Обозначения Германа – Могена

В геометрии обозначения Германа-Могена используются для представления элементов симметрии в точечных группах , плоских группах и пространственных группах . Он назван в честь немецкого кристаллографа Карла Германа (который представил его в 1928 году) и французского минералога Шарля-Виктора Могена (который модифицировал его в 1931 году). Это обозначение иногда называют международным обозначением , поскольку оно было принято в качестве стандарта Международными таблицами для кристаллографии с момента их первого издания в 1935 году.

Обозначение Германа-Могена по сравнению с обозначением Шенфлиса является предпочтительным в кристаллографии , поскольку его можно легко использовать для включения элементов трансляционной симметрии , и оно определяет направления осей симметрии. ^[1]^[2]

Группы точек

Оси вращения обозначаются цифрами n – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... (угол поворота φ = ⁠ 360° / n ⁠ ). Для неправильных вращений символы Германа – Могена показывают оси ротоинверсии, в отличие от обозначений Шенфлиса и Шубникова , которые показывают оси вращения-отражения. Оси ротоинверсии представлены соответствующим номером с макроном , n – 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ... . 2 эквивалентен зеркальной плоскости и обычно обозначается как m. Направление плоскости зеркала определяется как направление, перпендикулярное ей (направление оси 2 ).

Символы Германа – Могена показывают неэквивалентные оси и плоскости симметрично. Направление элемента симметрии соответствует его положению в символе Германа–Могена. Если ось вращения n и плоскость зеркала m имеют одинаковое направление, то их обозначают дробью ⁠ н / м ⁠ или н /м.

Если две или более осей имеют одинаковое направление, отображается ось с более высокой симметрией. Более высокая симметрия означает, что ось генерирует узор с большим количеством точек. Например, оси вращения 3, 4, 5, 6, 7, 8 генерируют 3-, 4-, 5-, 6-, 7-, 8-точечные шаблоны соответственно. Неправильное вращение осей 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 приводит к образованию 6-, 4-, 10-, 6-, 14-, 8-точечных рисунков соответственно. Если ось вращения и ротоинверсии генерируют одинаковое количество точек, следует выбрать ось вращения. Например, ⁠ 3 / м ⁠ комбинация эквивалентна 6 . Так как 6 порождает 6 очков, а 3 порождает только 3, то вместо ⁠ 3 / м ⁠ (не ⁠ 6 / m ⁠ , потому что 6 уже содержит зеркальную плоскость m). Аналогично, в случае, когда и 3, и 3 присутствуют 3 оси, следует записать . Однако мы пишем ⁠ 4 / м ⁠ , не ⁠ 4 / m ⁠ , потому что и 4, и 4 генерируют четыре точки. В случае ⁠ 6 / m ⁠ комбинация, где 2, 3, 6, 3 и 6 присутствуют оси, оси 3 , 6 и 6 генерируют 6-точечные шаблоны, как мы видим на рисунке справа, но последняя следует использовать, поскольку это ось вращения – символ будет ⁠ 6 / m ⁠ .

Наконец, символ Германа–Могена зависит от типа ^{[ нужны разъяснения ]} группы .

Группы без осей высшего порядка (оси третьего и более порядка)

Эти группы могут содержать только оси второго порядка, зеркальные плоскости и/или центр инверсии. Это кристаллографические точечные группы 1 и 1 ( триклинная кристаллическая система ), 2, m и ⁠ 2 / м ⁠ ( моноклинная ), и 222, ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / м ⁠ и мм2 ( орторомбический ). (Краткая форма ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ — ммм.) Если символ содержит три позиции, то они обозначают элементы симметрии в направлении x , y , z соответственно.

Группы с одной осью высшего порядка

Первая позиция – первичное направление – направление z , присвоенное оси более высокого порядка.
Вторая позиция – симметрично эквивалентные второстепенные направления, перпендикулярные оси z . Это могут быть 2, м или ⁠ 2 / m ⁠ .
Третья позиция – симметрично эквивалентные третичные направления, проходящие между вторичными направлениями. ^{[ нужны разъяснения ]}. Это могут быть 2, м или ⁠ 2 / m ⁠ .

Это кристаллографические группы 3, 32, 3m, 3 и 3. ⁠ 2 / м ⁠ ( тригональная кристаллическая система ), 4, 422, 4 мм, 4 , 4 2 м, ⁠ 4 / м ⁠ и ⁠ 4 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / м ⁠ ( четырёхугольный ), и 6, 622, 6мм, 6 , 6 м2, ⁠ 6 / м ⁠ и ⁠ 6 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / м ⁠ ( шестиугольный ). Аналогично могут быть построены символы некристаллографических групп (с осями порядка 5, 7, 8, 9,...). Эти группы можно сгруппировать в следующей таблице.

Шенфлис	Символ Н – М	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...	∞
С _н	н	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	...	∞
С _{н в}	нм	3m		5 м		7m		9m		11 м			∞m
С _{н в}	нмм		4 мм		6 мм		8 мм		10 мм		12 мм		∞m
С _{2 н}	н	3		5		7		9		11			⁠ ∞ / m ⁠
С _н			4				8				12
С _{⁠ n / 2 ⁠ h}					6				10
С _{н ч}	⁠ n / m ⁠		⁠ 4 / m ⁠		⁠ 6 / m ⁠		⁠ 8 / m ⁠		⁠ 10 / m ⁠		⁠ 12 / m ⁠
Д _н	№ 2	32		52		72		92		(11)2			∞2
Д _н	№ 22		422		622		822		(10)22		(12)22		∞2
Д _нд	н ⁠ 2 / m ⁠	3 ⁠ 2 / m ⁠		5 ⁠ 2 / m ⁠		7 ⁠ 2 / m ⁠		9 ⁠ 2 / m ⁠		( 11 ) ⁠ 2 / m ⁠			⁠ ∞ / m ⁠ m
Д _{⁠ n / 2 ⁠ d}	п 2м = п м2		4 2 м				8 2м				( 12 ) 2м
Д _{⁠ n / 2 ⁠ h}	п 2м = п м2				6 м2				( 10 )м2
Д _{н ч}	⁠ n / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠		⁠ 4 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠		⁠ 6 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠		⁠ 8 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠		⁠ 10 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠		⁠ 12 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠

Можно заметить, что в группах с осями n и n нечетного порядка третья позиция в символе всегда отсутствует, поскольку все n направлений, перпендикулярных оси высшего порядка, симметрично эквивалентны. изображении треугольника все три зеркальные плоскости ( , _S0 S1 , _{эквивалентны – все они проходят через одну вершину и} S2 ) _{Например, на} центр противоположной стороны. Для осей четного порядка n и n существуют ⁠ n / 2 ⁠ второстепенные направления и ⁠ n / 2 ⁠ третичные направления. Например, на изображении правильного шестиугольника можно выделить два набора зеркальных плоскостей – три плоскости проходят через две противоположные вершины, а три другие плоскости проходят через центры противоположных сторон. направлений можно выбрать любой из двух наборов В этом случае в качестве второстепенных , остальные будут третичными направлениями. Следовательно, группы 4 2m, 6 2m, 8 2m, ... можно записать как 4 m2, 6 m2, 8 m2, ... . Для символов точечных групп этот порядок обычно не имеет значения; однако это будет важно для символов Германа – Могена соответствующих пространственных групп, где вторичные направления представляют собой направления элементов симметрии вдоль трансляций элементарной ячейки b и c , а третичные направления соответствуют направлению между трансляциями элементарной ячейки b и c . Например, символы P 6 m2 и P 6 2m обозначают две разные пространственные группы. Это относится и к символам пространственных групп с осями нечетного порядка 3 и 3 . Элементы перпендикулярной симметрии могут перемещаться вдоль перемещений элементарной ячейки b и c или между ними. Пространственные группы P321 и P312 являются примерами первого и второго случаев соответственно.

Символ точечной группы 3 ⁠ 2 / м ⁠ может сбить с толку; соответствующий символ Шенфлиса — D _{3 d} , что означает, что группа состоит из оси 3-го порядка, трех перпендикулярных осей 2-го порядка и 3 вертикальных диагональных плоскостей, проходящих между этими осями 2-го порядка, поэтому кажется, что группу можно обозначить как 32м или 3м2. Однако следует помнить, что в отличие от нотации Шенфлиса направление плоскости в символе Германа–Могена определяется как направление, перпендикулярное плоскости, а в группе D _{3 d} все зеркальные плоскости перпендикулярны осям 2-го порядка, поэтому их следует писать в той же позиции, что и ⁠ 2 / м ⁠ . Во-вторых, эти Комплексы ⁠ 2 / m ⁠ порождают центр инверсии, который в сочетании с осью вращения 3-го порядка порождает ось 3-го ротоинверсии.

Группы с n = ∞ называются предельными группами или группами Кюри .

Группы с несколькими осями высшего порядка

Это кристаллографические группы кубической кристаллической системы : 23, 432, ⁠ 2 / м ⁠ 3 , 4 3 м и ⁠ 4 / m ⁠ 3 ⁠ 2 / м ⁠ . Все они содержат четыре диагональные оси 3-го порядка. Эти оси расположены в кубе как оси 3-го порядка, направленные вдоль его четырех пространственных диагоналей (куб имеет ⁠ 4 / m ⁠ 3 ⁠ 2 / m ⁠ симметрия). Эти символы построены следующим образом:

Первая позиция – симметрично эквивалентные направления координатных осей x , y и z . Они эквивалентны благодаря наличию диагональных осей 3-го порядка.
Второе положение – диагональные 3 или 3 оси.
Третья позиция – диагональные направления между любыми двумя из трех координатных осей x , y и z . Это могут быть 2, м или ⁠ 2 / m ⁠ .

Все представленные выше символы Германа–Могена называются полными символами . Для многих групп их можно упростить, опустив n -кратные оси вращения в ⁠ п / м ⁠ позиции. Это можно сделать, если ось вращения можно однозначно получить из комбинации элементов симметрии, представленных в символе. Например, короткий символ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / м ⁠ — ммм, для ⁠ 4 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / м ⁠ есть ⁠ 4 / м ⁠ мм, а для ⁠ 4 / m ⁠ 3 ⁠ 2 / м ⁠ составляет м 3 м. В группах, содержащих одну ось высшего порядка, эту ось высшего порядка нельзя опустить. Например, символы ⁠ 4 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / м ⁠ и ⁠ 6 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / м ⁠ можно упростить до 4/ммм (или ⁠ 4 / м ⁠ мм) и 6/мм (или ⁠ 6 / м ⁠ мм), но не до ммм; короткий символ 3 ⁠ 2 / м ⁠ равно 3 м. Полные и краткие символы для всех 32 групп кристаллографических точек приведены на странице групп кристаллографических точек .

Помимо пяти кубических групп, существуют еще две некристаллографические икосаэдрические группы ( I и I _h в обозначениях Шенфлиса ) и две предельные группы ( K и K _h в обозначениях Шенфлиса ). Символы Германа-Могена не были предназначены для некристаллографических групп, поэтому их символы скорее номинальны и основаны на сходстве с символами кристаллографических групп кубической кристаллической системы. ^[3]^[4]^[5]^[6]^[7] Группу I можно обозначить как 235, 25, 532, 53. Возможными короткими символами для I _h являются m 35 , m 5 , m 5 m, 53 m. Возможные символы для предельной группы K — ∞∞ или 2∞, а для K _h — это ⁠ ∞ / м ⁠ ∞ или м ∞ или ∞∞м.

Группы самолетов

Плоские группы можно изобразить с помощью системы Германа – Могена. Первая буква — строчная «p» или «c» для обозначения примитивных или центрированных элементарных ячеек . Следующее число — это вращательная симметрия, как указано выше. Наличие зеркальных плоскостей обозначается m , а скользящие отражения обозначаются только g . Винтовые оси не существуют в двумерных пространствах.

Космические группы

Символ пространственной группы определяется сочетанием прописной буквы, описывающей тип решетки, с символами, указывающими элементы симметрии. Элементы симметрии упорядочены так же, как в символе соответствующей точечной группы (группы, которая получается, если из пространственной группы удалить все трансляционные компоненты). Обозначения элементов симметрии более разнообразны, поскольку помимо осей вращения и зеркальных плоскостей пространственная группа может содержать более сложные элементы симметрии – винтовые оси (сочетание вращения и перемещения) и плоскости скольжения (сочетание зеркального отражения и перемещения). В результате одной и той же точечной группе может соответствовать множество различных пространственных групп. Например, выбирая различные типы решеток и плоскости скольжения, можно создать 28 различных пространственных групп из точечной группы mmm, например, Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Cmcm, Ibam, Fmmm, Fddd и т. д. В некоторых случаях пространственная группа создается, когда переводы просто добавляются к точечной группе. ^[8] В других случаях нет точки, вокруг которой применяется группа точек. Обозначения несколько двусмысленны, без таблицы, дающей дополнительную информацию. Например, пространственные группы I23 и I2 ₁ 3 (номера 197 и 199) содержат как двойные оси вращения, так и двойные винтовые оси. В первом случае двойные оси пересекают тройные оси, а во втором — нет. ^[9]

Типы решеток

Это типы решеток Браве в трех измерениях:

П – Примитивный
I – Телоцентрированное (от немецкого «Innenzentriert»)
F – Лицо по центру (от немецкого «Flächenzentriert»)
A – Основание сосредоточено только на гранях A.
B – Основание сосредоточено только на гранях B.
C – Основание сосредоточено только на гранях C.
R – Ромбоэдрический


Примитивный, П	База по центру, C	По центру грани, F	Сосредоточенный на теле, я	Ромбоэдрический в шестиугольной оправе, R

Винтовые оси

Ось винта обозначается числом n , где угол поворота равен ⁠ 360° / п ⁠ . Затем степень перевода добавляется в виде нижнего индекса, показывающего, насколько далеко по оси находится сдвиг, как часть вектора параллельной решетки. Например, 2 ₁ — это поворот на 180° (двукратный), за которым следует перемещение ⁠ 1/2 ⁠ вектора . решетки 3 ₁ представляет собой поворот на 120° (троекратный) с последующим перемещением ⁠ 1/3 ⁠ вектора . решетки

Возможные оси винтов: 2 ₁ , 3 ₁ , 3 ₂ 1 _, , 4 ₂ 4 ₃ , 4 _{, 6 1} , 6 ₂ , 6 ₃ , 6 ₄ и 6 ₅ .Существует 4 энантиоморфные пары осей: (3 ₁ – 3 ₂ ), (4 ₁ – 4 ₃ ), (6 ₁ – 6 ₅ ) и (6 ₂ – 6 ₄ ). Этот энантиоморфизм приводит к образованию 11 пар энантиоморфных пространственных групп, а именно

Кристаллическая система	четырехугольный			Треугольный			Шестиугольный				Кубический
Первая группа Номер группы	П4 ₁ 76	П4 ₁ 22 91	П4 ₁ 2 ₁ 2 92	П3 ₁ 144	П3 ₁ 12 152	П3 ₁ 21 151	П6 ₁ 169	П6 ₂ 171	Р6 ₁ 22 178	Р6 ₂ 22 180	П4 ₁ 32 213
Вторая группа Номер группы	П4 ₃ 78	П4 ₃ 22 95	П4 ₃ 2 ₁ 2 96	П3 ₂ 145	П3 ₂ 12 154	П3 ₂ 21 153	П6 ₅ 170	П6 ₄ 172	Р6 ₅ 22 179	Р6 ₄ 22 181	П4 ₃ 32 212

Планирующие самолеты

Ориентация плоскости скольжения задается положением символа в обозначении Германа – Могена, как и в случае с зеркальными плоскостями.Они обозначаются буквами a , b или c в зависимости от того, по какой оси (направлению) происходит скольжение. Существует также скольжение n , которое представляет собой скольжение по половине диагонали грани, и скольжение d , которое проходит по четверти диагонали грани или пространства элементарной ячейки. Скольжение d часто называют плоскостью скольжения алмаза, поскольку оно является особенностью структуры алмаза . В случаях, когда есть две возможности среди a , b и c (например, a или b буква e ), используется . (В этих случаях центрирование влечет за собой оба скольжения.) Подведем итог:

a , b или c скользят по перемещению вдоль половины вектора решетки этой грани.
n скользящий перевод по диагонали половины лица.
г плоскости скольжения с переносом на четверть диагонали лица или диагонали пространства.
e два скольжения с одной и той же плоскостью скольжения и перемещением вдоль двух (разных) векторов полурешетки.

Ссылки

^ Сэндс, Дональд Э. (1993). «Кристаллические системы и геометрия». Введение в кристаллографию . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., с. 54 . ISBN 0-486-67839-3 .
^ Хан, Т.; Клаппер, Х. «Глава 10.1. Кристаллографические и некристаллографические точечные группы» . Международные таблицы по кристаллографии . Проверено 5 декабря 2022 г.
^ «(Международные таблицы) Аннотация» . it.iucr.org . Архивировано из оригинала 4 июля 2013 года . Проверено 2 февраля 2022 г.
^ Zorky, Petr. "Семейства точечных групп" . www.chem.msu.su . Archived from the original on 2012-04-15.
^ Вайнштейн, Борис К., Современная кристаллография 1: Основы кристаллов. Симметрия и методы структурной кристаллографии, Springer. 1994, стр. 93.
^ Группы точек в трех измерениях
^ Shubnikov, A.V., Belov, N.V. & others, Colored Symmetry , Oxford: Pergamon Press. 1964, page 70.
^ Дональд Сэндс (1975). «Кристаллические системы и геометрия». Введение в кристаллографию (PDF) . п. 72. ИСБН 0-486-67839-3 .
^ Сравните операции симметрии для пространственной группы 197 с операциями для пространственной группы 199 .

Внешние ссылки

Расшифровка нотации Германа-Магена – введение в нотацию Германа-Магена для начинающих.

[1] Сэндс, Дональд Э. (1993). «Кристаллические системы и геометрия». Введение в кристаллографию . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., с. 54 . ISBN 0-486-67839-3 .

[2] Хан, Т.; Клаппер, Х. «Глава 10.1. Кристаллографические и некристаллографические точечные группы» . Международные таблицы по кристаллографии . Проверено 5 декабря 2022 г.

[3] «(Международные таблицы) Аннотация» . it.iucr.org . Архивировано из оригинала 4 июля 2013 года . Проверено 2 февраля 2022 г.

[4] Zorky, Petr. "Семейства точечных групп" . www.chem.msu.su . Archived from the original on 2012-04-15.

[5] Вайнштейн, Борис К., Современная кристаллография 1: Основы кристаллов. Симметрия и методы структурной кристаллографии, Springer. 1994, стр. 93.

[6] Группы точек в трех измерениях

[7] Shubnikov, A.V., Belov, N.V. & others, Colored Symmetry , Oxford: Pergamon Press. 1964, page 70.

[8] Дональд Сэндс (1975). «Кристаллические системы и геометрия». Введение в кристаллографию (PDF) . п. 72. ИСБН 0-486-67839-3 .

[9] Сравните операции симметрии для пространственной группы 197 с операциями для пространственной группы 199 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]