуа с подгруппами фундаментальной группы.

Определение

Позволять $X$ быть топологическим пространством. Покрытие ​ ​ $X$ представляет собой непрерывную карту

$\pi :{\tilde {X}}\rightarrow X$

такой, что для каждого $x\in X$ существует открытое соседство $U_{x}$ из $x$ и дискретное пространство $D_{x}$ такой, что $\pi ^{-1}(U_{x})=\displaystyle \bigsqcup _{d\in D_{x}}V_{d}$ и $\pi |_{V_{d}}:V_{d}\rightarrow U_{x}$ является гомеоморфизмом для любого $d\in D_{x}$.Открытые наборы $V_{d}$ называются листами , которые определяются однозначно с точностью до гомеоморфизма, если $U_{x}$ подключен ​ . Для каждого $x\in X$ дискретный набор $\pi ^{-1}(x)$ называется волокном ​ $x$. Если $X$ связно, можно показать, что $\pi$ сюръективен ​ , мощность а $D_{x}$ одинаково для всех $x\in X$; эта величина называется степенью покрытия. Если ${\tilde {X}}$ линейно связна , то накрытие $\pi :{\tilde {X}}\rightarrow X$ называется линейно-связным покрытием . Это определение эквивалентно утверждению, что $\pi$ является локально тривиальным расслоением Fiber .

Некоторые авторы также требуют, чтобы $\pi$ быть сюръективным в том случае, если $X$ не подключен.

Примеры

• Для любого топологического пространства $X$, карта личности $\operatorname {id} :X\rightarrow X$ является покрытием. Аналогично для любого дискретного пространства $D$ проекция $\pi :X\times D\rightarrow X$ принимая $(x,i)\mapsto x$ является покрытием. Покрытия этого типа называются тривиальными покрытиями ; если $D$ имеет конечное число (скажем $k$) элементов, покрытие называется тривиальным $k$ листовое покрытие - $X$.

Пространство $Y=[0,1]\times \mathbb {R}$ представляет собой покровное пространство $X=[0,1]\times S^{1}$. Непересекающиеся открытые множества $S_{i}$ гомеоморфно отображаются на $U$. Волокно $x$ состоит из точек $y_{i}$.

• Карта $r:\mathbb {R} \to S^{1}$ с $r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ является покрытием единичной окружности $S^{1}$. Основа покрытия $S^{1}$ и площадь покрытия $\mathbb {R}$. Для любой точки $x=(x_{1},x_{2})\in S^{1}$ такой, что $x_{1}>0$, набор $U:=\{(x_{1},x_{2})\in S^{1}\mid x_{1}>0\}$ это открытый район $x$. Прообраз $U$ под $r$ является

  $r^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }\left(n-{\frac {1}{4}},n+{\frac {1}{4}}\right)$

и листы покрытия $V_{n}=(n-1/4,n+1/4)$ для $n\in \mathbb {Z} .$ Волокно $x$ является

$r^{-1}(x)=\{t\in \mathbb {R} \mid (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))=x\}.$

• Еще одним покрытием единичного круга является карта $q:S^{1}\to S^{1}$ с $q(z)=z^{n}$ для некоторых $n\in \mathbb {N} .$ Для открытого соседства $U$ из $x\in S^{1}$, у одного есть:

$q^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{i=1}^{n}U$.

• Отображение, являющееся локальным гомеоморфизмом , но не покрывающее единичную окружность, называется $p:\mathbb {R_{+}} \to S^{1}$ с $p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$. Имеется лист открытой окрестности $(1,0)$, который не отображается гомеоморфно на $U$.

Свойства

Локальный

Поскольку покрытие $\pi :E\rightarrow X$ отображает каждое из непересекающихся открытых множеств $\pi ^{-1}(U)$ гомеоморфно на $U$ это локальный гомеоморфизм, т.е. $\pi$ является непрерывным отображением и для каждого $e\in E$ существует открытое соседство $V\subset E$ из $e$, такой, что $\pi |_{V}:V\rightarrow \pi (V)$ является гомеоморфизмом.

Отсюда следует, что накрывающее пространство $E$ и базовое пространство $X$ локально имеют одни и те же свойства.

• Если $X$ — связное и неориентируемое многообразие , то существует накрытие $\pi :{\tilde {X}}\rightarrow X$ степени $2$, в результате чего ${\tilde {X}}$ является связным и ориентируемым многообразием.
• Если $X$ — связная группа Ли , то существует накрытие $\pi :{\tilde {X}}\rightarrow X$ который также является гомоморфизмом группы Ли и ${\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in X with }}\gamma (0)={\boldsymbol {1_{X}}}{\text{ modulo homotopy with fixed ends}}\}$ является группой Ли.
• Если $X$ является графом , то для покрытия следует $\pi :E\rightarrow X$ что $E$ это тоже график.
• Если $X$ — связное многообразие , то существует накрытие $\pi :{\tilde {X}}\rightarrow X$, в результате чего ${\tilde {X}}$ является связным и односвязным многообразием.
• Если $X$ — связная риманова поверхность , то существует накрытие $\pi :{\tilde {X}}\rightarrow X$ которое также является голоморфным отображением и ${\tilde {X}}$ — связная и односвязная риманова поверхность.

Факторизация

Позволять $X,Y$ и $E$ быть линейно-связными, локально линейно-связными пространствами и $p,q$ и $r$ — непрерывные отображения, такие, что диаграмма

ездит на работу.

• Если $p$ и $q$ являются покрытиями, так что $r$.
• Если $p$ и $r$ являются покрытиями, так что $q$.

Продукт покрытий

Позволять $X$ и $X'$ быть топологическими пространствами и $p:E\rightarrow X$ и $p':E'\rightarrow X'$ быть покрытиями, тогда $p\times p':E\times E'\rightarrow X\times X'$ с $(p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))$ является покрытием. Однако покрытия $X\times X'$ не все в этой форме вообще.

Эквивалентность покрытий

Позволять $X$ быть топологическим пространством и $p:E\rightarrow X$ и $p':E'\rightarrow X$ быть покрытиями. Оба накрытия называются эквивалентными , если существует гомеоморфизм $h:E\rightarrow E'$, такой, что диаграмма

ездит на работу. Если такой гомеоморфизм существует, то накрывающие пространства называются $E$ и $E'$ изоморфный .

Подъемное имущество

Все покрытия обладают подъемным свойством , т.е.:

Позволять $I$ быть единичным интервалом и $p:E\rightarrow X$ быть покрытием. Позволять $F:Y\times I\rightarrow X$ быть непрерывным отображением и ${\tilde {F}}_{0}:Y\times \{0\}\rightarrow E$ быть лифтом $F|_{Y\times \{0\}}$, т. е. непрерывное отображение такое, что $p\circ {\tilde {F}}_{0}=F|_{Y\times \{0\}}$. Тогда существует однозначно определенное непрерывное отображение ${\tilde {F}}:Y\times I\rightarrow E$ для чего ${\tilde {F}}(y,0)={\tilde {F}}_{0}$ и что такое лифт $F$, то есть $p\circ {\tilde {F}}=F$.

Если $X$ является линейно-связным пространством, то для $Y=\{0\}$ следует, что карта ${\tilde {F}}$ это подъем пути в $X$ и для $Y=I$ это подъем гомотопии путей в $X$.

Как следствие, можно показать, что фундаментальная группа $\pi _{1}(S^{1})$ единичной окружности — бесконечная циклическая группа , порожденная гомотопическими классами петли $\gamma :I\rightarrow S^{1}$ с $\gamma (t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$.

Позволять $X$ быть пространством, связанным между собой и $p:E\rightarrow X$ быть связным покрытием. Позволять $x,y\in X$ любые две точки, соединенные путем $\gamma$, то есть $\gamma (0)=x$ и $\gamma (1)=y$. Позволять ${\tilde {\gamma }}$ быть уникальным лифтом $\gamma$, то карта

$L_{\gamma }:p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(y)$ с $L_{\gamma }({\tilde {\gamma }}(0))={\tilde {\gamma }}(1)$

является биективным .

Если $X$ представляет собой пространство, связанное путями, и $p:E\rightarrow X$ связное накрытие, то индуцированный групповой гомоморфизм

$p_{\#}:\pi _{1}(E)\rightarrow \pi _{1}(X)$ с $p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]$,

инъективна ​ и подгруппа $p_{\#}(\pi _{1}(E))$ из $\pi _{1}(X)$ состоит из гомотопических классов петель в $X$, лифты которого являются петлями в $E$.

Разветвленное покрытие

Определения

поверхностей

Позволять $X$ и $Y$ — римановы поверхности , т.е. одномерные комплексные многообразия , и пусть $f:X\rightarrow Y$ быть непрерывным отображением. $f$ голоморфен в точке $x\in X$, если для любых графиков $\phi _{x}:U_{1}\rightarrow V_{1}$ из $x$ и $\phi _{f(x)}:U_{2}\rightarrow V_{2}$ из $f(x)$, с $\phi _{x}(U_{1})\subset U_{2}$, карта $\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ является голоморфным .

Если $f$ вообще голоморфен $x\in X$, мы говорим $f$ голоморфен .

Карта $F=\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}$ называется локальным выражением $f$ в $x\in X$.

Если $f:X\rightarrow Y$ — непостоянное голоморфное отображение между компактными римановыми поверхностями , то $f$ является сюръективной и открытой картой , т.е. для каждого открытого набора $U\subset X$ изображение ​ $f(U)\subset Y$ также открыт.

Точка ветвления и точка ветвления

Позволять $f:X\rightarrow Y$ — непостоянное голоморфное отображение компактных римановых поверхностей. Для каждого $x\in X$ существуют диаграммы для $x$ и $f(x)$ и существует однозначно определенное $k_{x}\in \mathbb {N_{>0}}$, такой, что локальное выражение $F$ из $f$ в $x$ имеет форму $z\mapsto z^{k_{x}}$. Число $k_{x}$ называется ветвления индексом $f$ в $x$ и точка $x\in X$ называется точкой ветвления, если $k_{x}\geq 2$. Если $k_{x}=1$ для $x\in X$, затем $x$ является неразветвленным . Точка изображения $y=f(x)\in Y$ точки ветвления называется точкой ветвления.

Степень голоморфного отображения

Позволять $f:X\rightarrow Y$ — непостоянное голоморфное отображение компактных римановых поверхностей. Степень ​ $\operatorname {deg} (f)$ из $f$ — мощность слоя неразветвленной точки $y=f(x)\in Y$, то есть $\operatorname {deg} (f):=|f^{-1}(y)|$.

Это число вполне определено, так как для каждого $y\in Y$ волокно $f^{-1}(y)$ дискретен и для любых двух неразветвленных точек $y_{1},y_{2}\in Y$, это: $|f^{-1}(y_{1})|=|f^{-1}(y_{2})|.$

Его можно рассчитать по:

$\sum _{x\in f^{-1}(y)}k_{x}=\operatorname {deg} (f)$

Разветвленное покрытие

Определение

Непрерывная карта $f:X\rightarrow Y$ называется разветвленным покрытием , если существует замкнутое множество с плотным дополнением $E\subset Y$, такой, что $f_{|X\smallsetminus f^{-1}(E)}:X\smallsetminus f^{-1}(E)\rightarrow Y\smallsetminus E$ является покрытием.

Примеры

• Позволять $n\in \mathbb {N}$ и $n\geq 2$, затем $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ с $f(z)=z^{n}$ является разветвленным накрытием степени $n$, где по $z=0$ является точкой ветвления.
• Каждое непостоянное голоморфное отображение компактных римановых поверхностей. $f:X\rightarrow Y$ степени $d$ является разветвленным накрытием степени $d$.

Универсальное покрытие

Определение

Позволять $p:{\tilde {X}}\rightarrow X$ быть односвязным накрытием. Если $\beta :E\rightarrow X$ — другое односвязное накрытие, то существует однозначно определенный гомеоморфизм $\alpha :{\tilde {X}}\rightarrow E$, такой, что диаграмма

ездит на работу.

Это означает, что $p$ с точностью до эквивалентности определена однозначно и в силу этого универсального свойства называется универсальным накрытием пространства $X$.

Существование

Универсальное покрытие не всегда существует, но его существование гарантируют следующие свойства:

Позволять $X$ быть связным, локально односвязным топологическим пространством; тогда существует универсальное накрытие $p:{\tilde {X}}\rightarrow X$.

${\tilde {X}}$ определяется как ${\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in }}X{\text{ with }}\gamma (0)=x_{0}\}/{\text{ homotopy with fixed ends}}$ и $p:{\tilde {X}}\rightarrow X$ к $p([\gamma ]):=\gamma (1)$.

Топология ​ на ${\tilde {X}}$ строится следующим образом: Пусть $\gamma :I\rightarrow X$ быть путем с $\gamma (0)=x_{0}$. Позволять $U$ быть односвязной окрестностью конечной точки $x=\gamma (1)$, то для каждого $y\in U$ пути ​ $\sigma _{y}$ внутри $U$ от $x$ к $y$ однозначно определены с точностью до гомотопии . Теперь рассмотрим ${\tilde {U}}:=\{\gamma .\sigma _{y}:y\in U\}/{\text{ homotopy with fixed ends}}$, затем $p_{|{\tilde {U}}}:{\tilde {U}}\rightarrow U$ с $p([\gamma .\sigma _{y}])=\gamma .\sigma _{y}(1)=y$ является биекцией и ${\tilde {U}}$ может быть оснащен окончательной топологией $p_{|{\tilde {U}}}$.

Основная группа $\pi _{1}(X,x_{0})=\Gamma$ действует свободно через $([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma .{\tilde {x}}]$ на ${\tilde {X}}$ и $\psi :\Gamma \backslash {\tilde {X}}\rightarrow X$ с $\psi ([\Gamma {\tilde {x}}])={\tilde {x}}(1)$ является гомеоморфизмом, т.е. $\Gamma \backslash {\tilde {X}}\cong X$.

Примеры

Гавайская серьга. Показаны только десять самых больших кругов.

• $r:\mathbb {R} \to S^{1}$ с $r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ — универсальное покрытие единичной окружности $S^{1}$.
• $p:S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}\cong \{+1,-1\}\backslash S^{n}$ с $p(x)=[x]$ является универсальным покрытием проективного пространства $\mathbb {R} P^{n}$ для $n>1$.
• $q:\mathrm {SU} (n)\ltimes \mathbb {R} \to U(n)$ с $$q(A,t)={\begin{bmatrix}\exp(2\pi it)&0\\0&I_{n-1}\end{bmatrix}}_{\vphantom {x}}A$$ является универсальным накрытием унитарной группы $U(n)$.
• С $\mathrm {SU} (2)\cong S^{3}$, то фактор-отображение $$f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SU} (2)\backslash \mathbb {Z_{2}} \cong \mathrm {SO} (3)$$ является универсальным покрытием $\mathrm {SO} (3)$.
• Топологическое пространство, не имеющее универсального покрытия, — это гавайская серьга : $$X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:{\Bigl (}x_{1}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{2}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}$$ Можно показать, что никакая окрестность начала координат $(0,0)$ просто связано.

G-покрытия

Пусть G — дискретная группа, в топологическом пространстве X. действующая Это означает, что каждый элемент g группы G связан с гомеоморфизмом H _g группы X на самого себя таким образом, что H _{g h} всегда равен H _g ∘ H _h для любых двух элементов g и h группы G . (Иными словами, групповое действие группы G на пространстве X — это не что иное, как групповой гомоморфизм группы G в группу Homeo( X ) самогомеоморфизмов X ). Естественно задаться вопросом, при каких условиях проекция из X в пространство орбит X / G является накрывающим отображением. Это не всегда так, поскольку действие может иметь фиксированные точки. Примером этого является циклическая группа порядка 2, действующая на произведение X × X действием скручивания, где неединичный элемент действует по принципу ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Таким образом, изучение связи между фундаментальными группами X и X / G не так просто.

Однако группа G действительно действует на фундаментальный группоид X орбитальные , и поэтому исследование лучше всего проводить, рассматривая группы, действующие на группоиды, и соответствующие группоиды . Теория этого изложена в главе 11 книги «Топология и группоиды», упомянутой ниже. Основной результат состоит в том, что для разрывных действий группы G на хаусдорфовом пространстве X , допускающем универсальное накрытие, фундаментальный группоид пространства орбит X / G изоморфен орбитальному группоиду фундаментального группоида X , т. е. фактор этого группоида действием группы G . Это приводит к явным вычислениям, например, фундаментальной группы симметрического квадрата пространства.

Трансформация колоды

Определение

Позволять $p:E\rightarrow X$ быть покрытием. — Преобразование колоды это гомеоморфизм. $d:E\rightarrow E$, такой, что диаграмма непрерывных отображений

ездит на работу. Вместе с составом карт набор трансформации колоды образует группу $\operatorname {Deck} (p)$, что то же самое, что $\operatorname {Aut} (p)$.

Теперь предположим $p:C\to X$ является покрывающей картой и $C$ (и, следовательно, также $X$) подключен и подключен локально. Действие $\operatorname {Aut} (p)$ на каждом слое транзитивно . Если это действие свободно на каком-то слое, то оно свободно на всех слоях, и накрытие мы называем регулярным (или нормальным , или Галуа ). Каждое такое регулярное покрытие является принципалом $G$-расслоение , где $G=\operatorname {Aut} (p)$ рассматривается как дискретная топологическая группа.

Каждый универсальный чехол $p:D\to X$ является регулярным, причем группа преобразований колоды изоморфна фундаментальной группе $\pi _{1}(X)$.

Примеры

• Позволять $q:S^{1}\to S^{1}$ быть прикрытием $q(z)=z^{n}$ для некоторых $n\in \mathbb {N}$, то карта $d_{k}:S^{1}\rightarrow S^{1}:z\mapsto z\,e^{2\pi ik/n}$ это трансформация колоды и $\operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z} /\mathbb {nZ}$.
• Позволять $r:\mathbb {R} \to S^{1}$ быть прикрытием $r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$, то карта $d_{k}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :t\mapsto t+k$ с $k\in \mathbb {Z}$ это трансформация колоды и $\operatorname {Deck} (r)\cong \mathbb {Z}$.
• В качестве еще одного важного примера рассмотрим $\mathbb {C}$ сложная плоскость и $\mathbb {C} ^{\times }$ комплексная плоскость минус начало координат. Тогда карта $p:\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }$ с $p(z)=z^{n}$ это обычный чехол. Преобразования колоды представляют собой умножения с $n$Таким образом, корни -й степени из единицы и группа преобразований колоды изоморфны циклической группе. $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$. Аналогично, карта $\exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }$ с $\exp(z)=e^{z}$ это универсальный чехол.

Свойства

Позволять $X$ быть пространством, связанным между собой и $p:E\rightarrow X$ быть связным покрытием. С момента трансформации колоды $d:E\rightarrow E$ является биективным , он переставляет элементы слоя $p^{-1}(x)$ с $x\in X$ и однозначно определяется тем, куда он отправляет одну точку. В частности, только тождественная карта фиксирует точку в волокне. Благодаря этому свойству каждое преобразование колоды определяет групповое действие над $E$, то есть пусть $U\subset X$ быть открытым районом $x\in X$ и ${\tilde {U}}\subset E$ открытый район $e\in p^{-1}(x)$, затем $\operatorname {Deck} (p)\times E\rightarrow E:(d,{\tilde {U}})\mapsto d({\tilde {U}})$ это групповое действие .

Обычные покрытия

Определение

Покрытие $p:E\rightarrow X$ называется нормальным, если $\operatorname {Deck} (p)\backslash E\cong X$. Это означает, что для каждого $x\in X$ и любые два $e_{0},e_{1}\in p^{-1}(x)$ существует трансформация колоды $d:E\rightarrow E$, такой, что $d(e_{0})=e_{1}$.

Свойства

Позволять $X$ быть пространством, связанным между собой и $p:E\rightarrow X$ быть связным покрытием. Позволять $H=p_{\#}(\pi _{1}(E))$ быть подгруппой ​ $\pi _{1}(X)$, затем $p$ это нормальное покрытие тогда и только тогда $H$ является нормальной подгруппой $\pi _{1}(X)$.

Если $p:E\rightarrow X$ является обычным покрытием и $H=p_{\#}(\pi _{1}(E))$, затем $\operatorname {Deck} (p)\cong \pi _{1}(X)/H$.

Если $p:E\rightarrow X$ является линейно-связным покрытием и $H=p_{\#}(\pi _{1}(E))$, затем $\operatorname {Deck} (p)\cong N(H)/H$, в результате чего $N(H)$ является нормализатором ​ $H$.

Позволять $E$ быть топологическим пространством. Группа $\Gamma$ действует прерывисто на $E$, если каждый $e\in E$ имеет открытое окружение $V\subset E$ с $V\neq \emptyset$, такой, что для каждого $d_{1},d_{2}\in \Gamma$ с $d_{1}V\cap d_{2}V\neq \emptyset$ у одного есть $d_{1}=d_{2}$.

Если группа $\Gamma$ действует разрывно в топологическом пространстве $E$, то фактор-отображение $q:E\rightarrow \Gamma \backslash E$ с $q(e)=\Gamma e$ это обычное покрытие. Настоящим $\Gamma \backslash E=\{\Gamma e:e\in E\}$ является факторпространством и $\Gamma e=\{\gamma (e):\gamma \in \Gamma \}$ — орбита действия группы.

Примеры

• Покрытие $q:S^{1}\to S^{1}$ с $q(z)=z^{n}$ это нормальное покрытие для каждого $n\in \mathbb {N}$.
• Всякое односвязное накрытие является нормальным накрытием.

Расчет

Позволять $\Gamma$ — группа, действующая разрывно в топологическом пространстве. $E$ и пусть $q:E\rightarrow \Gamma \backslash E$ быть обычным покрытием.

• Если $E$ связен по путям, то $\operatorname {Deck} (q)\cong \Gamma$.

• Если $E$ просто связен, то $\operatorname {Deck} (q)\cong \pi _{1}(\Gamma \backslash E)$.

Примеры

• Позволять $n\in \mathbb {N}$. Антиподальная карта $g:S^{n}\rightarrow S^{n}$ с $g(x)=-x$ генерирует вместе с составом карт группу $D(g)\cong \mathbb {Z/2Z}$ и вызывает групповое действие $D(g)\times S^{n}\rightarrow S^{n},(g,x)\mapsto g(x)$, который действует разрывно на $S^{n}$. Из-за $\mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}$ отсюда следует, что факторотображение $q:S^{n}\rightarrow \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}$ является нормальным покрытием и для $n>1$ универсальное покрытие, следовательно $\operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}({\mathbb {R} P^{n}})$ для $n>1$.
• Позволять $\mathrm {SO} (3)$ — специальная ортогональная группа , то отображение $f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SO} (3)\cong \mathbb {Z_{2}} \backslash \mathrm {SU} (2)$ является нормальным покрытием и из-за $\mathrm {SU} (2)\cong S^{3}$, это универсальное накрытие, следовательно $\operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {SO} (3))$.
• С групповым действием $(z_{1},z_{2})*(x,y)=(z_{1}+(-1)^{z_{2}}x,z_{2}+y)$ из $\mathbb {Z^{2}}$ на $\mathbb {R^{2}}$, в результате чего $(\mathbb {Z^{2}} ,*)$ это полупрямой продукт $\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z}$, получим универсальное накрытие $f:\mathbb {R^{2}} \rightarrow (\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} )\backslash \mathbb {R^{2}} \cong K$ из бутылки Клейна $K$, следовательно $\operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} \cong \pi _{1}(K)$.
• Позволять $T=S^{1}\times S^{1}$ быть тором , вложенным в $\mathbb {C^{2}}$. Тогда получается гомеоморфизм $\alpha :T\rightarrow T:(e^{ix},e^{iy})\mapsto (e^{i(x+\pi )},e^{-iy})$, что индуцирует разрывное групповое действие $G_{\alpha }\times T\rightarrow T$, в результате чего $G_{\alpha }\cong \mathbb {Z/2Z}$. Отсюда следует, что карта $f:T\rightarrow G_{\alpha }\backslash T\cong K$ является нормальным покрытием бутылки Клейна, следовательно $\operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z}$.
• Позволять $S^{3}$ быть встроен в $\mathbb {C^{2}}$. Поскольку групповое действие $S^{3}\times \mathbb {Z/pZ} \rightarrow S^{3}:((z_{1},z_{2}),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}z_{1},e^{2\pi ikq/p}z_{2})$ носит прерывистый характер, при этом $p,q\in \mathbb {N}$ взаимнопросты карта , $f:S^{3}\rightarrow \mathbb {Z_{p}} \backslash S^{3}=:L_{p,q}$ — универсальное покрытие хрусталикового пространства $L_{p,q}$, следовательно $\operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/pZ} \cong \pi _{1}(L_{p,q})$.

Переписка Галуа

Позволять $X$ — связное и локально односвязное пространство, то для каждой подгруппы $H\subseteq \pi _{1}(X)$ существует линейно-связное накрытие $\alpha :X_{H}\rightarrow X$ с $\alpha _{\#}(\pi _{1}(X_{H}))=H$.

Позволять $p_{1}:E\rightarrow X$ и $p_{2}:E'\rightarrow X$ — два линейно-связных покрытия, то они эквивалентны тогда и только тогда, когда подгруппы $H=p_{1\#}(\pi _{1}(E))$ и $H'=p_{2\#}(\pi _{1}(E'))$ сопряжены друг с другом.

Позволять $X$ — связное и локально односвязное пространство, то с точностью до эквивалентности покрытий существует биекция:

${\begin{matrix}\qquad \displaystyle \{{\text{Subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{path-connected covering }}p:E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\\\displaystyle \{{\text{normal subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{normal covering }}p:E\rightarrow X\}\end{matrix}}$

Для последовательности подгрупп $\displaystyle \{{\text{e}}\}\subset H\subset G\subset \pi _{1}(X)$ получается последовательность накрытий ${\tilde {X}}\longrightarrow X_{H}\cong H\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X_{G}\cong G\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X\cong \pi _{1}(X)\backslash {\tilde {X}}$. Для подгруппы $H\subset \pi _{1}(X)$ с индексом $\displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d$, покрытие $\alpha :X_{H}\rightarrow X$ имеет степень $d$.

Классификация

Определения

Категория покрытий

Позволять $X$ быть топологическим пространством. Объекты категории ${\boldsymbol {Cov(X)}}$ это покрытия $p:E\rightarrow X$ из $X$ и морфизмы между двумя накрытиями $p:E\rightarrow X$ и $q:F\rightarrow X$ представляют собой непрерывные карты $f:E\rightarrow F$, такой, что диаграмма

ездит на работу.

G-Set

Позволять $G$ быть топологической группой . Категория ​ ${\boldsymbol {G-Set}}$ — категория множеств, являющихся G-множествами . Морфизмы являются G-отображениями. $\phi :X\rightarrow Y$ между G-сетами. Они удовлетворяют условию $\phi (gx)=g\,\phi (x)$ для каждого $g\in G$.

Эквивалентность

Позволять $X$ быть связным и локально односвязным пространством, $x\in X$ и $G=\pi _{1}(X,x)$ быть основной группой $X$. С $G$ определяет, поднимая пути и оценивая в конечной точке подъема групповое действие на слое покрытия, функтор $F:{\boldsymbol {Cov(X)}}\longrightarrow {\boldsymbol {G-Set}}:p\mapsto p^{-1}(x)$ есть эквивалентность категорий .

Приложения

Блокировка подвеса происходит потому, что любая карта T ³ → РП ³ не является покрывающей картой. В частности, соответствующая карта содержит любой элемент T ³ , то есть упорядоченная тройка (a,b,c) углов (действительные числа по модулю 2 π ), к композиции трех вращений координатных осей R _x (a)∘R _y (b)∘R _z (c) этими углами соответственно. Каждое из этих вращений и их состав являются элементом группы вращений SO(3), которая топологически является RP. ³ . На этой анимации показан набор из трех подвесов, смонтированных вместе, что обеспечивает три степени свободы. Когда все три подвеса выровнены (в одной плоскости), в этой конфигурации система может двигаться только в двух измерениях, а не в трех, и находится в режиме блокировки подвеса . В этом случае он может наклоняться или рыскать, но не катиться (вращаться в плоскости, в которой лежат все оси).

Важное практическое применение покрывающих пространств происходит в диаграммах на SO(3) , группе вращения . Эта группа широко распространена в технике, поскольку трехмерное вращение широко используется в навигации , морской технике и аэрокосмической технике , а также во многих других областях. Топологически SO(3) — это реальное проективное пространство RP. ³ , с фундаментальной группой Z /2 и единственным (нетривиальным) накрывающим пространством гиперсферы S ³ , которая является группой Spin(3) и представлена ​​единичными кватернионами . Таким образом, кватернионы являются предпочтительным методом представления пространственного вращения – см. кватернионы и пространственное вращение .

Однако часто желательно представлять вращение набором из трех чисел, известных как углы Эйлера (во многих вариантах), как потому, что это концептуально проще для тех, кто знаком с плоским вращением, так и потому, что можно построить комбинацию из трех подвесов для производить вращения в трех измерениях. Топологически это соответствует отображению 3-тора T ³ трех углов к реальному проективному пространству RP ³ вращений, и полученная карта имеет недостатки из-за того, что эта карта не может быть покрывающей картой. В частности, неспособность карты быть локальным гомеоморфизмом в определенных точках называется блокировкой карданного подвеса и демонстрируется в анимации справа — в некоторых точках (когда оси копланарны) ранг карты равен 2, а не 3, что означает, что из этой точки можно реализовать только два измерения вращения путем изменения углов. Это вызывает проблемы в приложениях и формализуется понятием покрывающего пространства.

См. также

• Решетка Бете — универсальное покрытие графа Кэли.
• Граф покрытия , пространство покрытия неориентированного графа и его особый случай — двудольное двойное покрытие.
• Группа покрытия
• Связь Галуа
• Факторпространство (топология)

Литература

• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-79160-Х . OCLC   45420394 .
• Форстер, Отто (1981). Лекции по римановым поверхностям . Нью-Йорк. ISBN  0-387-90617-7 . OCLC   7596520 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Манкрес, Джеймс Р. (2018). Топология . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN  978-0-13-468951-7 . ОСЛК   964502066 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Кюнель, Вольфганг (2011). Матрицы и группы Ли. Геометрическое введение (на немецком языке). Висбаден: Vieweg+Teubner Verlag. дои : 10.1007/978-3-8348-9905-7 . ISBN  978-3-8348-9905-7 . OCLC   706962685 .