Теорема Гротендика о следах

В функциональном анализе является теорема Гротендика о следах расширением теоремы Лидского о следе и определителе некоторого класса ядерных операторов в банаховых пространствах , так называемых ${\tfrac {2}{3}}$ -ядерные операторы . ^[1] Теорема была доказана в 1955 году Александром Гротендиком . ^[2] Теорема Лидского, вообще говоря, не справедлива для банаховых пространств.

Эту теорему не следует путать с формулой следов Гротендика из алгебраической геометрии .

Теорема Гротендика о следах

Учитывая банахово пространство $(B,\|\cdot \|)$ со свойством аппроксимации и обозначим его двойственное как $B'$ .

⅔-ядерные операторы

Позволять $A$ быть ядерным оператором на $B$ , затем $A$ это ${\tfrac {2}{3}}$ -ядерный оператор , если он имеет разложение вида $A=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}\otimes f_{k}$ где $\varphi _{k}\in B$ и $f_{k}\in B'$ и $\sum \limits _{k=1}^{\infty }\|\varphi _{k}\|^{2/3}\|f_{k}\|^{2/3}<\infty .$

Теорема Гротендика о следах

Позволять $\lambda _{j}(A)$ обозначим собственные значения ${\tfrac {2}{3}}$ -ядерный оператор $A$ считаются с их алгебраическими кратностями. Если $\sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|<\infty$ то имеют место следующие равенства: $\operatorname {tr} A=\sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|$ и для определителя Фредгольма $\operatorname {det} (I+A)=\prod \limits _{j}(1+\lambda _{j}(A)).$

См. также

Ядерные операторы между банаховыми пространствами

Литература

Гохберг, Израиль; Голдберг, Сеймур; Крупник, Наум (1991). Следы и определители линейных операторов . Достижения и приложения теории операторов. Базель: Биркхойзер. п. 102. ИСБН 978-3-7643-6177-8 .

Ссылки

^ Гохберг, Израиль; Голдберг, Сеймур; Крупник, Наум (1991). Следы и определители линейных операторов . Достижения и приложения теории операторов. Базель: Биркхойзер. п. 102. ИСБН 978-3-7643-6177-8 .
^ * Гротендик, Александр (1955). Топологические тензорные произведения и ядерные пространства (на французском языке). Провиденс: Американское математическое общество. п. 19. ISBN 0-8218-1216-5 . ОСЛК 1315788 .

[1] Гохберг, Израиль; Голдберг, Сеймур; Крупник, Наум (1991). Следы и определители линейных операторов . Достижения и приложения теории операторов. Базель: Биркхойзер. п. 102. ИСБН 978-3-7643-6177-8 .

[2] * Гротендик, Александр (1955). Топологические тензорные произведения и ядерные пространства (на французском языке). Провиденс: Американское математическое общество. п. 19. ISBN 0-8218-1216-5 . ОСЛК 1315788 .

[1]

[2]

v т и Топологические тензорные произведения и ядерные пространства
Basic concepts	Auxiliary normed spaces Nuclear space Tensor product Topological tensor product of Hilbert spaces
Topologies	Inductive tensor product Injective tensor product Projective tensor product
Operators/Maps	Fredholm determinant Fredholm kernel Hilbert–Schmidt operator Hypocontinuity Integral Nuclear between Banach spaces Trace class
Theorems	Grothendieck trace theorem Schwartz kernel theorem

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics