Фазовый поиск

Фазовый поиск — это процесс алгоритмического поиска решения фазовой проблемы . Учитывая сложный сигнал $F(k)$, амплитуды $|F(k)|$и фаза $\psi (k)$:

$F(k)=|F(k)|e^{i\psi (k)}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ik\cdot x}\,dx$

где x представляет собой M -мерную пространственную координату, а k представляет собой M -мерную пространственную частотную координату. Поиск фазы состоит из поиска фазы, которая удовлетворяет набору ограничений для измеренной амплитуды. Важные применения фазового восстановления включают рентгеновскую кристаллографию , просвечивающую электронную микроскопию и когерентную дифракционную визуализацию , для которых $M=2$. Теоремы единственности как для одномерных, так и для двумерных случаев задачи восстановления фазы, включая бесфазную одномерную обратную задачу рассеяния, были доказаны Клибановым и его сотрудниками (см. Список литературы).

Формулировка проблемы

Здесь мы рассматриваем одномерную задачу восстановления фазы дискретного преобразования Фурье (ДПФ). ДПФ комплексного сигнала $f[n]$ дается

$F[k]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n]e^{-j2\pi {\frac {kn}{N}},}=|F[k]|\cdot e^{j\psi [k]}\quad k=0,1,\ldots ,N-1$,

и передискретизированное ДПФ $x$ дается

$F[k]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n]e^{-j2\pi {\frac {kn}{M}},}\quad k=0,1,\ldots ,M-1$,

где $M>N$.

Поскольку оператор ДПФ является биективным, это эквивалентно восстановлению фазы $\psi [k]$. Обычно сигнал восстанавливают по его автокорреляционной последовательности вместо его величины Фурье. То есть обозначим через ${\hat {f}}$ вектор $f$ после заполнения с помощью $N-1$ нули. Автокорреляционная последовательность ${\hat {f}}$ затем определяется как

$g[m]=\sum _{i=\max\{1,m+1\}}^{N}{\hat {f}}_{i}{\overline {{\hat {f}}_{i-m}}},\quad m=-(N-1),\ldots ,N-1$,

и ДПФ $g[m]$, обозначенный $G[k]$, удовлетворяет $G[k]=|F[k]|^{2}$.

Методы

Алгоритм уменьшения ошибок

Схематическое изображение алгоритма уменьшения ошибок при восстановлении фазы

Сокращение ошибок является обобщением алгоритма Герхберга-Сакстона . Это решает для $f(x)$ из измерений $|F(u)|$ путем итерации четырехэтапного процесса. Для $k$На итерации шаги следующие:

Шаг (1): $G_{k}(u)$, $\phi _{k}$, и $g_{k}(x)$ являются оценками соответственно $F(u)$, $\psi$ и $f(x)$. На первом этапе мы вычисляем Фурье преобразование $g_{k}(x)$:

$G_{k}(u)=|G_{k}(u)|e^{i\phi _{k}(u)}={\mathcal {F}}(g_{k}(x)).$

Шаг (2): Экспериментальное значение $|F(u)|$, рассчитанный по дифракционной картине с помощью уравнения сигнала , затем заменяется на $|G_{k}(u)|$, давая оценку преобразования Фурье:

$G'_{k}(u)=|F(u)|e^{i\phi _{k}(u)},$

где ' обозначает промежуточный результат, который позже будет отброшен.

Шаг (3): оценка преобразования Фурье $G'_{k}(u)$ затем обратное преобразование Фурье:

$g'_{k}(x)=|g'_{k}(x)|e^{i\theta '_{k}(x)}={\mathcal {F}}^{-1}(G'_{k}(u)).$

Шаг (4): $g'_{k}(x)$ затем необходимо изменить так, чтобы новая оценка объекта, $g_{k+1}(x)$, удовлетворяет ограничениям объекта . $g_{k+1}(x)$ поэтому определяется кусочно как:

$g_{k+1}(x)\equiv {\begin{cases}g'_{k}(x),&x\notin \gamma ,\\0,&x\in \gamma ,\end{cases}}$

где $\gamma$ это домен, в котором $g'_{k}(x)$ не удовлетворяет ограничениям объекта. Новая оценка $g_{k+1}(x)$ получается, и четырехэтапный процесс повторяется.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут удовлетворены как ограничение Фурье, так и ограничение объекта. Теоретически этот процесс всегда приведет к конвергенции . но большое количество итераций, необходимых для создания удовлетворительного изображения (обычно >2000), приводит к тому, что алгоритм уменьшения ошибок сам по себе становится непригодным для практического применения.

ввода-

Основная статья: Алгоритм гибридного ввода-вывода (HIO) для восстановления фазы

Гибридный алгоритм ввода-вывода является модификацией алгоритма снижения ошибок — первые три этапа идентичны. Однако, $g_{k}(x)$ больше не выступает в качестве оценки $f(x)$, но входная функция, соответствующая выходной функции $g'_{k}(x)$, что является оценкой $f(x)$. На четвертом шаге, когда функция $g'_{k}(x)$ нарушает ограничения объекта, значение $g_{k+1}(x)$ стремится к нулю, но оптимально не к нулю. Главное преимущество гибридного алгоритма ввода-вывода состоит в том, что функция $g_{k}(x)$ содержит информацию обратной связи относительно предыдущих итераций, что снижает вероятность застоя. Показано, что гибридный алгоритм ввода-вывода сходится к решению существенно быстрее, чем алгоритм уменьшения ошибок. Его скорость сходимости можно дополнительно улучшить с помощью алгоритмов оптимизации размера шага.

$g_{k+1}(x)\equiv {\begin{cases}g'_{k}(x),&x\notin \gamma ,\\g_{k}(x)-\beta {g'_{k}(x)},&x\in \gamma .\end{cases}}$

Здесь $\beta$ — это параметр обратной связи, который может принимать значение от 0 до 1. Для большинства приложений $\beta \approx 0.9$ дает оптимальные результаты. {Научные отчеты, том 8, номер статьи: 6436 (2018)}

Термоусадочная пленка

Для двумерной задачи восстановления фазы существует вырождение решений как $f(x)$ и его сопряженное $f^{*}(-x)$ имеют одинаковый модуль Фурье. Это приводит к «двойнику изображения», при котором алгоритм фазового поиска застаивается, создавая изображение с характеристиками как объекта, так и его сопряженного объекта . Метод сжатия периодически обновляет оценку поддержки путем низкочастотной фильтрации текущей оценки амплитуды объекта (путем свертки с гауссианом ) и применения порога, что приводит к уменьшению неоднозначности изображения.

для кратковременного

Восстановление фазы является некорректной задачей. Чтобы однозначно идентифицировать основной сигнал, в дополнение к методам, которые добавляют дополнительную априорную информацию, таким как алгоритм Герхберга-Сакстона , другой способ — добавить измерения только по величине, такие как кратковременное преобразование Фурье (STFT).

Представленный ниже метод в основном основан на работе Джаганатана и др .

Кратковременное

Учитывая дискретный сигнал $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ который взят из $f(x)$. Мы используем окно длиной W : $\mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}$ вычислить STFT $\mathrm {f}$, обозначенный $\mathbf {Y}$:

$Y[m,r]=\sum _{n=0}^{N-1}{f[n]w[rL-n]e^{-i2\pi {\frac {mn}{N}}}}$

для $0\leq m\leq N-1$ и $0\leq r\leq R-1$, где параметр $L$ обозначает расстояние во времени между соседними кратковременными участками и параметром $R=\left\lceil {\frac {N+W-1}{L}}\right\rceil$ обозначает количество рассматриваемых кратковременных участков.

Другая интерпретация (так называемая интерпретация скользящего окна) STFT может использоваться с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Позволять $w_{r}[n]=w[rL-n]$ обозначает элемент окна, полученный из смещенного и перевернутого окна $\mathbf {w}$. Тогда у нас есть

$\mathbf {Y} =[\mathbf {Y} _{0},\mathbf {Y} _{1},...,\mathbf {Y} _{R-1}]$, где $\mathbf {Y} _{r}=\mathbf {x} \circ \mathbf {w} _{r}$.

Определение проблемы

Позволять ${Z}_{w}[m,r]=|Y[m,r]|^{2}$ быть $N\times R$ измерения, соответствующие квадрату величины STFT $\mathbf {x}$, $\mathbf {W} _{r}$ быть $N\times N$ диагональная матрица с диагональными элементами $\left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).$ Поиск фазы STFT можно сформулировать как:

Находить $\mathbf {x}$ такой, что $Z_{w}[m,r]=\left|\left\langle \mathbf {f} _{m},\mathbf {W} _{r}\mathbf {x} \right\rangle \right|^{2}$ для $0\leq m\leq N-1$ и $0\leq r\leq R-1$, где $\mathbf {f} _{m}$ это $m$-й столбец $N$-точечная обратная матрица ДПФ.

Интуитивно понятно, что сложность вычислений растет с $N$ делает метод непрактичным. На самом деле, однако, для большинства практических случаев нам нужно рассматривать только измерения, соответствующие $0\leq m\leq M$, для любого параметра $M$ удовлетворяющий $2W\leq M\leq N$.

Точнее, если и сигнал, и окно не исчезают , то есть $x[n]\neq 0$ для всех $0\leq n\leq N-1$ и $w[n]\neq 0$ для всех $0\leq$ $n\leq W-1$, сигнал $\mathbf {x}$ может быть однозначно идентифицирован по величине STFT, если выполняются следующие требования:

1. $L<W\leq N/2$,
2. $2W\leq M\leq N$.

Доказательство можно найти в работе Джаганатана: которая переформулирует поиск фазы STFT как следующую задачу наименьших квадратов:

$\min _{\mathbf {x} }\sum _{r=0}^{R-1}\sum _{m=0}^{N-1}\left(Z_{w}[m,r]-\left|\left\langle \mathbf {f} _{m},\mathbf {W} _{r}\mathbf {x} \right\rangle \right|^{2}\right)^{2}$.

Алгоритм, хотя и не имеет теоретических гарантий восстановления, эмпирически способен сходиться к глобальному минимуму при существенном перекрытии соседних кратковременных участков.

основанный на релаксации

Чтобы установить гарантии восстановления, один из способов состоит в том, чтобы сформулировать проблемы в виде полуопределенной программы (SDP), вложив проблему в пространство более высокой размерности с помощью преобразования $\mathbf {X} =\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\ast }$ и ослабим ограничение ранга один, чтобы получить выпуклую программу. Переформулированная проблема сформулирована ниже:

Получать $\mathbf {\hat {X}}$ решив:

$${\begin{aligned}&\mathrm {minimize} ~~~\mathrm {trace} (\mathbf {X} )\\[6pt]&\mathrm {subject~to} ~~Z[m,r]=\mathrm {trace} (\mathbf {W} _{r}^{\ast }\mathbf {f} _{m}\mathbf {f} _{m}^{\ast }\mathbf {W} _{r}\mathbf {X} )\\[0pt]&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {X} \succeq 0\end{aligned}}$$

для $1\leq m\leq M$ и $0\leq r\leq R-1$

Один раз $\mathbf {\hat {X}}$ найден, мы можем восстановить сигнал $\mathbf {x}$ по наилучшему приближению первого ранга.

Приложения

Восстановление фазы является ключевым компонентом когерентной дифракционной визуализации (CDI). В CDI измеряется интенсивность дифракционной картины, рассеянной от мишени. Затем фаза дифракционной картины получается с использованием алгоритмов восстановления фазы и строится изображение цели. Таким образом, восстановление фазы позволяет преобразовать дифракционную картину в изображение без использования оптической линзы .

Используя алгоритмы восстановления фазы, можно охарактеризовать сложные оптические системы и их аберрации. Например, восстановление фазы использовалось для диагностики и ремонта неисправной оптики космического телескопа Хаббл .

Другие применения фазового восстановления включают рентгеновскую кристаллографию и просвечивающую электронную микроскопию .

См. также

• Фазовая проблема
• Кристаллография
• Рентгеновская кристаллография
• Когерентная дифракционная визуализация
• Уравнение переноса интенсивности
• Фазовая корреляция

Ссылки

• Клибанов, М.В. (1985). «О единственности определения финитной функции по модулю ее преобразования Фурье». Советская математика — Доклады . 32 : 668–670.
• Клибанов, М.В. (1987). «Определение функции с компактным носителем по модулю ее преобразования Фурье и обратная задача рассеяния». Дифференциальные уравнения . 22 : 1232–1240.
• Клибанов, М.В. (1987). «Обратная задача рассеяния и восстановление функции по модулю ее преобразования Фурье». Сибирская математика Ж . 27 (5): 708–719. дои : 10.1007/bf00969199 . S2CID   120840929 .
• Клибанов, М.В. (1989). «Уникальность определения искажений кристаллической решетки методом рентгеновской дифракции в непрерывной динамической модели». Дифференциальные уравнения . 25 : 520–527.
• Клибанов М.В. и Сакс Ч.П. (1992). «Бесфазное обратное рассеяние и фазовая проблема в оптике». Дж. Математика. Физ . 33 (11): 2813–3821. Бибкод : 1992JMP....33.3813K . дои : 10.1063/1.529990 .
• Клибанов М.В.; Сакс, ЧП (1994). «Использование частичного знания потенциала в фазовой задаче обратного рассеяния». Дж. Компьютер. Физ . 112 (2): 273–281. Бибкод : 1994JCoPh.112..273K . дои : 10.1006/jcph.1994.1099 .
• Клибанов М.В.; Сакс, ЧП; Тихонравов, А.В. (1995). «Проблема восстановления фазы». Обратная задача . 11 (1): 1–28. Бибкод : 1995ИнвПр..11....1К . дои : 10.1088/0266-5611/11/1/001 . S2CID   250916850 .
• Клибанов, М.В. (2006). «О восстановлении двумерной функции по модулю ее преобразования Фурье» . Дж. Математика. Анальный. Приложение . 323 (2): 818–843. дои : 10.1016/j.jmaa.2005.10.079 .