Элементарная ячейка

В геометрии , биологии , минералогии и физике твердого тела элементарная ячейка — это повторяющаяся единица, образованная векторами, охватывающими точки решетки. ^[1] Несмотря на свое многозначительное название, элементарная ячейка (в отличие, например, от единичного вектора) не обязательно имеет единичный размер или даже вообще определенный размер. Скорее, примитивная ячейка является ближайшей аналогией единичного вектора, поскольку она имеет определенный размер для данной решетки и является основным строительным блоком, из которого строятся более крупные ячейки.

Эта концепция используется, в частности, при описании кристаллической структуры в двух и трех измерениях, хотя она имеет смысл во всех измерениях. Решетку можно охарактеризовать геометрией ее элементарной ячейки, которая представляет собой часть мозаики ( параллелограмма или параллелепипеда ), которая генерирует всю мозаику, используя только сдвиги.

Есть два особых случая элементарной ячейки: примитивная ячейка и обычная ячейка . Примитивная ячейка — это элементарная ячейка, соответствующая одной точке решетки , это наименьшая возможная элементарная ячейка. ^[2] В некоторых случаях полная симметрия кристаллической структуры не очевидна из примитивной ячейки, и в этих случаях можно использовать обычную ячейку. Обычная ячейка (которая может быть примитивной, а может и не быть) представляет собой элементарную ячейку с полной симметрией решетки и может включать более одной точки решетки. Обычные элементарные ячейки представляют собой параллелоэдры в n измерениях.

Примитивная ячейка [ править ]

Примитивная ячейка — это элементарная ячейка, содержащая ровно одну точку решетки. Для элементарных ячеек обычно точки решетки, которые являются общими для $n$ ячеек, считаются 1 / $n$ точек решетки, содержащихся в каждой из этих ячеек; так, например, примитивная элементарная ячейка в трех измерениях, которая имеет точки решетки только в восьми вершинах, считается содержащей 1/8 них . каждого из ^[3] Альтернативная концептуализация состоит в том, чтобы последовательно выбирать только одну из $n$ точек решетки, принадлежащую данной элементарной ячейке (таким образом, остальные $n-1$ точки решетки принадлежат соседним элементарным ячейкам).

Примитивные векторы трансляции $a \to 1$ , $a \to 2$ , $a \to 3$ охватывают ячейку решетки наименьшего объема для конкретной трехмерной решетки и используются для определения вектора трансляции кристалла.

{\vec {T}}=u_{1}{\vec {a}}_{1}+u_{2}{\vec {a}}_{2}+u_{3}{\vec {a}}_{3},

где $u 1$ , $u 2$ , $u 3$ — целые числа, сдвиг которых оставляет решетку инвариантной. ^{[примечание 1]} То есть для точки в решетке $r$ расположение точек выглядит таким же, как из $r' = r + T \to,$ так и из $r$ . ^[4]

Поскольку примитивная ячейка определяется примитивными осями (векторами) $a \to 1$ , $a \to 2$ , $a \to 3$ , объем $V p$ примитивной ячейки задается параллелепипедом из вышеуказанных осей как

V_{\mathrm {p} }=\left|{\vec {a}}_{1}\cdot ({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3})\right|.

Обычно примитивные ячейки в двух и трех измерениях выбираются так, чтобы они имели форму параллелограммов и параллелепипедов с атомом в каждом углу ячейки. Этот выбор примитивной ячейки не является уникальным, но объем примитивных ячеек всегда будет определяться выражением выше. ^[5]

Ячейка Вигнера-Зейтца [ править ]

Помимо примитивных ячеек параллелепипеда, для каждой решетки Браве существует еще один вид примитивных ячеек, называемый ячейкой Вигнера – Зейтца. В ячейке Вигнера-Зейтца точка решетки находится в центре ячейки, и для большинства решеток Браве форма не является параллелограммом или параллелепипедом. Это разновидность ячейки Вороного . Ячейка Вигнера-Зейтца обратной решетки в импульсном пространстве называется зоной Бриллюэна .

Обычная ячейка [ править ]

Для каждой конкретной решетки кристаллографы выбирали условную ячейку индивидуально, исходя из удобства расчета. ^[6] Эти обычные ячейки могут иметь дополнительные точки решетки, расположенные в середине граней или тела элементарной ячейки. Количество точек решетки, как и объем обычной ячейки, кратно (1, 2, 3 или 4) объему примитивной ячейки. ^[7]

Два измерения [ править ]

Элементарные ячейки любой двумерной решетки представляют собой параллелограммы , которые в особых случаях могут иметь ортогональные углы, равную длину или и то, и другое. Четыре из пяти двумерных решеток Браве представлены с использованием обычных примитивных ячеек, как показано ниже.

Обычная примитивная клетка
Имя формы	Параллелограмм	Прямоугольник	Квадрат	Ромб
Решетка Браве	Примитивный косой	Примитивный прямоугольный	Примитивный квадрат	Примитивный шестиугольный

Центрированная прямоугольная решетка также имеет примитивную ячейку в форме ромба, но для облегчения различения по признаку симметрии она представлена обычной ячейкой, содержащей две точки решетки.

Примитивная клетка
Имя формы	Ромб
Обычная ячейка
Решетка Браве	Центрированный прямоугольный

Три измерения [ править ]

Для любой трехмерной решетки обычными элементарными ячейками являются параллелепипеды , которые в особых случаях могут иметь ортогональные углы, или равную длину, или и то, и другое. Семь из четырнадцати трехмерных решеток Браве представлены с использованием обычных примитивных ячеек, как показано ниже.

Обычная примитивная клетка
Имя формы	Параллелепипед	Косая прямоугольная призма	Прямоугольный кубоид	Квадратный кубоид	Трехугольный трапецоэдр	Куб	Правая ромбическая призма
Решетка Браве	Примитивная триклиника	Примитивная моноклиника	Примитивный орторомбический	Примитивный четырехугольный	Примитивный ромбоэдрический	Примитивный кубический	Примитивный шестиугольный

Остальные семь решеток Браве (известные как центрированные решетки) также имеют примитивные ячейки в форме параллелепипеда, но для облегчения различения по признаку симметрии они представлены обычными ячейками, содержащими более одного узла решетки.

Примитивная клетка
Имя формы	Косая ромбическая призма	Правая ромбическая призма
Обычная ячейка
Решетка Браве	Базово-центровая моноклиника	с центром в основании Орторомбический	, центрированный по телу Орторомбический	с гранецентром Орторомбический	Телоцентрированный тетрагонал	Телоцентрированный кубический	Гранецентрированный кубический

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ В $n$ измерениях вектор трансляции кристалла будет равен
${\vec {T}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\vec {a}}_{i},\quad {\mbox{where }}u_{i}\in \mathbb {Z} \quad \forall i.$
То есть для точки в решетке $r$ расположение точек выглядит таким же, как из $r' = r + T \to,$ так и из $r$ .

Ссылки [ править ]

^ Эшкрофт, Нил В. (1976). «Глава 4». Физика твердого тела . Компания WB Saunders. п. 72. ИСБН 0-03-083993-9 .
^ Саймон, Стивен (2013). Оксфордская физика твердого тела (1-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 114. ИСБН 978-0-19-968076-4 .
^ «DoITPoMS – Кристаллография библиотеки TLP – Элементарная ячейка» . Интернет-ресурсы по изучению материаловедения: DoITPoMS . Кембриджский университет . Проверено 21 февраля 2015 г.
^ Киттель, Чарльз (11 ноября 2004 г.). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Уайли. п. 4 . ISBN 978-0-471-41526-8 .
^ Мел, Майкл Дж.; Хикс, Дэвид; Тохер, Кормак; Леви, Охад; Хэнсон, Роберт М.; Харт, Гас; Куртароло, Стефано (2017). «Библиотека кристаллографических прототипов AFLOW: Часть 1». Вычислительное материаловедение . 136 . Эльзевир Б.В.: S1–S828. arXiv : 1806.07864 . дои : 10.1016/j.commatsci.2017.01.017 . ISSN 0927-0256 . S2CID 119490841 .
^ Аройо, Мичиган, изд. (31 декабря 2016 г.). Международные таблицы по кристаллографии . Честер, Англия: Международный союз кристаллографии. п. 25. дои : 10.1107/97809553602060000114 . ISBN 978-0-470-97423-0 .
^ Эшкрофт, Нил В. (1976). Физика твердого тела . Компания WB Saunders. п. 73. ИСБН 0-03-083993-9 .

[first-4] В $n$ измерениях вектор трансляции кристалла будет равен
${\vec {T}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\vec {a}}_{i},\quad {\mbox{where }}u_{i}\in \mathbb {Z} \quad \forall i.$
То есть для точки в решетке $r$ расположение точек выглядит таким же, как из $r' = r + T \to,$ так и из $r$ .

[1] Эшкрофт, Нил В. (1976). «Глава 4». Физика твердого тела . Компания WB Saunders. п. 72. ИСБН 0-03-083993-9 .

[2] Саймон, Стивен (2013). Оксфордская физика твердого тела (1-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 114. ИСБН 978-0-19-968076-4 .

[doitpoms-3] «DoITPoMS – Кристаллография библиотеки TLP – Элементарная ячейка» . Интернет-ресурсы по изучению материаловедения: DoITPoMS . Кембриджский университет . Проверено 21 февраля 2015 г.

[5] Киттель, Чарльз (11 ноября 2004 г.). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Уайли. п. 4 . ISBN 978-0-471-41526-8 .

[6] Мел, Майкл Дж.; Хикс, Дэвид; Тохер, Кормак; Леви, Охад; Хэнсон, Роберт М.; Харт, Гас; Куртароло, Стефано (2017). «Библиотека кристаллографических прототипов AFLOW: Часть 1». Вычислительное материаловедение . 136 . Эльзевир Б.В.: S1–S828. arXiv : 1806.07864 . дои : 10.1016/j.commatsci.2017.01.017 . ISSN 0927-0256 . S2CID 119490841 .

[7] Аройо, Мичиган, изд. (31 декабря 2016 г.). Международные таблицы по кристаллографии . Честер, Англия: Международный союз кристаллографии. п. 25. дои : 10.1107/97809553602060000114 . ISBN 978-0-470-97423-0 .

[8] Эшкрофт, Нил В. (1976). Физика твердого тела . Компания WB Saunders. п. 73. ИСБН 0-03-083993-9 .

[1]

[2]

[3]

[примечание 1]

[4]

[5]

[6]

[7]