Геометрически необходимые дислокации

Геометрически необходимые дислокации одинакового знака, — это дислокации необходимые для пластического изгиба кристаллического материала . ^[1] Они присутствуют, когда пластическая деформация материала сопровождается внутренними градиентами пластической деформации. ^[2] Они противопоставляются статистически сохраненным дислокациям со статистикой равных положительных и отрицательных знаков, которые возникают во время пластического течения в результате процессов умножения, таких как источник Франка-Рида.

Дислокации в кристаллических материалах [ править ]

Статистически сохраненные дислокации [ править ]

По мере деформации плотность дислокаций увеличивается, а подвижность дислокаций снижается в процессе пластического течения. Существуют разные способы накопления дислокаций. Многие дислокации накапливаются путем размножения, при котором дислокации случайно встречаются друг с другом. Дислокации, хранящиеся в таких прогрессах, называются статистически хранящимися дислокациями с соответствующей плотностью. $\rho _{s}$ . ^[2] Другими словами, это дислокации, возникшие в результате случайных процессов захвата при пластической деформации. ^[3]

Геометрически необходимые дислокации [ править ]

Помимо статистически накопленных дислокаций, геометрически необходимые дислокации накапливаются в полях градиентов деформаций, вызванных геометрическими ограничениями кристаллической решетки. В этом случае пластическая деформация сопровождается внутренними градиентами пластической деформации. Теорию геометрически необходимых дислокаций впервые предложил Най. ^[4] в 1953 г. Поскольку помимо статистически запомненных дислокаций присутствуют геометрически необходимые дислокации, то полная плотность представляет собой накопление двух плотностей, например $\rho _{s}+\rho _{g}$ , где $\rho _{g}$ – плотность геометрически необходимых дислокаций.

Концепция [ править ]

Монокристалл [ править ]

Пластический изгиб монокристалла можно использовать для иллюстрации концепции геометрически необходимой дислокации, когда плоскости скольжения и ориентации кристалла параллельны направлению изгиба. Идеальный (недеформированный) кристалл имеет длину $l$ и толщина $t$ . Когда хрустальный стержень изогнут до радиуса кривизны $r$ Градиент деформации образуется там, где в верхней части кристаллического стержня возникает растягивающая деформация, увеличивая длину верхней поверхности от $l$ к $l+dl$ . Здесь $dl$ положительна, и ее величина предполагается равной $t\theta /2$ . Аналогично уменьшается длина противоположной внутренней поверхности от $l$ к $l-dl$ из-за деформации сжатия, вызванной изгибом. Таким образом, градиент деформации — это разница деформаций между внешней и внутренней поверхностями кристалла, деленная на расстояние, на котором существует градиент.

$strain\ gradient=2{\frac {dl/l}{t}}=2{\frac {t\theta /2l}{t}}={\frac {\theta }{l}}$ . С $l=r\theta$ , $strain\ gradient={\frac {1}{r}}$ .

Рисунок, объясняющий образование геометрически необходимых дислокаций в монокристалле.

Длина поверхности, деленная на межатомное расстояние, равна числу кристаллических плоскостей на этой поверхности. Межатомное расстояние $b$ равен величине вектора Бюргерса $b$ . Таким образом, количество кристаллических плоскостей на внешней (растяжение) поверхности и внутренней (сжатие) поверхности равно $(l+dl)/b$ и $(l-dl)/b$ , соответственно. Поэтому вводится понятие геометрически необходимых дислокаций, согласно которым краевые дислокации одного знака компенсируют разницу в числе атомных плоскостей между поверхностями. Плотность геометрически необходимых дислокаций $\rho _{g}$ разделена ли эта разница на площадь поверхности кристалла

$\rho _{g}={\frac {(l+dl)/b-(l-dl)/b}{lt}}=2{\frac {dl}{ltb}}={\frac {1}{rb}}={\frac {strain\ gradient}{b}}$ .

Точнее, при расчете плотности геометрически необходимых дислокаций следует учитывать ориентацию плоскости скольжения и направление относительно изгиба. В частном случае, когда нормали плоскости скольжения параллельны оси изгиба, а направления скольжения перпендикулярны этой оси, в процессе изгиба вместо геометрически необходимой дислокации происходит обычное скольжение дислокации. Таким образом, константа порядка единицы $\alpha$ входит в выражение для плотности геометрически необходимых дислокаций

$\rho _{g}=\alpha {\frac {strain\ gradient}{b}}$ .

Поликристаллический материал [ править ]

Между соседними зернами поликристаллического материала геометрически необходимые дислокации могут обеспечить совместимость смещений, учитывая градиент деформации каждого кристалла. Эмпирически можно сделать вывод, что такие области дислокаций существуют, поскольку кристаллиты в поликристаллическом материале не имеют пустот или перекрывающихся сегментов между собой. В такой системе плотность геометрически необходимых дислокаций можно оценить, рассматривая среднее зерно. Перекрытие между двумя соседними зернами пропорционально ${\overline {\varepsilon }}d$ где ${\overline {\varepsilon }}$ средняя деформация и $d$ это диаметр зерна. Смещение $dl$ пропорционально ${\overline {\varepsilon }}$ умножается на расчетную длину, которая принимается как $d$ для поликристалла. Это значение разделенное на вектор Бюргерса , b , дает количество дислокаций, а деление на площадь ( $\cong d^{2}$ ) дает плотность

$\rho _{g}\cong {\frac {\overline {\varepsilon }}{bd}}$

которое, при дальнейших геометрических соображениях, можно уточнить до

$\rho _{g}={\frac {\overline {\varepsilon }}{4bd}}$ . ^[2]

Тензор Ная [ править ]

Най ввел набор тензоров (так называемый тензор Ная) для расчета геометрически необходимой плотности дислокаций. ^[4]

Для трехмерных дислокаций в кристалле рассматривается область, в которой действие дислокаций усреднено (т.е. кристалл достаточно велик). Дислокации можно определить по векторам Бюргерса . Если схема Бюргерса с единичной площадью, нормальной к единичному вектору $l_{j}$ имеет вектор Бюргерса $B_{i}$

$B_{i}=\alpha _{ij}l_{j}$ ( $i,j=1,2,3$ )

где коэффициент $\alpha _{ij}$ - тензор Ная, связывающий единичный вектор $l_{j}$ и вектор бургеров $B_{i}$ . Этот тензор второго ранга определяет дислокационное состояние особой области.

Предполагать $B_{i}=b_{i}(nr_{j}l_{j})$ , где $r$ – единичный вектор, параллельный дислокациям, а $b$ – вектор Бюргерса, n – число дислокаций, пересекающих единицу площади, нормальную к $r$ . Таким образом, $\alpha _{ij}=nb_{i}r_{j}$ . Всего $\alpha _{ij}$ представляет собой сумму всех различных значений $nb_{i}r_{j}$ . Предположим, что тензор второго ранга $k_{ij}$ для описания кривизны решетки, $d\phi _{i}=k_{ij}dx_{j}$ , где $d\phi _{i}$ - небольшие вращения решетки вокруг трех осей и $dx_{j}$ – вектор смещения. Можно доказать, что $k_{ij}=\alpha _{ji}-{\tfrac {1}{2}}\delta _{ij}\alpha _{kk}$ где $\delta _{ij}=1$ для $i=j$ , и $\delta _{ij}=0$ для $i\neq j$ .

Уравнения равновесной доходности ${\frac {\partial \alpha _{ij}}{\partial x_{j}}}=0$ . С $k_{ij}={\frac {\partial \phi {i}}{\partial x_{j}}}$ , таким образом ${\frac {\partial k_{ij}}{\partial x_{k}}}={\partial ^{2} \over \partial x_{j}\partial x_{k}}\phi _{i}={\frac {\partial k_{ik}}{\partial x_{j}}}$ . Подставив $\alpha$ для $k$ , ${\frac {\partial \alpha _{ji}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial \alpha _{ki}}{\partial x_{j}}}={\frac {1}{2}}(\delta _{ij}{\frac {\partial \alpha _{ll}}{\partial x_{k}}}-\delta _{ik}{\frac {\partial \alpha _{ll}}{\partial x_{j}}})$ . Ввиду нулевого решения уравнений с $j=k$ равны нулю, а симметрия $j$ и $k$ , из всех двадцати семи возможных перестановок остается только девять независимых уравнений. $i,j,k$ . Тензор Ная $\alpha _{ij}$ может быть определена с помощью этих девяти дифференциальных уравнений.

Таким образом, дислокационный потенциал можно записать как $W={\tfrac {1}{2}}\alpha _{ij}k_{ij}$ , где ${\frac {\partial W}{\partial k_{ij}}}={\frac {1}{2}}\alpha _{ij}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \alpha _{kl}}{\partial k_{ij}}}k_{kl}={\frac {1}{2}}\alpha _{ij}+{\frac {1}{2}}k_{ji}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}k_{kk}=\alpha _{ij}$ .

Измерение [ править ]

Испытание на одноосное растяжение в основном проводилось для определения соотношения напряжение-деформация и соответствующих механических свойств объемных образцов. Однако в геометрически необходимых дислокациях происходит дополнительное накопление дефектов, связанных с неравномерной пластической деформацией, и одних обычных макроскопических испытаний, например, испытаний на одноосное растяжение, недостаточно для выявления последствий таких дефектов, например, градиента пластической деформации. Кроме того, геометрически необходимые дислокации имеют микронный масштаб, тогда как обычный тест на изгиб, выполняемый в миллиметровом масштабе, не может обнаружить эти дислокации. ^[5]

Только после изобретения Адамсом и др. методов измерения искажений решетки с помощью дифракции обратно рассеянных электронов с пространственным и угловым разрешением. ^[6] в 1997 г. стали возможны экспериментальные измерения геометрически необходимых дислокаций. Например, Сан и др. ^[7] в 2000 году изучил характер кривизны решетки вблизи границы раздела деформированных бикристаллов алюминия с помощью дифракционной ориентационной микроскопии. Таким образом, по данным кривизны было реализовано наблюдение геометрически необходимых дислокаций.

Но из-за экспериментальных ограничений плотность геометрически необходимых дислокаций для общего состояния деформации было трудно измерить до тех пор, пока Kysar et al. не ввели метод нижней границы. ^[8] в 2010 году. Они изучали вдавливание клина с включенным углом 90 градусов в монокристалл никеля (а позже Dahlberg et al. ^[9]). Сравнивая ориентацию кристаллической решетки в последеформированной конфигурации с недеформированным однородным образцом, они смогли определить вращение решетки в плоскости и обнаружили, что оно на порядок больше, чем вращение решетки вне плоскости, таким образом демонстрируя предположение о плоской деформации.

Тензор плотности дислокаций Ная ^[4] имеет только два ненулевых компонента из-за состояния двумерной деформации, и их можно получить на основе измерений вращения решетки. Поскольку линейная зависимость между двумя компонентами тензора Ная и плотностями геометрически необходимых дислокаций обычно недоопределена, то при соблюдении этой зависимости суммарная плотность геометрически необходимых дислокаций минимизируется. Это решение нижней границы представляет собой минимальную геометрически необходимую плотность дислокаций в деформированном кристалле, соответствующую измеренной геометрии решетки. А в областях, где известно, что активны только одна или две эффективные системы скольжения, решение нижней границы сводится к точному решению для геометрически необходимых плотностей дислокаций.

Приложение [ править ]

Потому что $\rho _{g}$ помимо плотности статистически сохраненных дислокаций $\rho _{s}$ увеличение плотности дислокаций за счет аккомодированных поликристаллов приводит к размерному эффекту при деформационном упрочнении ; то есть поликристаллы с более мелким зерном будут иметь тенденцию к более быстрому упрочнению. ^[2]

Геометрически необходимые дислокации могут обеспечить усиление там, где в разных случаях существуют два механизма. Первый механизм обеспечивает макроскопическое изотропное упрочнение за счет локального взаимодействия дислокаций, например, образования выступов, когда существующая геометрически необходимая дислокация прорезается движущейся дислокацией. Второй механизм – кинематическое упрочнение за счет накопления дальних обратных напряжений. ^[10]

Геометрически необходимые дислокации могут понижать свою свободную энергию, накладываясь друг на друга (см. формулу Пича-Келера для дислокационно-дислокационных напряжений) и образовывать границы наклона под малым углом . Это движение часто требует, чтобы дислокации перешли в разные плоскости скольжения, поэтому часто необходим отжиг при повышенной температуре. В результате получается дуга, которая из непрерывно изогнутой превращается в дискретно изогнутую с изломами на границах малоуглового наклона. ^[1]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: ^а ^б Д., Никс, Уильям; Общество., Исследование материалов (15 сентября 2016 г.). Несовершенства кристаллических твердых тел . ISBN 9781107123137 . OCLC 927400734 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Х., Кортни, Томас (2005). Механическое поведение материалов . Уэйвленд Пресс. ISBN 978-1577664253 . OCLC 894800884 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Арсенлис, А; Паркс, DM (март 1999 г.). «Кристаллографические аспекты геометрически необходимой и статистически сохраняемой плотности дислокаций». Акта Материалия . 47 (5): 1597–1611. Бибкод : 1999AcMat..47.1597A . дои : 10.1016/s1359-6454(99)00020-8 . ISSN 1359-6454 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Най, Дж. Ф. (март 1953 г.). «Некоторые геометрические соотношения в дислоцированных кристаллах». Акта Металлургика . 1 (2): 153–162. дои : 10.1016/0001-6160(53)90054-6 . ISSN 0001-6160 .
^ Гао, Хуацзянь; Хуан, Юнган (январь 2003 г.). «Геометрически необходимая дислокация и размерно-зависимая пластичность». Скрипта Материалия . 48 (2): 113–118. дои : 10.1016/s1359-6462(02)00329-9 . ISSN 1359-6462 .
^ Адамс, Брент Л. (июнь 1997 г.). «Ориентационная визуализационная микроскопия: новые и будущие приложения». Ультрамикроскопия . 67 (1–4): 11–17. дои : 10.1016/s0304-3991(96)00103-9 . ISSN 0304-3991 .
^ Сан, Б.Л. Адамс, В.Е. Кинг, С. (1 января 2000 г.). «Наблюдения за кривизной решетки вблизи границы раздела деформированного бикристалла алюминия». Философский журнал А. 80 (1): 9–25. дои : 10.1080/014186100250985 . ISSN 0141-8610 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Кисар, Дж.В.; Сайто, Ю.; Озтоп, М.С.; Ли, Д.; Ха, WT (август 2010 г.). «Экспериментальные нижние границы геометрически необходимой плотности дислокаций». Международный журнал пластичности . 26 (8): 1097–1123. дои : 10.1016/j.ijplas.2010.03.009 . ISSN 0749-6419 .
^ Дальберг, финансовый директор; Сайто, Ю.; Озтоп, М.С.; Кисар, JW (март 2014 г.). «Геометрически необходимые измерения плотности дислокаций, связанных с разными углами отпечатков». Международный журнал пластичности . 54 : 81–95. дои : 10.1016/j.ijplas.2013.08.008 . ISSN 0749-6419 .
^ Флек, Северная Каролина; Эшби, МФ; Хатчинсон, JW (январь 2003 г.). «Роль геометрически необходимых дислокаций в придании материалам упрочнения». Скрипта Материалия . 48 (2): 179–183. CiteSeerX 10.1.1.518.6418 . дои : 10.1016/s1359-6462(02)00338-x . ISSN 1359-6462 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Д., Никс, Уильям; Общество., Исследование материалов (15 сентября 2016 г.). Несовершенства кристаллических твердых тел . ISBN 9781107123137 . OCLC 927400734 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[:1-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Х., Кортни, Томас (2005). Механическое поведение материалов . Уэйвленд Пресс. ISBN 978-1577664253 . OCLC 894800884 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[3] Арсенлис, А; Паркс, DM (март 1999 г.). «Кристаллографические аспекты геометрически необходимой и статистически сохраняемой плотности дислокаций». Акта Материалия . 47 (5): 1597–1611. Бибкод : 1999AcMat..47.1597A . дои : 10.1016/s1359-6454(99)00020-8 . ISSN 1359-6454 .

[:2-4] Jump up to: ^а ^б ^с Най, Дж. Ф. (март 1953 г.). «Некоторые геометрические соотношения в дислоцированных кристаллах». Акта Металлургика . 1 (2): 153–162. дои : 10.1016/0001-6160(53)90054-6 . ISSN 0001-6160 .

[5] Гао, Хуацзянь; Хуан, Юнган (январь 2003 г.). «Геометрически необходимая дислокация и размерно-зависимая пластичность». Скрипта Материалия . 48 (2): 113–118. дои : 10.1016/s1359-6462(02)00329-9 . ISSN 1359-6462 .

[6] Адамс, Брент Л. (июнь 1997 г.). «Ориентационная визуализационная микроскопия: новые и будущие приложения». Ультрамикроскопия . 67 (1–4): 11–17. дои : 10.1016/s0304-3991(96)00103-9 . ISSN 0304-3991 .

[7] Сан, Б.Л. Адамс, В.Е. Кинг, С. (1 января 2000 г.). «Наблюдения за кривизной решетки вблизи границы раздела деформированного бикристалла алюминия». Философский журнал А. 80 (1): 9–25. дои : 10.1080/014186100250985 . ISSN 0141-8610 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[8] Кисар, Дж.В.; Сайто, Ю.; Озтоп, М.С.; Ли, Д.; Ха, WT (август 2010 г.). «Экспериментальные нижние границы геометрически необходимой плотности дислокаций». Международный журнал пластичности . 26 (8): 1097–1123. дои : 10.1016/j.ijplas.2010.03.009 . ISSN 0749-6419 .

[9] Дальберг, финансовый директор; Сайто, Ю.; Озтоп, М.С.; Кисар, JW (март 2014 г.). «Геометрически необходимые измерения плотности дислокаций, связанных с разными углами отпечатков». Международный журнал пластичности . 54 : 81–95. дои : 10.1016/j.ijplas.2013.08.008 . ISSN 0749-6419 .

[10] Флек, Северная Каролина; Эшби, МФ; Хатчинсон, JW (январь 2003 г.). «Роль геометрически необходимых дислокаций в придании материалам упрочнения». Скрипта Материалия . 48 (2): 179–183. CiteSeerX 10.1.1.518.6418 . дои : 10.1016/s1359-6462(02)00338-x . ISSN 1359-6462 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]