Ядерный космос

В математике топологические ядерные пространства — это векторные пространства , которые можно рассматривать как обобщение конечномерных евклидовых пространств и которые разделяют многие из их желаемых свойств. Однако ядерные пространства сильно отличаются от гильбертовых пространств , еще одного обобщения конечномерных евклидовых пространств. Их представил Александр Гротендик .

Топологию ядерных пространств можно определить с помощью семейства полунорм которых , единичные шары быстро уменьшаются в размерах. Векторные пространства, элементы которых в некотором смысле «гладкие», имеют тенденцию быть ядерными пространствами; типичным примером ядерного пространства является множество гладких функций на компактном многообразии . Все конечномерные векторные пространства являются ядерными. Не существует ядерных банаховых пространств , за исключением конечномерных. На практике часто верно обратное: если «естественное» топологическое векторное пространство не является банаховым пространством, то есть большая вероятность, что оно является ядерным.

теорема о ядре

См. Также: Распределение (математика) § Топология в пространстве распределений и теорема о ядре Шварца.

Большая часть теории ядерных пространств была разработана Александром Гротендиком при исследовании теоремы о ядре Шварца и опубликована в ( Grotendieck 1955 ). Сейчас мы опишем эту мотивацию.

Для любых открытых подмножеств $\Omega _{1}\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ и $\Omega _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n},$ каноническая карта ${\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\to L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)$ является изоморфизмом TVS (где $L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)$ имеет топологию равномерной сходимости на ограниченных подмножествах ) и, кроме того, оба этих пространства канонически TVS-изоморфны ${\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\mathbin {\widehat {\otimes }} {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)$ (где с тех пор ${\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)$ является ядерным, это тензорное произведение одновременно является инъективным тензорным произведением и проективным тензорным произведением ). Короче говоря, теорема о ядре Шварца утверждает, что:

$${\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\cong {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\mathbin {\widehat {\otimes }} {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)\cong L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)$$

где все эти TVS-изоморфизмы каноничны.

Этот результат является ложным, если заменить пробел $C_{c}^{\infty }$ с $L^{2}$ (которое представляет собой рефлексивное пространство , изоморфное даже своему сильному двойственному пространству) и заменяет ${\mathcal {D}}^{\prime }$ с двойником этого $L^{2}$ космос. Почему такой хороший результат справедлив для пространства распределений и основных функций, но не для гильбертова пространства? $L^{2}$ (который вообще считается одним из самых "красивых" ТВС)? Этот вопрос привел Гротендика к открытию ядерных пространств, ядерных карт и инъективного тензорного произведения .

Мотивы из геометрии

Другой набор мотивирующих примеров взят непосредственно из геометрии и теории гладких многообразий. ^{приложение 2} . Учитывая гладкие многообразия $M,N$ и локально выпуклое топологическое векторное пространство Хаусдорфа, то существуют следующие изоморфизмы ядерных пространств

• $C^{\infty }(M)\otimes C^{\infty }(N)\cong C^{\infty }(M\times N)$
• $C^{\infty }(M)\otimes F\cong \{f:M\to F:f{\text{ is smooth }}\}$

Определение

В этом разделе перечислены некоторые из наиболее распространенных определений ядерного пространства. Все приведенные ниже определения эквивалентны. Обратите внимание, что некоторые авторы используют более ограничительное определение ядерного пространства, добавляя условие, согласно которому это пространство также должно быть пространством Фреше . (Это означает, что пространство полно и топология задается счетным семейством полунорм.)

Следующее определение использовалось Гротендиком для определения ядерных пространств.

Определение 0 : Пусть $X$ — локально выпуклое топологическое векторное пространство. Затем $X$ является ядерным, если для любого локально выпуклого пространства $Y,$ вложение в каноническое векторное пространство $X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ является вложением ТВС, изображение которых плотно в кодомене (где домен $X\otimes _{\pi }Y$ - проективное тензорное произведение , а кодобласть - это пространство всех отдельно непрерывных билинейных форм на $X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }$ наделенный топологией равномерной сходимости на равнонепрерывных подмножествах ).

Начнем с того, что вспомним некоторую предысторию. Локально выпуклое топологическое векторное пространство $X$ имеет топологию, определяемую некоторым семейством полунорм . Для каждой полунормы единичный шар является замкнутой выпуклой симметричной окрестностью начала координат, и наоборот, каждая замкнутая выпуклая симметричная окрестность точки 0 является единичным шаром некоторой полунормы. (Для комплексных векторных пространств условие «симметричный» следует заменить на « сбалансированный ».) Если $p$ является полунормой по $X,$ затем $X_{p}$ обозначает банахово пространство , заданное путем пополнения вспомогательного нормированного пространства с помощью полунормы $p.$ Существует естественная карта $X\to X_{p}$ (не обязательно инъективный).

Если $q$ это еще одна полунорма, большая, чем $p$ (поточечно как функция от $X$), то существует естественное отображение из $X_{q}$ к $X_{p}$ так что первая карта учитывает как $X\to X_{q}\to X_{p}.$ Эти карты всегда непрерывны. Пространство $X$ является ядерным, когда выполняется более сильное условие, а именно, что эти отображения являются ядерными операторами . Условия работы оператором атомной станции непростые, более подробную информацию можно найти в соответствующей статье.

Определение 1. Ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство такое, что для любой полунормы $p$ мы можем найти большую полунорму $q$ так что естественная карта $X_{q}\to X_{p}$ является ядерным .

Неформально это означает, что всякий раз, когда нам дан единичный шар некоторой полунормы, мы можем найти внутри него «гораздо меньший» единичный шар другой полунормы или что каждая окрестность 0 содержит «гораздо меньшую» окрестность. Не обязательно проверять это условие для всех полунорм. $p$; достаточно проверить его на наборе полунорм, порождающих топологию, иными словами, наборе полунорм, являющихся подбазой топологии.

Вместо использования произвольных банаховых пространств и ядерных операторов мы можем дать определение в терминах гильбертовых пространств и ядерных операторов, которые легче понять. (В гильбертовых пространствах ядерные операторы часто называют операторами ядерного класса.)Будем говорить, что полунорма $p$ является полунормой Гильберта, если $X_{p}$ является гильбертовым пространством или, что то же самое, если $p$ происходит от полуторалинейной положительно-полуопределенной формы на $X.$

Определение 2. Ядерное пространство — это топологическое векторное пространство с топологией, определяемой семейством полунорм Гильберта, такое, что для каждой полунормы Гильберта $p$ мы можем найти большую полунорму Гильберта $q$ так что естественная карта из $X_{q}$ к $X_{p}$ это класс трассировки .

Некоторые авторы предпочитают использовать операторы Гильберта–Шмидта, а не операторы трассового класса. Это не имеет особого значения, поскольку каждый оператор ядерного класса является ядерным классом Гильберта–Шмидта, а произведение двух операторов Гильберта–Шмидта имеет ядерный класс.

Определение 3 : Ядерное пространство — это топологическое векторное пространство с топологией, определяемой семейством полунорм Гильберта, такое, что для каждой полунормы Гильберта $p$ мы можем найти большую полунорму Гильберта $q$ так что естественная карта из $X_{q}$ к $X_{p}$ это Гильберт-Шмидт.

Если мы хотим использовать концепцию ядерного оператора из произвольного локально выпуклого топологического векторного пространства в банахово пространство, мы можем дать более короткие определения следующим образом:

Определение 4. Ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство такое, что для каждой полунормы $p$ естественная карта из $X\to X_{p}$ является ядерным .

Определение 5. Ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство, такое, что каждое непрерывное линейное отображение в банахово пространство является ядерным.

Гротендик использовал определение, подобное следующему:

Определение 6. Ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство. $A$ такая, что для любого локально выпуклого топологического векторного пространства $B$ естественное отображение проективного тензорного произведения в инъективное произведение $A$ и $B$ является изоморфизмом.

На самом деле достаточно проверить это только для банаховых пространств. $B,$ или даже просто для одного банахова пространства $\ell ^{1}$ абсолютно сходящегося ряда.

Характеристики

Позволять $X$ — хаусдорфово локально выпуклое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. $X$ является ядерным;
2. для любого локально выпуклого пространства $Y,$ вложение в каноническое векторное пространство $X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ является вложением TVS, изображение которых плотно в кодомене;
3. для любого банахова пространства $Y,$ вложение в каноническое векторное пространство $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y$ является сюръективным изоморфизмом TVS;
4. для любого локально выпуклого хаусдорфова пространства $Y,$ вложение в каноническое векторное пространство $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y$ является сюръективным изоморфизмом TVS;
5. каноническое вложение $\ell ^{1}[\mathbb {N} ,X]$ в $\ell ^{1}(\mathbb {N} ,X)$ является сюръективным изоморфизмом TVS;
6. каноническая карта $\ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }X$ является сюръективным TVS-изоморфизмом.
7. для любой полунормы $p$ мы можем найти большую полунорму $q$ так что естественная карта $X_{q}\to X_{p}$ является ядерным ;
8. для любой полунормы $p$ мы можем найти большую полунорму $q$ так что каноническая инъекция $X_{p}^{\prime }\to X_{q}^{\prime }$ является ядерным;
9. топология $X$ определяется семейством полунорм Гильберта, таких, что для любой полунормы Гильберта $p$ мы можем найти большую полунорму Гильберта $q$ так что естественная карта $X_{q}\to X_{p}$ это класс трассировки ;
10. $X$ имеет топологию, определенную семейством полунорм Гильберта, такую, что для любой полунормы Гильберта $p$ мы можем найти большую полунорму Гильберта $q$ так что естественная карта $X_{q}\to X_{p}$ это Гильберт-Шмидт;
11. для любой полунормы $p$ естественная карта из $X\to X_{p}$ является ядерным .
12. любое непрерывное линейное отображение банахова пространства является ядерным;
13. каждая непрерывная полунорма на $X$ является донуклеарным;
14. каждое равнонепрерывное подмножество $X^{\prime }$ является донуклеарным;
15. любое линейное отображение банахова пространства в $X^{\prime }$ преобразующий единичный шар в равнонепрерывное множество, является ядерным;
16. завершение $X$ является ядерным космосом;

Если $X$ является пространством Фреше , то следующие условия эквивалентны:

1. $X$ является ядерным;
2. каждая суммируемая последовательность в $X$ абсолютно суммируема;
3. сильный двойник $X$ является ядерным;

Достаточные условия

• Локально выпуклое хаусдорфово пространство является ядерным тогда и только тогда, когда его пополнение ядерно.
• Каждое подпространство ядерного пространства является ядерным.
• Каждое факторпространство Хаусдорфа ядерного пространства является ядерным.
• Индуктивный предел счетной последовательности ядерных пространств является ядерным.
• Локально выпуклая прямая сумма счетной последовательности ядерных пространств является ядерной.
• Сильный двойник ядерного пространства Фреше является ядерным.
  • В целом сильный дуал ядерного пространства может и не оказаться ядерным.
• Пространство Фреше, сильный двойник которого является ядерным, само является ядерным.
• Пределом семейства ядерных пространств является ядерный.
• Продукт семейства ядерных пространств является ядерным.
• Завершение ядерного пространства является ядерным (и фактически пространство является ядерным тогда и только тогда, когда его завершение является ядерным).
• Тензорное произведение двух ядерных пространств является ядерным.
• Проективное тензорное произведение , как и его пополнение, двух ядерных пространств является ядерным.

Предположим, что $X,Y,$ и $N$ являются локально выпуклым пространством с $N$ является ядерным.

• Если $N$ является ядерным, то векторное пространство непрерывных линейных отображений $L_{\sigma }(X,N)$ наделенное топологией простой конвергенции, представляет собой ядерное пространство.
• Если $X$ является полурефлексивным пространством, сильный двойник которого является ядерным, и если $N$ является ядерным, то векторное пространство непрерывных линейных отображений $L_{b}(X,N)$ (наделенный топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах $X$ ) — ядерное пространство.

Примеры

Если $d$ есть множество любой мощности, то $\mathbb {R} ^{d}$ и $\mathbb {C} ^{d}$ (с топологией произведения ) оба являются ядерными пространствами.

Относительно простой бесконечномерный пример ядерного пространства — это пространство всех быстро убывающих последовательностей. $c=\left(c_{1},c_{2},\ldots \right).$ («Быстро уменьшающаяся» означает, что $c_{n}p(n)$ ограничен для любого многочлена $p$). Для каждого действительного числа $s,$ можно определить норму $\|\,\cdot \,\|_{s}$ к

$$\|c\|_{s}=\sup _{}\left|c_{n}\right|n^{s}$$

Если пополнение в этой норме $C_{s},$ тогда существует естественная карта из $C_{s}\to C_{t}$ в любое время $s\geq t,$ и это ядерное всякий раз, когда $s>t+1$ главным образом потому, что сериал $\sum n^{t-s}$ тогда абсолютно сходится. В частности по каждой норме $\|\,\cdot \,\|_{t}$ это можно найти другую норму, скажем $\|\,\cdot \,\|_{t+1},$ такое, что карта $C_{t+2}\to C_{t}$ является ядерным. Итак, космос ядерный.

• Пространство гладких функций на любом компактном многообразии ядерно.
• Пространство Шварца гладких функций на $\mathbb {R} ^{n}$ для которого производные всех порядков быстро убывают, является ядерным пространством.
• Пространство целых голоморфных функций на комплексной плоскости является ядерным.
• Пространство дистрибутивов ${\mathcal {D}}^{\prime },$ сильный двойник ${\mathcal {D}},$ является ядерным.

Свойства

Ядерные пространства во многом похожи на конечномерные пространства и обладают многими их хорошими свойствами.

• Каждое конечномерное хаусдорфово пространство является ядерным.
• Пространство Фреше является ядерным тогда и только тогда, когда его сильный двойник является ядерным.
• Каждое ограниченное подмножество ядерного пространства предкомпактно (напомним, что множество предкомпактно, если его замыкание при пополнении пространства компактно). Это аналог теоремы Гейне-Бореля . Напротив, ни одно бесконечномерное нормированное пространство не обладает этим свойством (хотя конечномерные пространства обладают).
• Если $X$ является квазиполным (т.е. все замкнутые и ограниченные подмножества полны) ядерным пространством, тогда $X$ обладает свойством Гейне-Бореля .
• Ядерное квазиполное бочкообразное пространство — это пространство Монтеля .
• Каждое замкнутое равнонепрерывное подмножество двойственного ядерного пространства является компактным метризуемым множеством (для сильной двойственной топологии).
• Каждое ядерное пространство является подпространством произведения гильбертовых пространств.
• Каждое ядерное пространство допускает базис полунорм, состоящий из гильбертовых норм.
• Каждое ядерное пространство является пространством Шварца.
• Каждое ядерное пространство обладает свойством аппроксимации.
• Любое подпространство и любое факторпространство по замкнутому подпространству ядерного пространства является ядерным.
• Если $A$ является ядерным и $B$ — любое локально выпуклое топологическое векторное пространство, то естественное отображение проективного тензорного произведения A и $B$ инъективному тензорному произведению является изоморфизмом. Грубо говоря, это означает, что существует только один разумный способ определить тензорное произведение. Это свойство характеризует ядерные пространства. $A.$
• В теории мер в топологических векторных пространствах основная теорема утверждает, что любая мера множества непрерывных цилиндров на двойственном ядерному пространству Фреше автоматически расширяется до меры Радона . Это полезно, потому что часто легко построить меры цилиндрического множества в топологических векторных пространствах, но они недостаточно хороши для большинства приложений, если только они не являются мерами Радона (например, они вообще не являются даже счетно-аддитивными).

Теорема о ядре

Большая часть теории ядерных пространств была разработана Александром Гротендиком при исследовании теоремы о ядре Шварца и опубликована в ( Grotendieck 1955 ). Имеем следующее обобщение теоремы.

Теорема о ядре Шварца : Предположим, что $X$ является ядерным, $Y$ является локально выпуклым, и $v$ является непрерывной билинейной формой на $X\times Y.$ Затем $v$ возникает из пространства формы $X_{A^{\prime }}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y_{B^{\prime }}^{\prime }$ где $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$ являются подходящими равнонепрерывными подмножествами $X^{\prime }$ и $Y^{\prime }.$ Эквивалентно, $v$ имеет форму,

$$v(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}^{\prime }\right\rangle \left\langle y,y_{i}^{\prime }\right\rangle \quad {\text{ for all }}(x,y)\in X\times Y$$

где $\left(\lambda _{i}\right)\in \ell ^{1}$ и каждый из $\left\{x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots \right\}$ и $\left\{y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime },\ldots \right\}$ являются равнонепрерывными. Более того, эти последовательности можно считать нулевыми последовательностями (то есть сходящимися к 0) в $X_{A^{\prime }}^{\prime }$ и $Y_{B^{\prime }}^{\prime },$ соответственно.

Теорема Бохнера–Минлоса

Смотрите также: теорема Бохнера

Любой непрерывный положительно определенный функционал $C$ в ядерном космосе $A$ называется характеристическим функционалом, если $C(0)=1,$ и для любого $z_{j}\in \mathbb {C} ,$ $x_{j}\in A$ и $j,k=1,\ldots ,n,$

$$\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}z_{j}{\bar {z}}_{k}C(x_{j}-x_{k})\geq 0.$$

Дан характерный функционал на ядерном пространстве $A,$ теорема Бохнера –Минлоса (по Саломону Бохнеру и Роберту Адольфовичу Минлосу ) гарантирует существование и единственность соответствующей вероятностной меры . $\mu$ в двойном пространстве $A^{\prime }$ такой, что

$$C(y)=\int _{A^{\prime }}e^{i\langle x,y\rangle }\,d\mu (x),$$

где $C(y)$ представляет собой Фурье преобразование $\mu$, тем самым распространяя обратное преобразование Фурье на ядерные пространства.

В частности, если $A$ это ядерный космос

$$A=\bigcap _{k=0}^{\infty }H_{k},$$

где $H_{k}$ являются гильбертовыми пространствами, теорема Бохнера–Минлоса гарантирует существование вероятностной меры с характеристической функцией $e^{-{\frac {1}{2}}\|y\|_{H_{0}}^{2}},$ то есть существование гауссовой меры в дуальном пространстве . Такая мера называется белого шума мерой . Когда $A$ — пространство Шварца, соответствующий случайный элемент — случайное распределение .

Сильно ядерные пространства

Сильно ядерное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство такое, что для любой полунормы $p$ существует большая полунорма $q$ так что естественная карта $X_{q}\to X_{p}$ является сильно ядерным .

См. также

• Вспомогательное нормированное помещение
• Ядро Фредгольма - тип ядра в банаховом пространстве.
• Инъективное тензорное произведение
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Атомный оператор
• Проективное тензорное произведение - тензорное произведение, определенное в двух топологических векторных пространствах.
• Оснащенное гильбертово пространство - конструкция, связывающая изучение «связанных» и непрерывных собственных значений в функциональном анализе.
• Класс следа - класс компактных операторов, для которых может быть определен конечный след.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Библиография

• Бекнель, Джереми (2021). Инструменты для бесконечномерного анализа . ЦРК Пресс. ISBN  978-0-367-54366-2 . OCLC   1195816154 .
• Гротендик, Александр (1955). «Топологические тензорные произведения и ядерные пространства». Мемуары Американского математического общества . 16 .
• Дистель, Джо (2008). Метрическая теория тензорных произведений: пересмотр резюме Гротендика . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4440-3 . OCLC   185095773 .
• Дубинский, Эд (1979). Структура ядерных пространств Фреше . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09504-7 . OCLC   5126156 .
• Гротендик, Гротендик (1966). Топологические тензорные произведения и ядерные пространства (на французском языке). Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1216-5 . OCLC   1315788 .
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе . Математические исследования Северной Голландии. Том. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087137-0 . МР   0500064 . OCLC   316549583 .
• Хогбе-Нленд, Анри ; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и ядерные пространства: Вводный курс по ядерным и ядерным пространствам в свете двойственности «топология-борнология» . Математические исследования Северной Голландии. Том. 52. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087163-9 . OCLC   316564345 .
• Холден, Хельге; Оксендал, Бернт; Убё, Ян; Чжан, Тушэн (2009). Стохастические уравнения в частных производных . Лондон, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-89488-1 .
• Хусейн, Такдир (1978). Бочечность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09096-7 . OCLC   4493665 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Гельфанд, И.М.; Виленкин, Н.Я. (1964). Обобщенные функции – вып. 4: Применение гармонического анализа . Нью-Йорк: Академическая пресса. OCLC   310816279 .
• Такеюки Хида и Си Си, Лекции по функционалам белого шума , World Scientific Publishing, 2008. ISBN   978-981-256-052-0
• Г.Л. Литвинов (2001) [1994], «Ядерный космос» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Питч, Альбрехт (1972) [1965]. Ядерные локально-выпуклые пространства . Результаты математики и ее пограничные области. Том 66. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-05644-9 . МР   0350360 .
• Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально-выпуклые пространства . Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN  0-387-05644-0 . OCLC   539541 .
• Робертсон, AP; У. Дж. Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Издательство Кембриджского университета . п. 141.
• Робертсон, AP (1973). Топологические векторные пространства . Кембридж, Англия: Университетское издательство. ISBN  0-521-29882-2 . OCLC   589250 .
• Райан, Рэймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  1-85233-437-1 . ОСЛК   48092184 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Саймон, Барри (2005). Функциональная интеграция и квантовая физика . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3582-1 . OCLC   56894469 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6 . OCLC   5126158 .