ба пространство

В математике пространство ба $ba(\Sigma )$ алгебры множеств $\Sigma$ — банахово пространство, состоящее из всех ограниченных и конечно-аддитивных знаковых мер на $\Sigma$ . Норма определяется как вариация , то есть $\|\nu \|=|\nu |(X).$ ^[1]

Если Σ — сигма-алгебра , то пространство $ca(\Sigma )$ определяется как подмножество $ba(\Sigma )$ состоящая из счетно-аддитивных мер . ^[2] Обозначение ba — это мнемоническое обозначение ограниченной аддитивности , а ca — сокращение от счетно-аддитивного .

Если X — топологическое пространство и Σ — сигма-алгебра борелевских множеств в X , то $rca(X)$ является подпространством $ca(\Sigma )$ состоящее из всех регулярных борелевских мер на X . ^[3]

Характеристики

Все три пространства полны (они являются банаховыми пространствами ) относительно одной и той же нормы, определяемой полной вариацией, и, следовательно, $ca(\Sigma )$ является закрытым подмножеством $ba(\Sigma )$ , и $rca(X)$ представляет собой закрытую совокупность $ca(\Sigma )$ алгебра борелевских множеств на X. для Σ — Пространство простых функций на $\Sigma$ плотный в $ba(\Sigma )$ .

Пространство ba степенного множества натуральных чисел , ba (2 ^Н), часто обозначается просто $ba$ и изоморфно двойственному пространству ℓ ^∞ космос .

Двойной к B(Σ)

Пусть B(Σ) — пространство ограниченных Σ-измеримых функций, наделенное равномерной нормой . Тогда ba (Σ) = B(Σ)* — непрерывное сопряженное пространство к B(Σ). Это заслуга Хильдебрандта ^[4] и Фихтенгольц и Канторович. ^[5] Это своего рода теорема о представлении Рисса , которая позволяет представить меру в виде линейного функционала от измеримых функций. В частности, этот изоморфизм позволяет определить интеграл по счетной конечно-аддитивной мере (заметим, что обычный интеграл Лебега требует аддитивности ). Это заслуга Данфорда и Шварца, ^[6] и часто используется для определения интеграла по векторным мерам , ^[7] и особенно векторные меры Радона .

Топологическую двойственность ba (Σ) = B(Σ)* легко увидеть. Существует очевидная алгебраическая двойственность между векторным пространством всех конечно-аддитивных мер σ на Σ и векторным пространством простых функций ( $\mu (A)=\zeta \left(1_{A}\right)$ ). Легко проверить, что линейная форма, индуцированная σ, непрерывна по суп-норме, если σ ограничена, и результат следует из того, что линейная форма на плотном подпространстве простых функций продолжается до элемента B(Σ)*, если оно непрерывно в суп-норме.

Двойной L ^∞( м )

Если Σ — сигма-алгебра и µ — сигма-аддитивная положительная мера на Σ, то пространство Lp L ^∞( µ ), наделенная существенной супремум- нормой, по определению является фактор-пространством B(Σ) по замкнутому подпространству ограниченных µ -нулевых функций:

N_{\mu }:=\{f\in B(\Sigma ):f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}.

Двойственное банахово пространство L ^∞( µ )*, таким образом, изоморфно

N_{\mu }^{\perp }=\{\sigma \in ba(\Sigma ):\mu (A)=0\Rightarrow \sigma (A)=0{\text{ for any }}A\in \Sigma \},

т. е. пространство конечно-аддитивных знаковых мер на Σ , абсолютно непрерывных относительно µ ( для краткости µ -ac).

Кроме того, если пространство с мерой сигма-конечно, то L ^∞( µ ), в свою очередь, двойственен к L ¹( µ ), которое по теореме Радона–Никодима отождествляется с множеством всех счетно-аддитивных µ -ac мер.Другими словами, включение в бидуальное

L^{1}(\mu )\subset L^{1}(\mu )^{**}=L^{\infty }(\mu )^{*}

изоморфно включению пространства счетно-аддитивных µ -ac-ограниченных мер внутрь пространства всех конечно-аддитивных µ -ac-ограниченных мер.

См. также

Список банаховых пространств

Ссылки

Данфорд, Н.; Шварц, Дж.Т. (1958). Линейные операторы. Часть I. Уайли-Интерсайенс.

^ Данфорд и Шварц 1958 , IV.2.15.
^ Данфорд и Шварц 1958 , IV.2.16.
^ Данфорд и Шварц 1958 , IV.2.17.
^ Хильдебрандт, TH (1934). «Об ограниченных функциональных операциях» . Труды Американского математического общества . 36 (4): 868–875. дои : 10.2307/1989829 . JSTOR 1989829 .
^ Фихтенхольц, Г.; Канторович Л. В. (1934). «О линейных операциях в пространстве ограниченных функций» . Студия Математика . 5 :69–98. дои : 10.4064/см-5-1-69-98 .
^ Данфорд и Шварц 1958 .
^ Дистель, Дж.; Уль, Джей-Джей (1977). Векторные меры . Математические обзоры. Том. 15. Американское математическое общество. Глава I.

Дальнейшее чтение

Дистель, Джозеф (1984). Последовательности и ряды в банаховых пространствах . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90859-5 . OCLC 9556781 .
Йосида, К.; Хьюитт, Э. (1952). «Конечно-аддитивные меры» . Труды Американского математического общества . 72 (1): 46–66. дои : 10.2307/1990654 . JSTOR 1990654 .
Канторович Леонид Владимирович; Акилов, Глеб П. (1982). Функциональный анализ . Пергамон. дои : 10.1016/C2013-0-03044-7 . ISBN 978-0-08-023036-8 .

[FOOTNOTEDunfordSchwartz1958IV.2.15-1] Данфорд и Шварц 1958 , IV.2.15.

[FOOTNOTEDunfordSchwartz1958IV.2.16-2] Данфорд и Шварц 1958 , IV.2.16.

[FOOTNOTEDunfordSchwartz1958IV.2.17-3] Данфорд и Шварц 1958 , IV.2.17.

[Hildebrandt1934-4] Хильдебрандт, TH (1934). «Об ограниченных функциональных операциях» . Труды Американского математического общества . 36 (4): 868–875. дои : 10.2307/1989829 . JSTOR 1989829 .

[FichtenholtzKantorovich1934-5] Фихтенхольц, Г.; Канторович Л. В. (1934). «О линейных операциях в пространстве ограниченных функций» . Студия Математика . 5 :69–98. дои : 10.4064/см-5-1-69-98 .

[FOOTNOTEDunfordSchwartz1958-6] Данфорд и Шварц 1958 .

[DiestelUhl1977_ChptI-7] Дистель, Дж.; Уль, Джей-Джей (1977). Векторные меры . Математические обзоры. Том. 15. Американское математическое общество. Глава I.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]