преобразование Фурье

Примером применения преобразования Фурье является определение составляющих высоты звука в музыкальном сигнале . Это изображение является результатом применения преобразования с постоянной добротностью ( преобразование, связанное с Фурье ) к форме волны до мажор фортепианного аккорда . Первые три пика слева соответствуют частотам основной частоты аккорда (C, E, G). Остальные более мелкие пики представляют собой более высокочастотные обертоны основных звуков. Алгоритм определения высоты тона может использовать относительную интенсивность этих пиков, чтобы определить, какую ноту нажал пианист.

В физике , технике и математике ( преобразование Фурье FT ) — это интегральное преобразование , которое принимает функцию в качестве входных данных и выводит другую функцию, описывающую степень присутствия различных частот в исходной функции. Результатом преобразования является комплексная функция частоты. Термин «преобразование Фурье» относится как к этой комплексной функции, так и к математической операции . Когда необходимо провести различие, преобразование Фурье иногда называют в частотной области представлением исходной функции . Преобразование Фурье аналогично разложению звука музыкального аккорда на интенсивности составляющих его звуков .

Преобразование Фурье связывает временную область (красный цвет) с функцией в частотной области (синий цвет). Частоты компонентов, расширенные на весь частотный спектр, показаны как пики в области частот.

Красную синусоиду можно описать пиковой амплитудой (1), размахом амплитуды (2), среднеквадратичным значением (3) и длиной волны (4). Красная и синяя синусоиды имеют разность фаз θ .

$\scriptstyle f(t)$

$\scriptstyle {\widehat {f}}(\omega )$

$\scriptstyle g(t)$

$\scriptstyle {\widehat {g}}(\omega )$

$\scriptstyle t$

$\scriptstyle \omega$

$\scriptstyle t$

$\scriptstyle \omega$

В верхнем ряду показан единичный импульс как функция времени ( f ( t ) ) и его преобразование Фурье как функция частоты ( f̂ ( ω ) ). В нижнем ряду показан задержанный единичный импульс как функция времени ( g ( t ) ) и его преобразование Фурье как функция частоты ( ĝ ( ω ) ). Трансляция (т.е. задержка) во временной области интерпретируется как сложные фазовые сдвиги в частотной области. Преобразование Фурье разлагает функцию на собственные функции для группы сдвигов. Мнимая часть ĝ ( ω ) отменяется, поскольку в преобразовании Фурье использовался показатель отрицательного знака, который является значением по умолчанию, полученным из ряда Фурье, но знак не имеет значения для преобразования, которое не будет обращено .

Функции, локализованные во временной области, имеют преобразования Фурье, которые распространяются по частотной области, и наоборот, это явление известно как принцип неопределенности . Критическим нормальное случаем для этого принципа является функция Гаусса , имеющая существенное значение в теории вероятностей и статистике , а также при изучении физических явлений, демонстрирующих распределение (например, диффузию ). Преобразование Фурье функции Гаусса — это еще одна функция Гаусса. Жозеф Фурье ввел это преобразование в своем исследовании теплопередачи , где функции Гаусса появляются как решения уравнения теплопроводности .

Преобразование Фурье можно формально определить как несобственный интеграл Римана , что делает его интегральным преобразованием, хотя это определение не подходит для многих приложений, требующих более сложной теории интегрирования. Например, во многих относительно простых приложениях используется дельта-функция Дирака , которую формально можно рассматривать как функцию, но для обоснования требуется математически более сложная точка зрения.

Преобразование Фурье также можно обобщить на функции нескольких переменных в евклидовом пространстве , переводя функцию трехмерного «позиционного пространства» в функцию трехмерного импульса (или функцию пространства и времени в функцию четырехмерного импульса). ). Эта идея делает пространственное преобразование Фурье очень естественным при изучении волн, а также в квантовой механике , где важно иметь возможность представлять волновые решения как функции положения или импульса, а иногда и того и другого. В общем, функции, к которым применимы методы Фурье, являются комплекснозначными и, возможно, векторнозначными . Еще дальнейшее обобщение возможно для функций на группах , которые, помимо исходного преобразования Фурье на R или R ^н , в частности включает преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT, группа = Z ), дискретное преобразование Фурье (DFT, группа = Z mod N ) и ряд Фурье или круговое преобразование Фурье (группа = S ¹ , единичная окружность ≈ замкнутый конечный интервал с отождествленными концами). Последний обычно используется для обработки периодических функций . Быстрое преобразование Фурье (БПФ) — это алгоритм вычисления ДПФ.

Определение

Преобразование Фурье — это процесс анализа , разлагающий комплексную функцию. $\textstyle f(x)$на составляющие его частоты и их амплитуды. Обратный процесс — синтез , воссоздающий $\textstyle f(x)$ от его преобразования.

Мы можем начать с аналогии — ряда Фурье , который анализирует $\textstyle f(x)$ на ограниченном интервале $\textstyle x\in [-P/2,P/2],$ для некоторого положительного действительного числа $P.$ Составляющие частоты представляют собой дискретный набор гармоник на частотах ${\tfrac {n}{P}},n\in \mathbb {Z} ,$ амплитуда и фаза которого определяются формулой анализа:

$$c_{n}={\tfrac {1}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}f(x)\,e^{-i2\pi {\frac {n}{P}}x}\,dx.$$

Фактический ряд Фурье представляет собой формулу синтеза:

$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},\quad \textstyle x\in [-P/2,P/2].$$

Аналогия с функцией $\textstyle f(x)$ можно получить формально из формулы анализа, приняв предел как $P\to \infty$, одновременно принимая $n$ так что ${\tfrac {n}{P}}\to \xi \in \mathbb {R} .$ Формально выполняя это, получим для быстро убывающих $f$:

преобразование Фурье

${\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i2\pi \xi x}\,dx.$    

( Уравнение 1 )

Легко видеть, если предположить гипотезу быстрого убывания, что интеграл (1) сходится при всех действительных $\xi$, и (с использованием леммы Римана–Лебега ) что преобразованная функция ${\widehat {f}}$также быстро снижается. Справедливость этого определения для классов функций $f$ которые не обязательно быстро уменьшаются, обсуждаются далее в этом разделе.

Оценка уравнения 1 для всех значений $\xi$производит функцию частотной области . Комплексное число ${\widehat {f}}(\xi )$, в полярных координатах, передает как амплитуду , так и фазу частоты. $\xi .$ Интуитивная интерпретация уравнения 1 заключается в том, что эффект умножения $f(x)$ к $e^{-i2\pi \xi x}$ это вычесть $\xi$ от каждой частотной составляющей функции $f(x).$ Только тот компонент, который был на частоте $\xi$может дать ненулевое значение бесконечного интеграла, поскольку (по крайней мере формально) все остальные сдвинутые компоненты являются колебательными и интегрируются до нуля. (см. § Пример )

Соответствующая формула синтеза такой функции:

Обратное преобразование

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )\ e^{i2\pi \xi x}\,d\xi ,\quad \forall \ x\in \mathbb {R} .$    

( Уравнение 2 )

Уравнение 2 представляет собой представление $f(x)$ как взвешенное суммирование комплексных показательных функций.

Это также известно как теорема обращения Фурье и впервые было введено в Фурье «Аналитической теории тепла» .

Функции $f$ и ${\widehat {f}}$ называются парой преобразований Фурье . Обычное обозначение для обозначения пар преобразований:

$$f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ),$$

например $\operatorname {rect} (x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \operatorname {sinc} (\xi ).$

интегрируемых по

До сих пор мы имели дело с быстро убывающими на бесконечности функциями Шварца со всеми производными. Это исключает из определения многие функции, имеющие практическое значение, например функцию rect . Измеримая функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ называется интегрируемым (по Лебегу), если интеграл Лебега по его абсолютному значению конечен:

$$\|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .$$

Две измеримые функции эквивалентны, если они равны, за исключением множества нулевой меры. Множество всех классов эквивалентности интегрируемых функций обозначается $L^{1}(\mathbb {R} )$. Затем:

Определение . Преобразование Фурье интегрируемой по Лебегу функции. $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$ определяется по формуле (1) .

Интегральное уравнение (1) четко определено для всех $\xi \in \mathbb {R} ,$ из-за предположения $\|f\|_{1}<\infty$. (Можно показать, что функция ${\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C(\mathbb {R} )$ ограничена и равномерно непрерывна в частотной области и, более того, по лемме Римана–Лебега равна нулю на бесконечности.)

Однако класс интегрируемых по Лебегу функций не идеален с точки зрения преобразования Фурье, поскольку не существует простой характеристики изображения и, следовательно, простой характеристики обратного преобразования.

определение функций, интегрируемых

Хотя уравнение 1 определяет преобразование Фурье для (комплекснозначных) функций в $L^{1}(\mathbb {R} )$, легко видеть, что он не вполне определен для других классов интегрируемости, особенно $L^{2}(\mathbb {R} )$. Для функций в $L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )$и с учетом соглашений уравнения 1 преобразование Фурье является унитарным оператором относительно скалярного произведения Гильберта на $L^{2}(\mathbb {R} )$, ограниченный плотным подпространством интегрируемых функций. Следовательно, он допускает единственное непрерывное продолжение до унитарного оператора на $L^{2}(\mathbb {R} )$, также называемое преобразованием Фурье. Это расширение важно отчасти потому, что преобразование Фурье сохраняет пространство $L^{2}(\mathbb {R} )$ так что, в отличие от случая $L^{1}$, преобразование Фурье и обратное преобразование находятся в одном и том же основании, будучи преобразованиями одного и того же пространства функций в себя.

Важно отметить, что для функций в $L^{2}$, преобразование Фурье больше не определяется уравнением 1 (интерпретируемым как интеграл Лебега). Например, функция $f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}$ в $L^{2}$ но нет $L^{1}$, поэтому интеграл (1) расходится. В таких случаях преобразование Фурье можно получить явно, регуляризируя интеграл и затем переходя к пределу. На практике интеграл часто рассматривается как несобственный интеграл, а не как собственный интеграл Лебега, но иногда для сходимости необходимо использовать слабый предел или главное значение вместо (поточечных) пределов, неявных в несобственном интеграле. Титчмарш (1986) и Дим и МакКин (1985) предлагают по три строгих способа расширения преобразования Фурье до интегрируемых с квадратом функций с использованием этой процедуры.

Соглашения, выбранные в этой статье, относятся к гармоническому анализу и характеризуются как уникальные соглашения, такие, что преобразование Фурье является унитарным на L ² и гомоморфизм алгебры из L ¹ в Л ^∞ , без перенормировки меры Лебега.

Угловая частота ( ω )

Когда независимая переменная ( $x$) представляет время (часто обозначается $t$), переменная преобразования ( $\xi$) представляет частоту (часто обозначается $f$). Например, если время измеряется в секундах , то частота — в герцах . Преобразование Фурье также можно записать через угловую частоту : $\omega =2\pi \xi ,$ единицы измерения — радианы в секунду.

Замена $\xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}$ в уравнение 1 дает это соглашение, где функция ${\widehat {f}}$ перемаркирован ${\widehat {f_{1}}}:$

$${\begin{aligned}{\widehat {f_{3}}}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega \,x}\,dx={\widehat {f_{1}}}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{3}}}(\omega )\cdot e^{i\omega \,x}\,d\omega .\end{aligned}}$$

В отличие от определения уравнения 1 , преобразование Фурье больше не является унитарным преобразованием , и между формулами преобразования и его обратного преобразования меньше симметрии. Эти свойства восстанавливаются путем разделения $2\pi$ равномерно распределите коэффициент между преобразованием и обратным ему, что приводит к другому соглашению:

$${\begin{aligned}{\widehat {f_{2}}}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\widehat {f_{1}}}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{2}}}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}$$

Вариации всех трех соглашений могут быть созданы путем сопряжения комплексно-экспоненциального ядра как прямого, так и обратного преобразования. Знаки должны быть противоположными.

Краткое изложение популярных форм преобразования Фурье, одномерное

обычная частота ξ (Гц)	унитарный	${\begin{aligned}{\widehat {f_{1}}}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i2\pi \xi x}\,dx={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f_{2}}}(2\pi \xi )={\widehat {f_{3}}}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{1}}}(\xi )\,e^{i2\pi x\xi }\,d\xi \end{aligned}}$
угловая частота ω (рад/с)	унитарный	${\begin{aligned}{\widehat {f_{2}}}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f_{1}}}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f_{3}}}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{2}}}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}$
	неунитарный	${\begin{aligned}{\widehat {f_{3}}}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f_{1}}}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f_{2}}}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{3}}}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}$

Обобщение для n -мерных функций

обычная частота ξ (Гц)	унитарный	${\begin{aligned}{\widehat {f_{1}}}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f_{2}}}(2\pi \xi )={\widehat {f_{3}}}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f_{1}}}(\xi )e^{i2\pi \xi \cdot x}\,d\xi \end{aligned}}$
угловая частота ω (рад/с)	унитарный	${\begin{aligned}{\widehat {f_{2}}}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f_{1}}}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f_{3}}}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f_{2}}}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}$
	неунитарный	${\begin{aligned}{\widehat {f_{3}}}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\widehat {f_{1}}}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f_{2}}}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f_{3}}}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}$

Расширение определения

Для $1<p<2$, преобразование Фурье можно определить на $L^{p}(\mathbb {R} )$ по интерполяции Марцинкевича .

Преобразование Фурье может быть определено в областях, отличных от действительной линии. Преобразование Фурье в евклидовом пространстве и преобразование Фурье в локально абелевых группах обсуждаются далее в статье.

Преобразование Фурье также можно определить для умеренных распределений , двойственных пространству быстро убывающих функций ( функций Шварца ). Функция Шварца — это гладкая функция, убывающая на бесконечности вместе со всеми своими производными. Пространство функций Шварца обозначается через ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$, и его двойственный ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$— пространство умеренных распределений. Дифференцируя под интегралом и применяя лемму Римана-Лебега, легко увидеть, что преобразование Фурье функции Шварца (определяемой формулой (1 )) снова является функцией Шварца. Преобразование Фурье умеренного распределения $T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ определяется двойственностью:

$$\langle {\widehat {T}},\phi \rangle =\langle T,{\widehat {\phi }}\rangle ;\quad \forall \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).$$

Существует множество других характеристик преобразования Фурье. Например, используется теорема Стоуна-фон Неймана : преобразование Фурье является уникальным унитарным переплетателем симплектического и евклидова представлений Шрёдингера группы Гейзенберга .

Предыстория

История

Основные статьи: анализ Фурье § История и ряд Фурье § История

В 1822 году Фурье заявил (см. Джозеф Фурье § Аналитическая теория тепла ), что любую функцию, непрерывную или прерывистую, можно разложить в ряд синусов. Эта важная работа была исправлена ​​и расширена другими, чтобы обеспечить основу для различных форм преобразования Фурье, используемых с тех пор.

Рис.1 Когда функция $A\cdot e^{i2\pi \xi t}$изображается на комплексной плоскости, вектор, образованный его мнимой и действительной частями, вращается вокруг начала координат. Его реальная часть $y(t)$ представляет собой косинусоидальную волну.

Сложные синусоиды

В целом коэффициенты ${\widehat {f}}(\xi )$ — комплексные числа, имеющие две эквивалентные формы (см. формулу Эйлера ):

$${\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.$$

Продукт с $e^{i2\pi \xi x}$ ( Уравнение 2 ) имеет следующие формы:

$${\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.$$

Примечательно, насколько легко было упрощено произведение с использованием полярной формы и как легко была выведена прямоугольная форма с помощью формулы Эйлера.

Отрицательная частота

См. Также: Отрицательная частота § Упрощение преобразования Фурье.

Формула Эйлера вводит возможность отрицательного $\xi .$ И уравнение 1 определено $\forall \xi \in \mathbb {R} .$ Только некоторые комплексные значения $f(x)$ иметь преобразования ${\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0$ (См. Аналитический сигнал . Простой пример: $e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0).$) Но отрицательная частота необходима для характеристики всех остальных комплексных значений. $f(x),$ встречается в обработке сигналов , уравнениях в частных производных , радиолокации , нелинейной оптике , квантовой механике и других.

Для реальной стоимости $f(x),$ Уравнение 1 обладает свойством симметрии ${\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )$(см. § Сопряжение ниже). Эта избыточность позволяет уравнению 2 различать $f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)$ от $e^{i2\pi \xi _{0}x}.$ Но, конечно, он не может сказать нам действительный признак $\xi _{0},$ потому что $\cos(2\pi \xi _{0}x)$ и $\cos(2\pi (-\xi _{0})x)$ неразличимы только на прямой линии действительных чисел.

Фурье для

Преобразование Фурье периодической функции нельзя определить непосредственно с помощью интегральной формулы. Чтобы определить интеграл в уравнении 1, функция должна быть абсолютно интегрируемой . Вместо этого обычно используют ряд Фурье . Можно расширить определение, включив в него периодические функции, рассматривая их как умеренные распределения .

Это позволяет увидеть связь между рядом Фурье и преобразованием Фурье для периодических функций, имеющих сходящийся ряд Фурье . Если $f(x)$ — периодическая функция с периодом $P$, имеющий сходящийся ряд Фурье, то:

$${\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),$$

где $c_{n}$ – коэффициенты ряда Фурье $f$, и $\delta$– дельта - функция Дирака . Другими словами, преобразование Фурье представляет собой Дирака гребенчатую функцию , зубцы которой умножаются на коэффициенты ряда Фурье.

Фурье

Преобразование Фурье интегрируемой функции $f$ можно отбирать через регулярные промежутки времени произвольной длины ${\tfrac {1}{P}}.$ Эти выборки можно вывести из одного цикла периодической функции. $f_{P}$ который имеет коэффициенты ряда Фурье , пропорциональные этим выборкам по формуле суммирования Пуассона :

$$f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z}$$

Интегрируемость $f$обеспечивает сходимость периодического суммирования. Таким образом, образцы ${\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)$ можно определить с помощью анализа рядов Фурье:

$${\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.$$

Когда $f(x)$ имеет компактную поддержку , $f_{P}(x)$имеет конечное число членов на интервале интегрирования. Когда $f(x)$ не имеет компактной поддержки, числовая оценка $f_{P}(x)$ требует приближения, такого как сужение $f(x)$ или усечение количества терминов.

Пример

Следующие рисунки наглядно иллюстрируют, как преобразование Фурье определяет, присутствует ли частота в конкретной функции. Изображенная функция $f(t)=\cos(2\pi \ 3t)\ e^{-\pi t^{2}}$колеблется с частотой 3 Гц (если $t$ измеряет секунды) и быстро стремится к 0. (Второй фактор в этом уравнении — это огибающая , которая формирует непрерывную синусоиду в короткий импульс.). $f(t)$был специально выбран для того, чтобы иметь реальное преобразование Фурье, которое можно легко построить. Первое изображение — это его график. Чтобы вычислить ${\widehat {f}}(3)$ мы должны интегрировать продукт $f(t)e^{-i2\pi 3t}.$Следующие два изображения — это реальные и воображаемые части этого продукта. Действительная часть подынтегральной функции имеет неотрицательное среднее значение, поскольку чередующиеся знаки $f(t)$ и $\operatorname {Re} (e^{-i2\pi 3t})$ колеблются с одинаковой скоростью и той же фазой, тогда как $f(t)$ и $\operatorname {Im} (e^{-i2\pi 3t})$имеют одинаковую скорость, но ортогональную фазу. В результате при интегрировании действительной части подынтегральной функции вы получите относительно большое число (в данном случае ${\tfrac {1}{2}}$). Кроме того, когда вы пытаетесь измерить частоту, которой нет, как в случае, когда мы смотрим на ${\widehat {f}}(5),$как действительная, так и мнимая составляющая продукта быстро колеблются между положительными и отрицательными значениями. Следовательно, интеграл очень мал, а значение преобразования Фурье для этой частоты близко к нулю. Общая ситуация обычно сложнее, чем эта, но эвристически именно так преобразование Фурье измеряет, какая часть отдельной частоты присутствует в функции. $f(t).$

Оригинальная функция, показывающая колебание 3 Гц. Действительная и мнимая части подынтегрального выражения для преобразования Фурье с частотой 3 Гц

• 
  Действительная и мнимая части подынтегрального выражения для преобразования Фурье при частоте 5 Гц
• 
  Величина преобразования Фурье с пометкой 3 и 5 Гц.

Чтобы подтвердить предыдущий пункт, причина ответа на $\xi =-3$ Гц, потому что $\cos(2\pi 3t)$ и $\cos(2\pi (-3)t)$неразличимы. Преобразование $e^{i2\pi 3t}\cdot e^{-\pi t^{2}}$ будет иметь только один ответ, амплитуда которого является интегралом гладкой огибающей: $e^{-\pi t^{2}},$ тогда как $\operatorname {Re} (f(t)\cdot e^{-i2\pi 3t})$ (второй график выше) $e^{-\pi t^{2}}(1+\cos(2\pi 6t))/2.$

Фурье

Позволять $f(x)$ и $h(x)$ представляют собой интегрируемые функции , измеримые по Лебегу на прямой, удовлетворяющие:

$$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty .$$

Обозначим преобразования Фурье этих функций как ${\hat {f}}(\xi )$ и ${\hat {h}}(\xi )$ соответственно.

Основные свойства

Преобразование Фурье обладает следующими основными свойствами:

Линейность

$$a\ f(x)+b\ h(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ a\ {\widehat {f}}(\xi )+b\ {\widehat {h}}(\xi );\quad \ a,b\in \mathbb {C}$$

Сдвиг времени

$$f(x-x_{0})\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ e^{-i2\pi x_{0}\xi }\ {\widehat {f}}(\xi );\quad \ x_{0}\in \mathbb {R}$$

Сдвиг частоты

$$e^{i2\pi \xi _{0}x}f(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(\xi -\xi _{0});\quad \ \xi _{0}\in \mathbb {R}$$

Масштабирование времени

$$f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right);\quad \ a\neq 0$$

Дело $a=-1$ приводит к свойству обращения времени :

$$f(-x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(-\xi )$$

Симметрия

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на четные и нечетные части , получается четыре компонента, обозначенные ниже индексами RE, RO, IE и IO. Между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования существует взаимно однозначное соответствие:

$${\begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ f\quad &=\quad &f_{_{RE}}\quad &+\quad &f_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &f_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ f_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &{\widehat {f}}\quad &=\quad &{\widehat {f}}_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ {\widehat {f}}_{IO}} \quad &+\quad i\ &{\widehat {f}}_{IE}\quad &+\quad &{\widehat {f}}_{RO}\end{aligned}}$$

Отсюда вытекают различные зависимости, например :

• Преобразование действительной функции $(f_{_{RE}}+f_{_{RO}})$ это четная симметричная функция ${\hat {f}}_{RE}+i\ {\hat {f}}_{IO}.$ И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает вещественную временную область.
• Преобразование мнимой функции $(i\ f_{_{IE}}+i\ f_{_{IO}})$ нечетная симметричная функция ${\hat {f}}_{RO}+i\ {\hat {f}}_{IE},$ и обратное верно.
• Преобразование четно-симметричной функции $(f_{_{RE}}+i\ f_{_{IO}})$ это действительная функция ${\hat {f}}_{RE}+{\hat {f}}_{RO},$ и обратное верно.
• Преобразование нечетно-симметричной функции $(f_{_{RO}}+i\ f_{_{IE}})$ — мнимая функция $i\ {\hat {f}}_{IE}+i{\hat {f}}_{IO},$ и обратное верно.

Спряжение

$${\bigl (}f(x){\bigr )}^{*}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ \left({\widehat {f}}(-\xi )\right)^{*}$$

(Примечание: * обозначает комплексное сопряжение .)

В частности, если $f$ реально тогда , ${\widehat {f}}$ даже симметрична (она же эрмитова функция ):

$${\widehat {f}}(-\xi )={\bigl (}{\widehat {f}}(\xi ){\bigr )}^{*}.$$

И если $f$ является чисто воображаемым, то ${\widehat {f}}$ нечетно симметричен :

$${\widehat {f}}(-\xi )=-({\widehat {f}}(\xi ))^{*}.$$

Реальная и мнимая части времени

$$\operatorname {Re} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {f}}(\xi )+{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)$$

$$\operatorname {Im} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2i}}\left({\widehat {f}}(\xi )-{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)$$

Компонент нулевой частоты

Замена $\xi =0$ в определении получаем:

$${\widehat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx.$$

Интеграл $f$ в своей области известен как среднее значение или смещение постоянного тока функции.

Обратимость и периодичность

Дополнительная информация: теорема обращения Фурье и дробное преобразование Фурье.

При подходящих условиях на функции $f$, его можно восстановить с помощью преобразования Фурье ${\hat {f}}$. Действительно, обозначая оператор преобразования Фурье через ${\mathcal {F}}$, так ${\mathcal {F}}f:={\hat {f}}$, то для подходящих функций двукратное применение преобразования Фурье просто переворачивает функцию: $\left({\mathcal {F}}^{2}f\right)(x)=f(-x)$, что можно интерпретировать как «обратное время». Поскольку время реверса является двухпериодическим, применение этого дважды дает ${\mathcal {F}}^{4}(f)=f$, поэтому оператор преобразования Фурье является четырехпериодическим, и аналогично обратное преобразование Фурье можно получить, применив преобразование Фурье три раза: ${\mathcal {F}}^{3}\left({\hat {f}}\right)=f$. В частности, преобразование Фурье обратимо (при подходящих условиях).

Точнее, определение оператора четности ${\mathcal {P}}$ такой, что $({\mathcal {P}}f)(x)=f(-x)$, у нас есть:

$${\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {id} ,\\{\mathcal {F}}^{1}&={\mathcal {F}},\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{4}&=\mathrm {id} \end{aligned}}$$

Эти равенства операторов требуют тщательного определения пространства рассматриваемых функций, определения равенства функций (равенство в каждой точке? равенство почти всюду ?) и определения равенства операторов, то есть определения топологии в пространстве функций и пространстве операторов в вопрос. Они верны не для всех функций, но верны при различных условиях, которые и составляют содержание различных форм теоремы обращения Фурье .

Эта четырехкратная периодичность преобразования Фурье аналогична повороту плоскости на 90°, особенно потому, что двукратная итерация приводит к развороту, и на самом деле эту аналогию можно уточнить. Хотя преобразование Фурье можно просто интерпретировать как переключение временной и частотной областей, а обратное преобразование Фурье переключает их обратно, более геометрически его можно интерпретировать как поворот на 90° во временной и частотной области (рассматривая время как ось x и частота как ось y ), а преобразование Фурье можно обобщить до дробного преобразования Фурье , которое включает повороты на другие углы. Это можно далее обобщить на линейные канонические преобразования , которые можно визуализировать как действие специальной линейной группы SL ₂ ( R ) на плоскости время-частота с сохраненной симплектической формой, соответствующей принципу неопределенности , ниже. Этот подход особенно изучается при обработке сигналов , при частотно-временном анализе .

Единицы

См. Также: Спектральная плотность § Единицы измерения.

Частотная переменная должна иметь единицы измерения, обратные единицам области определения исходной функции (обычно называемые t или x ). Например, если t измеряется в секундах, ξ должно быть в циклах в секунду или герцах . Если масштаб времени измеряется в единицах 2 π другая греческая буква ω секунд, то вместо этого обычно используется для обозначения угловой частоты (где ω = 2π ξ ) в радианах в секунду. Если использовать x для единиц длины, то ξ должна иметь обратную длину, например, волновые числа . Другими словами, существуют две версии реальной линии: одна представляет собой диапазон t и измеряется в единицах , и измеряется в единицах t , а другая представляет собой диапазон ξ обратных единицам t . Эти две разные версии реальной линии нельзя приравнивать друг к другу. Следовательно, преобразование Фурье переходит из одного пространства функций в другое пространство функций: функции, имеющие другую область определения.

В общем, ξ всегда следует рассматривать как линейную форму в пространстве своей области определения, то есть вторая вещественная линия является пространством, двойственным к первой вещественной прямой. См. статью о линейной алгебре для более формального объяснения и более подробной информации. Эта точка зрения становится существенной при обобщениях преобразования Фурье на группы общей симметрии , включая случай рядов Фурье.

Не существует единого предпочтительного способа (часто говорят «нет канонического способа») сравнения двух версий реальной линии, которые участвуют в преобразовании Фурье — фиксация единиц измерения на одной линии не приводит к изменению масштаба единиц измерения на другая линия — причина множества конкурирующих соглашений по определению преобразования Фурье. Различные определения, возникающие в результате разного выбора единиц измерения, различаются разными константами.

В других соглашениях преобразование Фурье имеет i в показателе степени вместо − i , и наоборот для формулы обращения. Это соглашение распространено в современной физике. и является значением по умолчанию для Wolfram Alpha и не означает, что частота стала отрицательной, поскольку не существует канонического определения положительности частоты сложной волны. Это просто означает, что ${\hat {f}}(\xi )$ это амплитуда волны $e^{-i2\pi \xi x}$ вместо волны $e^{i2\pi \xi x}$(первый со знаком минус часто наблюдается во временной зависимости для синусоидальных плоских волновых решений уравнения электромагнитных волн или во временной зависимости для квантовых волновых функций ). Многие тождества, включающие преобразование Фурье, остаются в силе в этих соглашениях при условии, что все термины, которые явно включают i, заменяются на - i . В электротехнике буква j обычно используется для мнимой единицы вместо i, потому что i используется для обозначения тока.

При использовании безразмерных единиц постоянные коэффициенты могут даже не записываться в определении преобразования. Например, в теории вероятностей характеристическая функция Φ функции плотности вероятности f случайной величины X непрерывного типа определяется без отрицательного знака в экспоненте, а поскольку единицы x игнорируются, то нет 2 π и . :

$$\phi (\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx.$$

(В теории вероятностей и в математической статистике использование преобразования Фурье — Стилтьеса является предпочтительным, поскольку многие случайные величины не имеют непрерывного типа и не обладают функцией плотности, и приходится рассматривать не функции, а распределения , т. е. , меры, обладающие «атомами».)

С более высокой точки зрения групповых характеров , которая гораздо более абстрактна, все эти произвольные выборы исчезают, как будет объяснено в следующем разделе этой статьи, где рассматривается понятие преобразования Фурье функции на локально компактном абелевом элементе. группа .

Римана

Прямоугольная функция интегрируема по Лебегу .

Функция sinc , которая представляет собой преобразование Фурье прямоугольной функции, ограничена и непрерывна, но не интегрируема по Лебегу.

Преобразование Фурье может быть определено в некоторых случаях для неинтегрируемых функций, но преобразования Фурье интегрируемых функций обладают несколькими сильными свойствами.

Преобразование Фурье f̂ любой интегрируемой функции f равномерно непрерывно и

$$\left\|{\hat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}$$

По лемме Римана– Лебега

$${\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .$$

Однако, ${\hat {f}}$не обязательно должно быть интегрируемым. Например, преобразование Фурье прямоугольной функции , которая является интегрируемой, представляет собой функцию sinc , которая не является интегрируемой по Лебегу , поскольку ее несобственные интегралы ведут себя аналогично знакопеременному гармоническому ряду , сходясь к сумме, не будучи абсолютно сходящимся .

невозможно записать Обычно обратное преобразование в виде интеграла Лебега . Однако, когда и f , и ${\hat {f}}$ интегрируемы, то обратное равенство

$$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\xi }\,d\xi$$

выполняется почти для каждого x . В результате преобразование Фурье инъективно на L ¹ ( Р ) .

Парсеваля

Пусть f ( x ) и g ( x ) интегрируемы, и пусть f̂ ( ξ ) и ĝ ( ξ ) — их преобразования Фурье. Если f ( x ) и g ( x ) также интегрируемы с квадратом , то формула Парсеваля следующая:

$$\langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi ){\overline {{\hat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,$$

где черта означает комплексное сопряжение .

, Теорема Планшереля следующая из вышесказанного, утверждает, что

$$\|f\|_{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .$$

Теорема Планшереля позволяет расширить преобразование Фурье с помощью аргумента непрерывности до унитарного оператора на L ² ( Р ) . На Л ¹ ( р ) ∩ L ² ( R ) это расширение согласуется с исходным преобразованием Фурье, определенным на L ¹ ( R ) , тем самым расширяя область преобразования Фурье до L ¹ ( р ) + л ² ( R ) (и, следовательно, к L ^п ( р ) для 1 ≤ п ≤ 2 ). Теорема Планшереля имеет в науках интерпретацию, согласно которой преобразование Фурье сохраняет энергию исходной величины. Терминология этих формул не совсем стандартизирована. Теорема Парсеваля была доказана только для рядов Фурье и впервые доказана Ляпуновым. Но формула Парсеваля имеет смысл и для преобразования Фурье, и поэтому, хотя в контексте преобразования Фурье она была доказана Планшерелем, ее до сих пор часто называют формулой Парсеваля, соотношением Парсеваля или даже теоремой Парсеваля.

См. Двойственность Понтрягина для получения общей формулировки этой концепции в контексте локально компактных абелевых групп.

суммирования

Основная статья: формула суммирования Пуассона

Формула суммирования Пуассона (PSF) представляет собой уравнение, которое связывает ряда Фурье коэффициенты периодического суммирования функции со значениями непрерывного преобразования Фурье функции. Формула суммирования Пуассона гласит, что для достаточно регулярных функций f ,

$$\sum _{n}{\hat {f}}(n)=\sum _{n}f(n).$$

Он имеет множество полезных форм, которые получены из базовой формы путем применения свойств масштабирования и сдвига во времени преобразования Фурье. Формула находит применение в технике, физике и теории чисел . Двойственная стандартная формула суммирования Пуассона в частотной области также называется преобразованием Фурье дискретного времени .

Суммирование Пуассона обычно связано с физикой периодических сред, например, с теплопроводностью по кругу. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности на окружности называется тэта-функцией . Он используется в теории чисел для доказательства свойств преобразования тэта-функций, которые оказываются разновидностью модулярной формы , и в более общем плане связан с теорией автоморфных форм , где он появляется на одной стороне формулы следа Сельберга .

Дифференциация

Предположим, f ( x ) — абсолютно непрерывная дифференцируемая функция, и как f, так и ее производная f′ интегрируемы. Тогда преобразование Фурье производной имеет вид

$${\widehat {f'\,}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=i2\pi \xi {\hat {f}}(\xi ).$$

В более общем смысле преобразование Фурье n-й производной f ^{( н )} дан кем-то

$${\widehat {f^{(n)}}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\right\}=(i2\pi \xi )^{n}{\hat {f}}(\xi ).$$

Аналогично, ${\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\hat {f}}(\xi )\right\}=(i2\pi x)^{n}f(x)$, так ${\mathcal {F}}\left\{x^{n}f(x)\right\}=\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\hat {f}}(\xi ).$

Применяя преобразование Фурье и используя эти формулы, некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения можно преобразовать в алгебраические уравнения, решать которые гораздо проще. Эти формулы также приводят к практическому правилу: « f ( x ) является гладким тогда и только тогда, когда f̂ ( ξ ) быстро падает до 0 при | ξ | → ∞ ». Используя аналогичные правила для обратного преобразования Фурье, можно также сказать: « f ( x ) быстро падает до 0 при | x | → ∞ тогда и только тогда, когда f̂ ( ξ ) является гладким».

Теорема

Основная статья: Теорема о свертке

Преобразование Фурье выполняет преобразование между сверткой и умножением функций. Если f ( x ) и g ( x ) являются интегрируемыми функциями с преобразованиями Фурье f̂ ( ξ ) и ĝ ( ξ ) соответственно, то преобразование Фурье свертки задается произведением преобразований Фурье f̂ ( ξ ) и ĝ ( ξ ) (при других соглашениях для определения преобразования Фурье может фигурировать постоянный множитель).

Это означает, что если:

$$h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,$$

где * обозначает операцию свертки, тогда:

$${\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\,{\hat {g}}(\xi ).$$

В теории систем с линейным инвариантом во времени (LTI) принято интерпретировать g ( x ) как импульсную характеристику системы LTI с входом f ( x ) и выходом h ( x ) , поскольку замена единичным импульсом f ( x ) дает час ( Икс ) знак равно г ( Икс ) . В этом случае ĝ ( ξ ) представляет частотную характеристику системы.

И наоборот, если f ( x ) можно разложить как произведение двух суммируемых с квадратом функций p ( x ) и q ( x ) , то преобразование Фурье f ( x ) задается сверткой соответствующих преобразований Фурье p̂ ( ξ ) и q̂ ( ξ ) .

взаимной

Основные статьи: Взаимная корреляция и теорема Винера – Хинчина.

Аналогичным образом можно показать, что если ( x ) является взаимной корреляцией f g ( x ) и h ( x ) :

$$h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy$$

тогда преобразование Фурье h ( x ) будет:

$${\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\,{\hat {g}}(\xi ).$$

В частном случае автокорреляция функции f ( x ) равна:

$$h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy$$

для которого

$${\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}.$$

Собственные функции

См. Также: Ядро Мелера и полиномы Эрмита § Функции Эрмита как собственные функции преобразования Фурье.

Преобразование Фурье — это линейное преобразование, собственные функции которого подчиняются ${\mathcal {F}}[\psi ]=\lambda \psi ,$ с $\lambda \in \mathbb {C} .$

Набор собственных функций находится, если отметить, что однородное дифференциальное уравнение

$$\left[U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+U(x)\right]\psi (x)=0$$

приводит к собственным функциям $\psi (x)$ преобразования Фурье ${\mathcal {F}}$ до тех пор, пока форма уравнения остается неизменной относительно преобразования Фурье. Другими словами, каждое решение $\psi (x)$ и его преобразование Фурье ${\hat {\psi }}(\xi )$подчиняются тому же уравнению. Предполагая единственность решений, каждое решение $\psi (x)$следовательно, должна быть собственной функцией преобразования Фурье. Вид уравнения не изменится при преобразовании Фурье, если $U(x)$ можно разложить в степенной ряд, в котором для всех членов один и тот же множитель любого из $\pm 1,\pm i$ возникает из-за факторов $i^{n}$вводится правилами дифференцирования при преобразовании Фурье однородного дифференциального уравнения, поскольку этот множитель затем можно исключить. Самый простой из возможных $U(x)=x$ приводит к стандартному нормальному распределению .

В более общем смысле, набор собственных функций также можно найти, отметив, что правила дифференцирования подразумевают, что обыкновенное дифференциальное уравнение

$$\left[W\left({\frac {i}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+W(x)\right]\psi (x)=C\psi (x)$$

с $C$ постоянный и $W(x)$ будучи непостоянной четной функцией, она остается инвариантной по форме при применении преобразования Фурье ${\mathcal {F}}$к обеим сторонам уравнения. Простейший пример дает $W(x)=x^{2}$ что эквивалентно рассмотрению уравнения Шрёдингера для квантового гармонического осциллятора . Соответствующие решения обеспечивают важный выбор ортонормированного базиса для L ² ( R ) и задаются «физическими» функциями Эрмита . Эквивалентно можно использовать

$$\psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),$$

где He _n ( x ) — «вероятностные» полиномы Эрмита , определяемые как

$$\mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.$$

Согласно этому соглашению о преобразовании Фурье, мы имеем следующее:

$${\hat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi ).$$

Другими словами, функции Эрмита образуют полную ортонормированную систему собственных функций преобразования Фурье на L ² ( Р ) . Однако такой выбор собственных функций не является единственным. Из-за ${\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {id}$ существует только четыре различных собственных значения преобразования Фурье (корни четвертой степени из единицы ±1 и ± i ), и любая линейная комбинация собственных функций с одним и тем же собственным значением дает другую собственную функцию. Вследствие этого можно разложить L ² ( R ) как прямая сумма четырех пространств H ₀ , H ₁ , H ₂ и H ₃ , где преобразование Фурье действует на He _k просто умножением на i ^к .

Поскольку полный набор функций Эрмита ψ _n обеспечивает разрешение тождества, они диагонализуют оператор Фурье, т.е. преобразование Фурье может быть представлено такой суммой членов, взвешенных по указанным выше собственным значениям, и эти суммы можно суммировать явно:

$${\mathcal {F}}[f](\xi )=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(\xi )~.$$

Этот подход к определению преобразования Фурье был впервые предложен Норбертом Винером . Помимо других свойств, функции Эрмита экспоненциально быстро убывают как в частотной, так и во временной областях, и поэтому они используются для определения обобщения преобразования Фурье, а именно дробного преобразования Фурье, используемого в частотно-временном анализе. В физике это преобразование было введено Эдвардом Кондоном . Такое изменение базисных функций становится возможным, поскольку преобразование Фурье является унитарным преобразованием при использовании правильных соглашений . Следовательно, при соответствующих условиях можно ожидать, что это будет результатом самосопряженного генератора $N$ с помощью

$${\mathcal {F}}[\psi ]=e^{-itN}\psi .$$

Оператор $N$ — числовой оператор квантового гармонического осциллятора, записанный в виде

$$N\equiv {\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}-1\right).$$

Его можно интерпретировать как генератор дробных преобразований Фурье для произвольных значений t и обычного непрерывного преобразования Фурье. ${\mathcal {F}}$ за конкретную стоимость $t=\pi /2,$с ядром Мелера, реализующим соответствующее активное преобразование . Собственные функции $N$ являются функциями Эрмита $\psi _{n}(x)$ которые, следовательно, также являются собственными функциями ${\mathcal {F}}.$

При распространении преобразования Фурье на распределения гребенка Дирака также является собственной функцией преобразования Фурье.

Связь с группой Гейзенберга

— Группа Гейзенберга это некоторая группа унитарных операторов в гильбертовом пространстве L ² ( R ) комплекснозначных функций f , интегрируемых с квадратом на вещественной прямой, порожденных сдвигами ( T _y f )( x ) = f ( x + y ) и умножением на e ^{я 2π ξx} , ( M _ξ ж )( Икс ) знак равно е ^{я 2π ξx} ж ( Икс ) . Эти операторы не коммутируют, так как их (групповой) коммутатор

$$\left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{i2\pi \xi y}f(x)$$

что представляет собой умножение на константу (независимую от x ) e ^{я 2π ξy} ∈ U (1) ( круговая группа комплексных чисел единичного модуля). Как абстрактная группа, группа Гейзенберга представляет собой трехмерную группу Ли троек ( x , ξ , z ) ∈ R ² × U (1) с групповым законом

$$\left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{i2\pi \left(x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{2}+x_{1}\xi _{2}\right)}\right).$$

Обозначим группу Гейзенберга через H ₁ . Вышеописанная процедура описывает не только структуру группы, но и стандартное унитарное представление H → ₁ в гильбертовом пространстве, которое мы обозначим ρ : H ₁ ( B через L ² ( Р )) . Определим линейный автоморфизм R ² к

$$J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}$$

так что Дж ² = - Я . Этот J можно расширить до единственного автоморфизма H ₁ :

$$j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-i2\pi \xi x}\right).$$

Согласно теореме Стоуна–фон Неймана унитарные представления ρ и ρ ∘ j унитарно эквивалентны, поэтому существует единственный переплетатель W ∈ U ( L ² ( R )) такой, что

$$\rho \circ j=W\rho W^{*}.$$

Этот оператор W является преобразованием Фурье.

Многие из стандартных свойств преобразования Фурье являются непосредственными следствиями этой более общей схемы. Например, квадрат преобразования Фурье W ² , является переплетителем, связанным с J ² = − I , и поэтому мы имеем ( W ² f )( x ) = f (− x ) является отражением исходной функции f .

Сложный домен

Интеграл для преобразования Фурье

$${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \xi t}f(t)\,dt$$

можно изучать для комплексных значений его аргумента ξ . В зависимости от свойств f это может вообще не сходиться с действительной осью или может сходиться к комплексной аналитической функции для всех значений ξ = σ + iτ или чего-то промежуточного.

Теорема Пэли-Винера утверждает, что f является гладкой (т. е. n -раз дифференцируемой для всех натуральных чисел n ) и имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда f̂ ( σ + iτ ) — голоморфная функция , для которой существует константа a > 0, такая что для любого целого числа n ≥ 0 ,

$$\left\vert \xi ^{n}{\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq Ce^{a\vert \tau \vert }$$

для некоторой постоянной C . (В этом случае f поддерживается на [− a , a ] .) Это можно выразить, сказав, что f̂ — целая функция , которая быстро убывает по σ (при фиксированном τ ) и экспоненциально растет по τ (равномерно по σ ).

(Если f не гладкое, а только L ² , утверждение остается верным при условии n = 0 . ) Пространство таких функций комплексной переменной называется пространством Пэли — Винера. Эта теорема была обобщена на полупростые группы Ли .

Если f поддерживается на полупрямой t ≥ 0 , то f называется «причинным», потому что функция импульсной характеристики физически реализуемого фильтра должна обладать этим свойством, поскольку никакое следствие не может предшествовать его причине. Пейли и Винер показали, что тогда f̂ продолжается до голоморфной функции в комплексной нижней полуплоскости τ < 0 , которая стремится к нулю при стремлении τ к бесконечности. Обратное неверно, и неизвестно, как охарактеризовать преобразование Фурье причинной функции.

Преобразование Лапласа

Смотрите также: преобразование Лапласа § преобразование Фурье

Преобразование Фурье f̂ ( ξ ) связано с преобразованием Лапласа F ( s ) , которое также используется для решения дифференциальных уравнений и анализа фильтров .

Может случиться так, что функция f , для которой интеграл Фурье вообще не сходится на вещественной оси, тем не менее имеет комплексное преобразование Фурье, определенное в некоторой области комплексной плоскости .

Например, если f ( t ) имеет экспоненциальный рост, т. е.

$$\vert f(t)\vert <Ce^{a\vert t\vert }$$

для некоторых констант C , a ≥ 0 , то

$${\hat {f}}(i\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi \tau t}f(t)\,dt,$$

сходящийся для всех 2π τ < − a , является двусторонним преобразованием Лапласа функции f .

Более обычная версия («односторонняя») преобразования Лапласа:

$$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.$$

Если f также является причинным и аналитическим, то: ${\hat {f}}(i\tau )=F(-2\pi \tau ).$ Таким образом, распространение преобразования Фурье на комплексную область означает, что оно включает преобразование Лапласа как частный случай в случае причинных функций, но с заменой переменной s = i 2π ξ .

С другой, возможно, более классической точки зрения, преобразование Лапласа по своей форме включает в себя дополнительный экспоненциальный регулирующий член, который позволяет ему сходиться за пределами воображаемой линии, где определено преобразование Фурье. По существу, оно может сходиться не более чем для экспоненциально расходящихся рядов и интегралов, тогда как исходное разложение Фурье не может, что позволяет анализировать системы с расходящимися или критическими элементами. Двумя конкретными примерами линейной обработки сигналов являются построение сетей всепропускающих фильтров из критических гребенчатых и смягчающих фильтров посредством точного подавления полюса-ноля на единичной окружности. Такие конструкции распространены при обработке звука, где требуется сильно нелинейная фазовая характеристика, например, в реверберации.

Более того, когда для обработки сигналов требуются расширенные импульсные характеристики, самый простой способ их создания — это иметь одну схему, которая создает расходящийся временной отклик, а затем компенсировать его расхождение посредством задержанного противоположного и компенсаторного отклика. Здесь только промежуточная схема задержки допускает классическое описание Фурье, что имеет решающее значение. Обе боковые схемы неустойчивы и не допускают сходящегося разложения Фурье. Однако они допускают описание области Лапласа с идентичными полуплоскостями сходимости в комплексной плоскости (или, в дискретном случае, в Z-плоскости), при этом их эффекты компенсируются.

В современной математике преобразование Лапласа традиционно относят к методам Фурье. Оба они подчинены гораздо более общей и более абстрактной идее гармонического анализа .

Инверсия

Все еще с $\xi =\sigma +i\tau$, если ${\widehat {f}}$ является комплексно-аналитическим при a ⩽ τ ⩽ b , то

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ia)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma =\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ib)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma$$

по интегральной теореме Коши . Следовательно, в формуле обращения Фурье можно использовать интегрирование по разным линиям, параллельным действительной оси.

Теорема: Если f ( t ) = 0 для t < 0 и | ж ( т ) | < Се ^{а | т |} для некоторых констант C , a > 0 , то

$$f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +i\tau )e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma ,$$

для любого τ < − а / 2п .

Из этой теоремы следует формула обращения Меллина для преобразования Лапласа:

$$f(t)={\frac {1}{i2\pi }}\int _{b-i\infty }^{b+i\infty }F(s)e^{st}\,ds$$

для любого b > a , где F ( s ) — преобразование Лапласа функции f ( t ) .

Гипотезы можно ослабить, как в результатах Карлесона и Ханта, до f ( t ) e ^{− в} быть Л ¹ , при условии, что f имеет ограниченную вариацию в замкнутой окрестности точки t (см. теорему Дирихле–Дини ), значение f в точке t принимается как среднее арифметическое левого и правого пределов, и при условии, что интегралы берутся в смысле главных ценностей Коши.

л ² также доступны версии этих формул обращения.

Фурье в

Преобразование Фурье может быть определено в любом произвольном количестве измерений n . Как и в одномерном случае, здесь существует множество соглашений. Для интегрируемой функции f ( x ) в этой статье используется определение:

$${\hat {f}}({\boldsymbol {\xi }})={\mathcal {F}}(f)({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i2\pi {\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x}$$

где x и ξ — n -мерные векторы , а x · ξ — скалярное произведение векторов. Альтернативно, ξ можно рассматривать как принадлежащий двойственному векторному пространству $\mathbb {R} ^{n\star }$ в этом случае скалярное произведение становится сокращением x , и и ξ , обычно записываемым как ⟨ x , ξ ⟩ .

Все перечисленные выше основные свойства справедливы для n -мерного преобразования Фурье, как и теорема Планшереля и Парсеваля. Когда функция интегрируема, преобразование Фурье по-прежнему равномерно непрерывно и лемма Римана – Лебега выполняется.

Принцип неопределенности

Дополнительная информация: Предел Габора.

Вообще говоря, чем более концентрировано f ( x ) , тем более разбросанным его преобразование Фурье f̂ ( ξ ) должно быть . В частности, свойство масштабирования преобразования Фурье можно рассматривать следующим образом: если мы сжимаем функцию в x , ее преобразование Фурье растягивается в ξ . Невозможно произвольно сосредоточить одновременно функцию и ее преобразование Фурье.

Компромисс между сжатием функции и ее преобразованием Фурье можно формализовать в форме принципа неопределенности, рассматривая функцию и ее преобразование Фурье как сопряженные переменные относительно симплектической формы в частотно-временной области : из С точки зрения линейного канонического преобразования преобразование Фурье представляет собой поворот на 90° в частотно-временной области и сохраняет симплектическую форму .

Предположим, f ( x ) — интегрируемая и интегрируемая с квадратом функция. Без ограничения общности предположим, что f ( x ) нормализовано:

$$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=1.$$

следует Из теоремы Планшереля , что f̂ ( ξ ) также нормирована.

Разброс вокруг x = 0 можно измерить по дисперсии около нуля. определяется

$$D_{0}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx.$$

С точки зрения вероятности, это второй момент | ж ( Икс ) | ² около нуля.

Принцип неопределенности гласит, что если f ( x ) абсолютно непрерывна и функции x · f ( x ) и f ′ ( x ) интегрируемы с квадратом, то

$$D_{0}(f)D_{0}({\hat {f}})\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}.$$

Равенство достигается только в случае

$${\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}\\\therefore {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\xi ^{2}}\end{aligned}}$$

где σ > 0 произвольно и C ₁ = ⁴ √ 2 / √ σ, так что f есть L ² -нормализованный. Другими словами, где f — (нормированная) функция Гаусса с дисперсией σ ² /2 π с центром в нуле, а его преобразование Фурье является функцией Гаусса с дисперсией σ ⁻² /2 р .

Фактически, это неравенство означает, что:

$$\left(\int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }(\xi -\xi _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}$$

для любого Икс ₀ , ξ ₀ ∈ R .

В квантовой механике импульса волновые и положения функции представляют собой пары преобразований Фурье с точностью до коэффициента постоянной Планка . При правильном учете этой константы приведенное выше неравенство становится формулировкой принципа неопределенности Гейзенберга .

Более сильным принципом неопределенности является принцип неопределенности Хиршмана , который выражается как:

$$H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\hat {f}}\right|^{2}\right)\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)$$

где H ( p ) — дифференциальная энтропия функции плотности вероятности p ( x ) :

$$H(p)=-\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\log {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx$$

где логарифмы могут находиться в любом последовательном основании. Равенство достигается для гауссиана, как и в предыдущем случае.

Синусные и косинусные преобразования

Основная статья: Синусные и косинусные преобразования

В исходной формулировке преобразования Фурье использовались не комплексные числа, а скорее синусы и косинусы. Статистики и другие специалисты до сих пор используют эту форму. Абсолютно интегрируемая функция f , для которой выполняется обращение Фурье, может быть расширена в терминах истинных частот (избегая отрицательных частот, которые иногда считаются трудно интерпретируемыми физически). ) λ по

$$f(t)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}a(\lambda )\cos(2\pi \lambda t)+b(\lambda )\sin(2\pi \lambda t){\bigr )}\,d\lambda .$$

Это называется разложением в тригонометрический интеграл или разложением в интеграл Фурье. Коэффициентные функции a и b можно найти с помощью вариантов косинусного преобразования Фурье и синусного преобразования Фурье (нормализации опять же не стандартизированы):

$$a(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \lambda t)\,dt$$

и

$$b(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \lambda t)\,dt.$$

В более старой литературе упоминаются две функции преобразования: косинусное преобразование Фурье a и синусное преобразование Фурье b .

Функцию f можно восстановить из синусоидального и косинусного преобразования, используя

$$f(t)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cos {\bigl (}2\pi \lambda (\tau -t){\bigr )}\,d\tau \,d\lambda .$$

вместе с тригонометрическими тождествами. Это называется интегральной формулой Фурье.

Сферические гармоники

Пусть множество однородных гармонических полиномов степени k на R ^н обозначим через A _k . Множество Ak _{состоит} из твердых сферических гармоник степени k . Твердые сферические гармоники играют ту же роль в более высоких измерениях, что и полиномы Эрмита в первом измерении. В частности, если f ( x ) = e ^{−π| х | 2} P ( x ) для некоторого P ( x ) в A _k , то f̂ ( ξ ) = i ^{- к} ж ( ξ ) . Пусть множество H _k является замыканием в L ² ( Р ^н ) линейных комбинаций функций вида f (| x |) P ( x ) , где P ( x ) находится в A _k . Пространство Л ² ( Р ^н ) тогда является прямой суммой пространств Hk _, и преобразование Фурье отображает каждое пространство в _Hk себя и позволяет охарактеризовать действие преобразования Фурье на каждое Hk _{пространство} .

Пусть f ( x ) = f ₀ (| x |) P ( x ) (с P ( x ) в A _k ), тогда

$${\hat {f}}(\xi )=F_{0}(|\xi |)P(\xi )$$

где

$$F_{0}(r)=2\pi i^{-k}r^{-{\frac {n+2k-2}{2}}}\int _{0}^{\infty }f_{0}(s)J_{\frac {n+2k-2}{2}}(2\pi rs)s^{\frac {n+2k}{2}}\,ds.$$

Здесь J _{( n + 2 k − 2)/2} обозначает функцию Бесселя первого рода с порядком п + 2 k - 2 / 2 . Когда k = 0, это дает полезную формулу преобразования Фурье радиальной функции. По сути, это преобразование Ханкеля . Более того, существует простая рекурсия, связывающая случаи n + 2 и n позволяющий вычислить, например, трехмерное преобразование Фурье радиальной функции по одномерной.

Проблемы с ограничениями

В более высоких измерениях становится интересным изучить проблемы ограничения преобразования Фурье. Преобразование Фурье интегрируемой функции непрерывно и определено ограничение этой функции на любое множество. Но для функции, интегрируемой с квадратом, преобразование Фурье может быть общим классом функций, интегрируемых с квадратом. Таким образом, ограничение преобразования Фурье L ² ( Р ^н ) функция не может быть определена на множествах меры 0. Это все еще активная область исследования для понимания проблем ограничения в L ^п для 1 < р < 2 . В некоторых случаях возможно определить ограничение преобразования Фурье на набор S при условии, что S имеет ненулевую кривизну. Случай, когда S — единичная сфера в R ^н представляет особый интерес. В этом случае ограничительная теорема Томаса– Стейна утверждает, что ограничение преобразования Фурье на единичную сферу в R ^н является ограниченным оператором в L ^п при условии 1 ≤ p ≤ 2 н + 2 / н + 3 .

Одно заметное различие между преобразованием Фурье в одномерном измерении и в более высоких измерениях касается оператора частичной суммы. Рассмотрим возрастающий набор измеримых множеств E _R с индексом R ∈ (0,∞) : таких как шары радиуса R с центром в начале координат или кубы со стороной 2 R . Для данной интегрируемой функции f рассмотрим функцию f _R , определяемую формулой:

$$f_{R}(x)=\int _{E_{R}}{\hat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\cdot \xi }\,d\xi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.$$

Предположим дополнительно, что f ∈ L ^п ( Р ^н ) . Для n = 1 и 1 < p < ∞ , если взять E _R = (− R , R ) , то f _R сходится к f в L ^п поскольку R стремится к бесконечности, в силу ограниченности преобразования Гильберта . Наивно можно надеяться, что то же самое справедливо и для n > 1 . Если в качестве E _R взять куб с длиной стороны R , то сходимость сохраняется. Другим естественным кандидатом является евклидов шар E _R = { ξ : | ξ | < Р } . Чтобы этот оператор частичной суммы сходился, необходимо, чтобы множитель единичного шара был ограничен в L ^п ( Р ^н ) . Для n ≥ 2 знаменитая теорема Чарльза Феффермана гласит , что множитель единичного шара никогда не ограничен, если только p = 2 . Фактически, когда p ≠ 2 , это показывает, что не только f _R может не сходиться к f в L ^п , но для некоторых функций f ∈ L ^п ( Р ^н ) , f _R даже не является элементом L ^п .

Преобразование Фурье в функциональных пространствах

На Л ^п пробелы

На Л ¹

Определение преобразования Фурье по интегральной формуле

$${\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx$$

справедливо для интегрируемых по Лебегу функций f ; то есть f ∈ L ¹ ( Р ^н ) .

Преобразование Фурье F : L ¹ ( Р ^н ) → Л ^∞ ( Р ^н ) — ограниченный оператор . Это следует из наблюдения, что

$$\left\vert {\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert f(x)\vert \,dx,$$

что показывает, что его операторная норма ограничена единицей. Действительно, она равна 1, что видно, например, из преобразования функции rect . Образ Л. ¹ является подмножеством пространства C ₀ ( R ^н ) непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности ( лемма Римана–Лебега ), хотя это и не все пространство. Действительно, простой характеристики образа не существует.

На Л ²

Поскольку гладкие функции с компактным носителем интегрируемы и плотны в L ² ( Р ^н ) позволяет теорема Планшереля распространить определение преобразования Фурье на общие функции из L ² ( Р ^н ) по аргументам непрерывности. Преобразование Фурье в L ² ( Р ^н ) больше не задается обычным интегралом Лебега, хотя его можно вычислить с помощью несобственного интеграла , здесь это означает, что для L ² функция f ,

$${\hat {f}}(\xi )=\lim _{R\to \infty }\int _{|x|\leq R}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx$$

где предел берется в L ² смысл. (В более общем смысле можно взять последовательность функций, находящихся на пересечении L ¹ и я ² и это сходится к f в L ² -norm и определим преобразование Фурье функции f как L ² -предел преобразований Фурье этих функций. )

Многие свойства преобразования Фурье в L ¹ перенести на Л ² , с помощью подходящего ограничивающего аргумента.

Кроме того, F : L ² ( Р ^н ) → Л ² ( Р ^н ) — унитарный оператор . Чтобы оператор был унитарным, достаточно показать, что он биективен и сохраняет скалярное произведение, поэтому в этом случае это следует из теоремы обращения Фурье в сочетании с тем фактом, что для любого f , g ∈ L ² ( Р ^н ) у нас есть

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\mathcal {F}}g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}f(x)g(x)\,dx.$$

В частности, образ Л. ² ( Р ^н ) сам находится под преобразованием Фурье.

На другом Л ^п

Определение преобразования Фурье можно распространить на функции из L ^п ( Р ^н ) для 1 ≤ p ≤ 2 путем разложения таких функций на «толстый хвост» в L ² плюс толстая часть тела в L ¹ . В каждом из этих пространств преобразование Фурье функции из L ^п ( Р ^н ) находится в L ^д ( Р ^н ) , где q = p / p − 1 — сопряженное по Гельдеру число p ( по неравенству Хаусдорфа–Юнга ). Однако, за исключением p = 2 , изображение нелегко охарактеризовать. Дальнейшие расширения становятся более техническими. Преобразование Фурье функций из L ^п для диапазона 2 < p < ∞ требует изучения распределений. Фактически можно показать, что существуют функции из L ^п с p > 2, так что преобразование Фурье не определяется как функция.

Умеренные дистрибутивы

Основная статья: Распределение (математика) § Умеренные распределения и преобразование Фурье

Можно рассмотреть возможность расширения области преобразования Фурье с L ¹ + Л ² рассматривая обобщенные функции или распределения. Распределение на R ^н — непрерывный линейный функционал в пространстве C _c ( R ^н ) компактно поддерживаемых гладких функций, оснащенных подходящей топологией. Тогда стратегия состоит в том, чтобы рассмотреть действие преобразования Фурье на C _c ( R ^н ) и перейдем к распределениям по двойственности. Препятствием для этого является то, что преобразование Фурье не отображает C _c ( R ^н ) до C _c ( R ^н ) . Фактически преобразование Фурье элемента из C _c ( R ^н ) не может исчезнуть на открытом множестве; см. приведенное выше обсуждение принципа неопределенности. Правое пространство здесь — это немного большее пространство функций Шварца . Преобразование Фурье является автоморфизмом в пространстве Шварца как топологическом векторном пространстве и, таким образом, индуцирует автоморфизм в его двойственном пространстве, пространстве умеренных распределений. Умеренные распределения включают в себя все упомянутые выше интегрируемые функции, а также «хорошие» функции полиномиального роста и распределения с компактным носителем.

Для определения преобразования Фурье умеренного распределения пусть f и g — интегрируемые функции, а f̂ и ĝ — их преобразования Фурье соответственно. Тогда преобразование Фурье подчиняется следующей формуле умножения:

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(x)g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\hat {g}}(x)\,dx.$$

Каждая интегрируемая функция f определяет (индуцирует) распределение T _f соотношением

$$T_{f}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx$$

для всех функций Шварца φ . Поэтому имеет смысл определить преобразование Фурье T̂ _f для T _f следующим образом:

$${\hat {T}}_{f}(\varphi )=T_{f}\left({\hat {\varphi }}\right)$$

для всех функций Шварца φ . Распространение этого на все умеренные распределения T дает общее определение преобразования Фурье.

Распределения можно дифференцировать, и вышеупомянутая совместимость преобразования Фурье с дифференцированием и сверткой остается верной для умеренных распределений.

Обобщения

-

Преобразование Фурье конечной борелевской меры µ на ​​R ^н дан кем-то:

$${\hat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i2\pi x\cdot \xi }\,d\mu .$$

Это преобразование продолжает обладать многими свойствами преобразования Фурье интегрируемых функций. Одно заметное отличие состоит в том, что лемма Римана–Лебега не работает для мер. В случае, когда dμ = f ( x ) dx , приведенная выше формула сводится к обычному определению преобразования Фурье f . В случае, когда µ является распределением вероятностей, связанным со случайной величиной X , преобразование Фурье – Стилтьеса тесно связано с характеристической функцией , но типичные соглашения в теории вероятностей принимают e ^iξx вместо е ^{− я 2π ξx} . В случае, когда распределение имеет функцию плотности вероятности, это определение сводится к преобразованию Фурье, примененному к функции плотности вероятности, опять же с другим выбором констант.

Преобразование Фурье можно использовать для характеристики мер. Теорема Бохнера характеризует, какие функции могут возникнуть как преобразование Фурье – Стилтьеса положительной меры на окружности.

Более того, дельта-функция Дирака хоть и не является функцией, но является конечной борелевской мерой. Его преобразование Фурье является постоянной функцией (конкретное значение которой зависит от формы используемого преобразования Фурье).

компактные

Основная статья: Двойственность Понтрягина

Преобразование Фурье можно обобщить на любую локально компактную абелеву группу. Локально компактная абелева группа — это абелева группа , которая в то же время является локально компактным топологическим пространством Хаусдорфа, так что групповая операция непрерывна. Если G — локально компактная абелева группа, она имеет трансляционно-инвариантную меру µ , называемую мерой Хаара . Для локально компактной абелевой группы G множество неприводимых, т. е. одномерных, унитарных представлений называются ее характерами . Со своей естественной групповой структурой и топологией равномерной сходимости на компактах (т. е. топологией, индуцированной компактно-открытой топологией в пространстве всех непрерывных функций из $G$к группе окружностей ), множество характеров Ĝ само является локально компактной абелевой группой, называемой Понтрягину двойственной к G группой . Для функции f из L ¹ ( G ) его преобразование Фурье определяется формулой

$${\hat {f}}(\xi )=\int _{G}\xi (x)f(x)\,d\mu \quad {\text{for any }}\xi \in {\hat {G}}.$$

В этом случае справедлива лемма Римана–Лебега; f̂ ( ξ ) — функция, исчезающая на бесконечности на Ĝ .

Преобразование Фурье для T = R/Z является примером; здесь T — локально компактная абелева группа, а меру Хаара µ на ​​T можно рассматривать как меру Лебега на [0,1). Рассмотрим представление T на комплексной плоскости C , которое представляет собой одномерное комплексное векторное пространство. Существует группа представлений (которые неприводимы, поскольку C 1-мерен) $\{e_{k}:T\rightarrow GL_{1}(C)=C^{*}\mid k\in Z\}$ где $e_{k}(x)=e^{i2\pi kx}$ для $x\in T$.

Характер такого представления, то есть след $e_{k}(x)$ для каждого $x\in T$ и $k\in Z$, является $e^{i2\pi kx}$сам. В случае представления конечной группы таблица характеров группы G представляет собой строки векторов, каждая из которых представляет собой характер одного неприводимого представления группы G , и эти векторы образуют ортонормированный базис пространства функций класса, которые отображаются из От G до C по лемме Шура. Теперь группа T уже не конечна, но все еще компактна и сохраняет ортонормированность таблицы характеров. Каждая строка таблицы представляет собой функцию $e_{k}(x)$ из $x\in T,$ и внутренний продукт между двумя функциями класса (все функции являются функциями класса, поскольку T абелева) $f,g\in L^{2}(T,d\mu )$ определяется как ${\textstyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y){\overline {g}}(y)d\mu (y)}$ с нормирующим коэффициентом $|T|=1$. Последовательность $\{e_{k}\mid k\in Z\}$ является ортонормированным базисом пространства функций класса $L^{2}(T,d\mu )$.

Для любого представления V конечной G группы $\chi _{v}$ может быть выражено как интервал ${\textstyle \sum _{i}\left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle \chi _{v_{i}}}$ ( $V_{i}$ являются неповторяющимися группами G ), такие, что ${\textstyle \left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{v}(g){\overline {\chi }}_{v_{i}}(g)}$. Аналогично для $G=T$ и $f\in L^{2}(T,d\mu )$, ${\textstyle f(x)=\sum _{k\in Z}{\hat {f}}(k)e_{k}}$. Двойник Понтрягина ${\hat {T}}$ является $\{e_{k}\}(k\in Z)$ и для $f\in L^{2}(T,d\mu )$, ${\textstyle {\hat {f}}(k)={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y)e^{-i2\pi ky}dy}$ является его преобразованием Фурье для $e_{k}\in {\hat {T}}$.

Преобразование Гельфанда

Основная статья: Представительство Гельфанда

Преобразование Фурье также является частным случаем преобразования Гельфанда . В этом конкретном контексте оно тесно связано с картой двойственности Понтрягина, определенной выше.

Дана абелева локально компактная хаусдорфова топологическая группа G , как и раньше, мы рассматриваем пространство L ¹ ( G ) , определенный с помощью меры Хаара. При свертке как умножении L ¹ ( G ) — абелева банахова алгебра . Он также имеет инволюцию *, заданную формулой

$$f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}}.$$

Дополнение по возможно наибольшей C * -норме дает ее обертывающую * -алгебру , называемую групповой C * -алгеброй C *( G ) группы G. C (любая C * -норма на L ¹ ( G ) ограничен L ¹ норма, следовательно, их супремум существует.)

Для любой абелевой С * -алгебры А преобразование Гельфанда дает изоморфизм между А и С0 _{— мультипликативные линейные функционалы, т.е.} ( А ^) , где А ^ одномерные представления на А со слабой топологией. Карта просто дана

$$a\mapsto {\bigl (}\varphi \mapsto \varphi (a){\bigr )}$$

Оказывается, что мультипликативные линейные функционалы C *( G ) после подходящей идентификации являются в точности характерами G , а преобразование Гельфанда при ограничении плотным подмножеством L ¹ ( G ) — преобразование Фурье–Понтрягина.

неабелевы

Преобразование Фурье также можно определить для функций неабелевой группы, при условии, что группа компактна . Если исключить предположение о том, что основная группа абелева, неприводимые унитарные представления не всегда должны быть одномерными. Это означает, что преобразование Фурье в неабелевой группе принимает значения как операторы гильбертова пространства. Преобразование Фурье компактных групп является основным инструментом теории представлений. и некоммутативный гармонический анализ .

Пусть G — компактная Хаусдорфа топологическая группа . Обозначим через Σ совокупность всех классов изоморфизма конечномерных неприводимых унитарных представлений вместе с определенным выбором представления U ^{( п )} на гильбертовом пространстве H _σ конечной размерности d _σ для каждого σ ∈ Σ . Если µ — конечная борелевская мера на G , то преобразование Фурье–Стилтьеса µ — это оператор на H _σ , определяемый формулой

$$\left\langle {\hat {\mu }}\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}\left\langle {\overline {U}}_{g}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\mu (g)$$

где ты ^{( п )} — комплексно-сопряженное представление U ^{( п )} действующий на H _σ . Если µ относительно абсолютно непрерывна левоинвариантной вероятностной меры λ на G , представленной в виде

$$d\mu =f\,d\lambda$$

для некоторой f ∈ L ¹ ( λ ) можно отождествить преобразование Фурье функции f с преобразованием Фурье – Стилтьеса функции µ .

Отображение

$$\mu \mapsto {\hat {\mu }}$$

определяет изоморфизм между банаховым пространством M ( G ) конечных борелевских мер (см. пространство rca ) и замкнутым подпространством банахова пространства C _∞ (Σ) , состоящим из всех последовательностей E = ( E _σ ) , индексированных Σ из (ограниченных) линейные операторы E _σ : H _σ → H _σ, для которых норма

$$\|E\|=\sup _{\sigma \in \Sigma }\left\|E_{\sigma }\right\|$$

конечно. « Теорема о свертке что, кроме того, этот изоморфизм банаховых пространств на самом деле является изометрическим изоморфизмом C*-алгебр в подпространство C∞ _{» утверждает ,} (Σ) . Умножение на M ( G ) задается сверткой мер и инволюцией *, определенной формулой

$$f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}},$$

и C _∞ (Σ) имеет естественную структуру C * -алгебры как операторы гильбертова пространства.

Верна теорема Петера -Вейля , и отсюда следует версия формулы обращения Фурье ( теорема Планшереля ): если f ∈ L ² ( G ) , тогда

$$f(g)=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\operatorname {tr} \left({\hat {f}}(\sigma )U_{g}^{(\sigma )}\right)$$

где суммирование понимается как сходящееся в L ² смысл.

Обобщение преобразования Фурье на некоммутативную ситуацию также частично способствовало развитию некоммутативной геометрии . В этом контексте категориальным обобщением преобразования Фурье на некоммутативные группы является двойственность Таннаки–Крейна , которая заменяет группу характеров категорией представлений. Однако при этом теряется связь с гармоническими функциями.

Альтернативы

С точки зрения обработки сигналов , функция (времени) — это представление сигнала с идеальным временным разрешением , но без информации о частоте, в то время как преобразование Фурье имеет идеальное разрешение по частоте , но без информации о времени: величина преобразования Фурье в точке это то, сколько частотного содержания имеется, но местоположение задается только фазой (аргумент преобразования Фурье в точке), а стоячие волны не локализованы во времени - синусоидальная волна продолжается до бесконечности, не затухая. Это ограничивает полезность преобразования Фурье для анализа сигналов, локализованных во времени, особенно переходных процессов или любого сигнала конечной протяженности.

В качестве альтернативы преобразованию Фурье в частотно-временном анализе используются частотно-временные преобразования или частотно-временные распределения для представления сигналов в форме, которая содержит некоторую информацию о времени и некоторую информацию о частоте – в соответствии с принципом неопределенности существует компромисс. между ними. Это могут быть обобщения преобразования Фурье, такие как кратковременное преобразование Фурье , дробное преобразование Фурье , синхронное преобразование Фурье, или другие функции для представления сигналов, например, вейвлет-преобразования и лирплетные преобразования , причем вейвлет-аналог (непрерывного) преобразования Фурье является непрерывным вейвлет-преобразованием .

Приложения

См. Также: Спектральная плотность § Приложения.

Некоторые проблемы, например некоторые дифференциальные уравнения, становится легче решать, если применить преобразование Фурье. В этом случае решение исходной задачи восстанавливается с помощью обратного преобразования Фурье.

Линейные операции, выполняемые в одной области (времени или частоте), имеют соответствующие операции в другой области, которые иногда легче выполнить. Операция дифференцирования во временной области соответствует умножению на частоту, поэтому некоторые дифференциальные уравнения легче анализировать в частотной области. Кроме того, свертка во временной области соответствует обычному умножению в частотной области (см. Теорему о свертке ). После выполнения желаемых операций преобразование результата может быть произведено обратно во временную область. Гармонический анализ — это систематическое исследование взаимосвязи между частотной и временной областями, включая виды функций или операций, которые «проще» в той или иной области, и имеет глубокие связи со многими областями современной математики.

дифференциальных

Возможно, наиболее важным применением преобразования Фурье является решение уравнений в частных производных . Многие уравнения математической физики девятнадцатого века можно трактовать именно таким образом. Фурье изучил уравнение теплопроводности, которое в одном измерении и в безразмерных единицах имеет вид

$${\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial y(x,t)}{\partial t}}.$$

Пример, который мы приведем, немного более сложный, — это волновое уравнение в одном измерении:

$${\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}t}}.$$

Как обычно, проблема не в том, чтобы найти решение: их бесконечно много. Проблема заключается в так называемой «граничной проблеме»: найти решение, удовлетворяющее «граничным условиям».

$$y(x,0)=f(x),\qquad {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=g(x).$$

Здесь f и g — заданные функции. Для уравнения теплопроводности может потребоваться только одно граничное условие (обычно первое). Но для волнового уравнения по-прежнему существует бесконечно много решений y , удовлетворяющих первому граничному условию. Но когда накладываются оба условия, существует только одно возможное решение.

Легче найти преобразование Фурье ŷ решения, чем искать решение напрямую. Это связано с тем, что преобразование Фурье переводит дифференцирование в умножение на двойственную Фурье переменную, и поэтому уравнение в частных производных, примененное к исходной функции, преобразуется в умножение на полиномиальные функции двойственных переменных, примененных к преобразованной функции. После того, как ŷ определено, мы можем применить обратное преобразование Фурье, чтобы найти y .

Метод Фурье заключается в следующем. Прежде всего заметим, что любая функция форм

$$\cos {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}{\text{ or }}\sin {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}$$

удовлетворяет волновому уравнению. Их называют элементарными решениями.

Во-вторых, заметим, что поэтому любой интеграл

$${\begin{aligned}y(x,t)=\int _{0}^{\infty }d\xi {\Bigl [}&a_{+}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+a_{-}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x-t){\bigr )}+{}\\&b_{+}(\xi )\sin {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+b_{-}(\xi )\sin \left(2\pi \xi (x-t)\right){\Bigr ]}\end{aligned}}$$

удовлетворяет волновому уравнению для произвольных a ₊ , a ₋ , b ₊ , b ₋ . Этот интеграл можно интерпретировать как непрерывную линейную комбинацию решений линейного уравнения.

Теперь это напоминает формулу синтеза Фурье функции. По сути, это действительное обратное преобразование Фурье a _± и b _± по переменной x .

Третий шаг — выяснить, как найти конкретные неизвестные коэффициентные функции a _± и b _± , которые приведут к тому, что y будет удовлетворять граничным условиям. Нас интересуют значения этих решений при t = 0 . Итак, мы установим t = 0 . Предполагая, что условия, необходимые для обращения Фурье, выполнены, мы можем затем найти синусные и косинусные преобразования Фурье (по переменной x ) обеих сторон и получить

$$2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\cos(2\pi \xi x)\,dx=a_{+}+a_{-}$$

и

$$2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\sin(2\pi \xi x)\,dx=b_{+}+b_{-}.$$

Аналогично, взяв производную y по t и затем применив синусоидальные и косинусоидальные преобразования Фурье, получим

$$2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\sin(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(-a_{+}+a_{-}\right)$$

и

$$2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\cos(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(b_{+}-b_{-}\right).$$

Это четыре линейных уравнения для четырех неизвестных a _± и b _± в терминах синус- и косинус-преобразований Фурье граничных условий, которые легко решаются с помощью элементарной алгебры, при условии, что эти преобразования могут быть найдены.

Таким образом, мы выбрали набор элементарных решений, параметризованных ξ , из которых общим решением была бы (непрерывная) линейная комбинация в виде интеграла по параметру ξ . Но этот интеграл имел форму интеграла Фурье. Следующим шагом было выразить граничные условия через эти интегралы и приравнять их к заданным функциям f и g . Но эти выражения также приняли форму интеграла Фурье из-за свойств преобразования Фурье производной. Последним шагом было использование инверсии Фурье путем применения преобразования Фурье к обеим сторонам, что позволило получить выражения для коэффициентных функций a _± и b _± в терминах заданных граничных условий f и g .

С более высокой точки зрения процедуру Фурье можно переформулировать более концептуально. Поскольку существует две переменные, мы будем использовать преобразование Фурье как для x , так и для t , а не действовать, как это делал Фурье, который преобразовывал только пространственные переменные. Обратите внимание, что ŷ необходимо рассматривать в смысле распределения, поскольку y ( x , t ) не будет L ¹ : как волна, она будет сохраняться во времени и, следовательно, не является временным явлением. Но оно будет ограниченным, поэтому его преобразование Фурье можно определить как распределение. Операционные свойства преобразования Фурье, имеющие отношение к этому уравнению, заключаются в том, что оно преобразует дифференцирование по x в умножение на i 2π ξ , а дифференцирование по t — в умножение на i 2π f , где f — частота. Тогда волновое уравнение становится алгебраическим уравнением относительно ŷ :

$$\xi ^{2}{\hat {y}}(\xi ,f)=f^{2}{\hat {y}}(\xi ,f).$$

Это эквивалентно требованию ŷ ( ξ , f ) = 0, если только ξ = ± f . Это сразу же объясняет, почему выбор элементарных решений, который мы сделали ранее, сработал так хорошо: очевидно, f̂ = δ ( ξ ± f ) будут решениями. Применяя обращение Фурье к этим дельта-функциям, мы получаем элементарные решения, которые мы выбрали ранее. Но с более высокой точки зрения не выбирают элементарных решений, а рассматривают пространство всех распределений, которые опираются на (вырожденную) конику ξ. ² − ж ² = 0 .

Мы также можем рассматривать распределения, поддерживаемые на конике, которые задаются распределениями одной переменной на линии ξ = f плюс распределениями на линии ξ = - f следующим образом: если Φ — какая-либо пробная функция,

$$\iint {\hat {y}}\phi (\xi ,f)\,d\xi \,df=\int s_{+}\phi (\xi ,\xi )\,d\xi +\int s_{-}\phi (\xi ,-\xi )\,d\xi ,$$

где s ₊ и s− _— распределения одной переменной.

Тогда обращение Фурье дает для граничных условий нечто очень похожее на то, что мы имели более конкретно выше (положим Φ ( ξ , f ) = e ^{я 2π( xξ + tf )} , который явно имеет полиномиальный рост):

$$y(x,0)=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )+s_{-}(\xi ){\bigr \}}e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi$$

и

$${\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )-s_{-}(\xi ){\bigr \}}i2\pi \xi e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi .$$

Теперь, как и раньше, применение преобразования Фурье с одной переменной по переменной x к этим функциям x дает два уравнения в двух неизвестных распределениях s _± (которые можно считать обычными функциями, если граничные условия L ¹ или Л ² ).

С вычислительной точки зрения недостатком, конечно, является то, что нужно сначала вычислить преобразования Фурье граничных условий, затем собрать из них решение, а затем вычислить обратное преобразование Фурье. Формулы в закрытой форме встречаются редко, за исключением случаев, когда существует некоторая геометрическая симметрия, которую можно использовать, а численные расчеты затруднены из-за колебательного характера интегралов, что делает сходимость медленной и трудно поддающейся оценке. Для практических расчетов часто используют другие методы.

В двадцатом веке эти методы были распространены на все линейные уравнения в частных производных с полиномиальными коэффициентами, а за счет расширения понятия преобразования Фурье, включив в него интегральные операторы Фурье, а также некоторые нелинейные уравнения.

Фурье

Основная статья: Спектроскопия с преобразованием Фурье

Преобразование Фурье также используется в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и других видах спектроскопии , например, инфракрасной ( FTIR ). В ЯМР сигнал затухания свободной индукции (FID) экспоненциальной формы регистрируется во временной области и преобразуется Фурье в лоренцеву форму линии в частотной области. Преобразование Фурье также используется в магнитно-резонансной томографии (МРТ) и масс-спектрометрии .

Квантовая механика

Преобразование Фурье полезно в квантовой механике по крайней мере двумя разными способами. Начнем с того, что основная концептуальная структура квантовой механики постулирует существование пар дополнительных переменных , связанных принципом неопределенности Гейзенберга . Например, в одном измерении пространственная переменная q , скажем, частицы, может быть измерена только с помощью квантовомеханического « оператора положения » за счет потери информации об импульсе p частицы. Следовательно, физическое состояние частицы может быть описано либо функцией q , называемой «волновой функцией», либо функцией p , но не функцией обеих переменных. Переменная p называется переменной, сопряженной с q . В классической механике физическое состояние частицы (существующей в одном измерении, для простоты изложения) будет задано путем одновременного присвоения определенных значений как p , так и q . Таким образом, совокупность всех возможных физических состояний представляет собой двумерное вещественное векторное пространство с осью p и Ось q называется фазовым пространством .

Напротив, квантовая механика выбирает поляризацию этого пространства в том смысле, что она выбирает подпространство размером в половину измерения, например, только ось q , но вместо того, чтобы рассматривать только точки, берет набор всех комплексных значений. «волновые функции» на этой оси. Тем не менее, выбор оси p является столь же допустимой поляризацией, приводящей к другому представлению набора возможных физических состояний частицы. Оба представления волновой функции связаны преобразованием Фурье, так что

$$\phi (p)=\int dq\,\psi (q)e^{-ipq/h},$$