Jump to content

Решетка Бете

Решетка Бете с координационным числом z = 3.

В статистической механике и математике решетка Бете (также называемая регулярным деревом ) представляет собой бесконечный связный граф без циклов , все вершины которого имеют одинаковое количество соседей. Решетка Бете была введена в физическую литературу Гансом Бете в 1935 году. В таком графе каждый узел соединен с z соседями; число z называется либо координационным числом , либо степенью в зависимости от поля.

Из-за особой топологической структуры статистическую механику решеточных моделей на этом графе часто легче решить, чем на других решетках. Решения связаны с часто используемым анзацем Бете для этих систем.

Основные свойства [ править ]

При работе с решеткой Бете часто бывает удобно пометить данную вершину как корень, чтобы использовать ее в качестве ориентира при рассмотрении локальных свойств графа.

Размеры слоев [ править ]

Как только вершина помечена как корень, мы можем сгруппировать другие вершины в слои в зависимости от их расстояния от корня. Количество вершин на расстоянии от корня это , поскольку каждая вершина, кроме корня, смежна с вершины находятся на расстоянии, большем от корня, и корень примыкает к вершины на расстоянии 1.

В статистической механике [ править ]

Решетка Бете представляет интерес для статистической механики главным образом потому, что модели решетки на решетке Бете часто легче решить, чем на других решетках, таких как двумерная квадратная решетка . Это связано с тем, что отсутствие циклов устраняет некоторые более сложные взаимодействия. Хотя решетка Бете не так точно описывает взаимодействия в физических материалах, как другие решетки, она все же может дать полезную информацию.

модели Изинга Точные решения

Модель Изинга — это математическая модель ферромагнетизма , в которой магнитные свойства материала представлены «спином» в каждом узле решетки, который равен +1 или -1. Модель также оснащена постоянным представляющий силу взаимодействия между соседними узлами и константу представляющее внешнее магнитное поле.

Модель Изинга на решетке Бете определяется статистической суммой

Намагниченность [ править ]

Чтобы вычислить локальную намагниченность, мы можем разбить решетку на несколько одинаковых частей, удалив вершину. Это дает нам рекуррентное соотношение, которое позволяет нам вычислить намагниченность дерева Кэли с n оболочками (конечный аналог решетки Бете) как

где и ценности удовлетворить рекуррентное соотношение

В В случае, когда система ферромагнитна, приведенная выше последовательность сходится, поэтому мы можем взять предел для оценки намагниченности решетки Бете. Мы получаем

где x — решение .

У этого уравнения есть 1 или 3 решения. В случае, когда их 3, последовательность будет сходиться к наименьшему, когда и самый большой, когда .

Свободная энергия [ править ]

Свободная энергия f в каждом узле решетки в модели Изинга определяется выражением

,

где и все как прежде. [1]

По математике [ править ]

Вероятность возврата случайного блуждания [ править ]

Вероятность того, что случайное блуждание по решетке Бете степени начиная с данной вершины, в конечном итоге возвращается в эту вершину, определяется выражением . Чтобы показать это, позвольте быть вероятностью возвращения в исходную точку, если мы находимся на расстоянии прочь. У нас есть рекуррентное соотношение

для всех , поскольку в каждом месте, кроме начальной вершины, есть ребра, идущие от начальной вершины, и одно ребро, идущее к ней. Суммируя это уравнение по всем , мы получаем

.

У нас есть , поскольку это указывает на то, что мы только что вернулись в начальную вершину, поэтому , и это то значение, которое нам нужно.

Обратите внимание, что это резко контрастирует со случаем случайных блужданий по двумерной квадратной решетке, вероятность возврата которой, как известно, равна 1. [2] Такая решетка является 4-регулярной, но 4-регулярная решетка Бете имеет вероятность возврата 1/3.

Количество закрытых прогулок [ править ]

Можно легко оценить количество замкнутых блужданий длины начиная с данной вершины решетки Бете степени снизу. Рассматривая каждый шаг либо как шаг наружу (от начальной вершины), либо как шаг внутрь (к начальной вершине), мы видим, что любой замкнутый путь длины должно быть точно внешние шаги и шаги внутрь. Мы также, возможно, в любой момент не сделали больше шагов внутрь, чем шагов наружу, поэтому количество последовательностей направлений шагов (внутрь или наружу) определяется выражением номер каталонский . Есть по крайней мере вариантов для каждого шага наружу и всегда ровно 1 вариант для каждого шага внутрь, поэтому число закрытых обходов не менее .

Эта граница не является жесткой, так как на самом деле существуют выбор шага наружу из начальной вершины, который происходит в начале и любое количество раз во время прогулки. Точное количество прогулок вычислить сложнее, оно определяется по формуле

где гипергеометрическая функция Гаусса . [3]

Мы можем использовать этот факт для оценки второго по величине собственного значения -регулярный граф. Позволять быть -регулярный граф с вершины, и пусть быть его матрицей смежности . Затем количество замкнутых дорожек длиной . Количество закрытых прогулок по по крайней мере раз количество замкнутых блужданий на решетке Бете степени начиная с определенной вершины, поскольку мы можем сопоставить обходы решетки Бете с обходами на которые начинаются в заданной вершине и возвращаются только по уже пройденным путям. Прогулок часто бывает больше , поскольку мы можем использовать циклы для создания дополнительных обходов. Самое большое собственное значение является и позволяя быть вторым по величине абсолютным значением собственного значения, мы имеем

Это дает . отмечая, что как растет, мы можем позволить расти гораздо быстрее, чем чтобы увидеть, что существует только конечное число -регулярные графики для которого второе по величине абсолютное значение собственного значения не превышает , для любого Это довольно интересный результат при изучении (n,d,λ)-графов .

Кэли Связь с графами Кэли и деревьями

Граф Бете четного координационного числа 2 n изоморфен неориентированному графу Кэли свободной группы ранга n относительно свободного порождающего множества.

Решетки в группах Ли [ править ]

Решетки Бете также встречаются как дискретные подгруппы некоторых гиперболических групп Ли , таких как фуксовы группы . По существу, они также являются решетками в смысле решетки в группе Ли .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Бакстер, Родни Дж. (1982). Точно решенные модели статистической механики . Академическая пресса. ISBN  0-12-083182-1 . Збл   0538.60093 .
  2. ^ Дарретт, Рик (1991). Вероятность: теория и примеры . Уодсворт и Брукс/Коул. ISBN  0-534-13206-5 .
  3. ^ Джакометти, А. (1994). «Точная замкнутая форма вероятности возврата на решетке Бете». Физ А. Математика. Ген . 28 (1): Л13–Л17. arXiv : cond-mat/9411113v1 . дои : 10.1088/0305-4470/28/1/003 . S2CID   13298204 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: dfb40d2ec79df393fbb17226112b229f__1692552300
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/df/9f/dfb40d2ec79df393fbb17226112b229f.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Bethe lattice - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)