Квадратная решетка

Квадратные решетки
Вертикальный квадрат Простой	диагональный квадрат Центрировано

В математике квадратная решетка — это разновидность решетки в двумерном евклидовом пространстве . Это двумерная версия целочисленной решетки , обозначаемая как $\mathbb {Z} ^{2}$ . ^[1] Это один из пяти типов двумерных решеток, классифицированных по группам симметрии ; ^[2] его группа симметрии в обозначениях IUC как $p4m$ , ^[3] Обозначение Кокстера как $[4,4]$ , ^[4] и обозначение орбифолда как $*442$ . ^[5]

Две ориентации изображения решетки являются наиболее распространенными. Их удобно называть вертикальной квадратной решеткой и диагональной квадратной решеткой; последнюю также называют центрированной квадратной решеткой . ^[6]Они отличаются углом 45°. Это связано с тем, что квадратную решетку можно разбить на две квадратные подрешетки, что видно из раскраски шахматной доски .

Симметрия [ править ]

квадратной решетки Категория симметрии — группа обоев $p4m$ . Узор с этой решеткой трансляционной симметрии не может иметь больше, но может иметь меньшую симметрию, чем сама решетка. Вертикальную квадратную решетку можно рассматривать как диагональную квадратную решетку с размером ячейки в √2 раза больше, с добавлением центров квадратов. Соответственно, после сложения центров квадратов вертикальной квадратной решетки получается диагональная квадратная решетка с размером ячеек в √2 раза меньшим, чем у исходной решетки. Паттерн с 4-кратной вращательной симметрией имеет квадратную решетку из 4-кратных ротоцентров, которая в √2 раза тоньше и диагонально ориентирована относительно решетки трансляционной симметрии .

Что касается осей отражения, есть три возможности:

Никто. Это группа обоев $p4$ .
В четырех направлениях. Это группа обоев $p4m$ .
В двух перпендикулярных направлениях. Это группа обоев $p4g$ . Точки пересечения осей отражения образуют квадратную сетку, которая такая же мелкая и ориентирована так же, как квадратная решетка из 4-кратных ротоцентров, причем эти ротоцентры находятся в центрах квадратов, образованных осями отражения.

$р4, [4,4] +, (442)$	$p4g, [4,4 +], (4*2)$	$п4м, [4,4], (*442)$

Обои группы $р4$ , с расположением внутри примитивной ячейки 2- и 4-кратных ротоцентров (применимо также для $р4г$ и $р4м$ ). Фундаментальный домен	Группа обоев $p4g$ . Есть оси отражения в двух направлениях, а не через 4-кратные ротоцентры. Фундаментальный домен	Группа обоев $p4m$ . Есть оси отражения в четырех направлениях через 4-кратные ротоцентры. В двух направлениях оси отражения ориентированы так же, как и для $p4g$ , и столь же плотны, но смещены. В двух других направлениях они линейно в √2 раза плотнее. Фундаментальный домен

Кристаллические классы [ править ]

Имена классов квадратной решетки , обозначения Шенфлиса , обозначения Германа-Могена , обозначения орбифолда , обозначения Кокстера и группы обоев перечислены в таблице ниже.

Геометрический класс, точечная группа				Группы обоев
Хороший.	Международный	Орб.	Кокс.	Группы обоев
С ₄	4	(44)	[4] ⁺	п4 (442)
Д ₄	4 мм	(*44)	[4]	п4м (*442)	п4г (4*2)

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Конвей, Джон ; Слоан, Нил Дж.А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Springer, стр. 106, ISBN 9780387985855 .
^ Голубицкий, Мартин ; Стюарт, Ян (2003), Перспектива симметрии: от равновесия к хаосу в фазовом и физическом пространстве , Progress in Mathematics, vol. 200, Спрингер, с. 129, ISBN 9783764321710 .
^ Филд, Майкл; Голубицкий, Мартин (2009), Симметрия в хаосе: поиск закономерностей в математике, искусстве и природе (2-е изд.), SIAM, с. 47, ISBN 9780898717709 .
^ Джонсон, Норман В .; Вайс, Асия Ивич (1999), «Квадратичные целые числа и группы Кокстера», Canadian Journal of Mathematics , 51 (6): 1307–1336, doi : 10.4153/CJM-1999-060-6 . См., в частности, начало стр. 1320.
^ Шатшнайдер, Дорис ; Сенешаль, Марджори (2004), «Плитка», Гудман, Джейкоб Э .; О'Рурк, Джозеф (ред.), Справочник по дискретной и вычислительной геометрии , Дискретная математика и ее приложения (2-е изд.), CRC Press, стр. 53–72, ISBN 9781420035315 . См., в частности, таблицу на стр. 62, связывающий обозначение IUC с обозначением орбифолда.
^ Джонстон, Бернард Л.; Ричман, Фред (1997), Числа и симметрия: введение в алгебру , CRC Press, стр. 159, ISBN 9780849303012 .

[1] Конвей, Джон ; Слоан, Нил Дж.А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Springer, стр. 106, ISBN 9780387985855 .

[2] Голубицкий, Мартин ; Стюарт, Ян (2003), Перспектива симметрии: от равновесия к хаосу в фазовом и физическом пространстве , Progress in Mathematics, vol. 200, Спрингер, с. 129, ISBN 9783764321710 .

[3] Филд, Майкл; Голубицкий, Мартин (2009), Симметрия в хаосе: поиск закономерностей в математике, искусстве и природе (2-е изд.), SIAM, с. 47, ISBN 9780898717709 .

[4] Джонсон, Норман В .; Вайс, Асия Ивич (1999), «Квадратичные целые числа и группы Кокстера», Canadian Journal of Mathematics , 51 (6): 1307–1336, doi : 10.4153/CJM-1999-060-6 . См., в частности, начало стр. 1320.

[5] Шатшнайдер, Дорис ; Сенешаль, Марджори (2004), «Плитка», Гудман, Джейкоб Э .; О'Рурк, Джозеф (ред.), Справочник по дискретной и вычислительной геометрии , Дискретная математика и ее приложения (2-е изд.), CRC Press, стр. 53–72, ISBN 9781420035315 . См., в частности, таблицу на стр. 62, связывающий обозначение IUC с обозначением орбифолда.

[6] Джонстон, Бернард Л.; Ричман, Фред (1997), Числа и симметрия: введение в алгебру , CRC Press, стр. 159, ISBN 9780849303012 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v т Это Кристаллические системы
Решетка Браве Кристаллографическая точечная группа
Семь 3D-систем	триклинный (анортикальный) моноклинический орторомбический четырехугольный тригональные и шестиугольные кубический (изометрический)
Четыре 2D-системы	косой прямоугольный квадрат шестиугольный