Ядерные операторы между банаховыми пространствами

В математике в бесконечных измерениях , ядерные операторы между банаховыми пространствами — это линейные операторы между банаховыми пространствами которые разделяют некоторые свойства своего аналога в конечном измерении. В гильбертовых пространствах такие операторы обычно называются операторами трассового класса , и можно определить такие вещи как след . В банаховых пространствах это уже невозможно для общих ядерных операторов, однако возможно для ${\tfrac {2}{3}}$-ядерный оператор посредством теоремы Гротендика о следах .

Общее определение банаховых пространств было дано Гротендиком . В этой статье представлены оба случая, но основное внимание уделяется общему случаю ядерных операторов в банаховых пространствах.

операторы в

Основная статья: оператор класса трассировки

Оператор ${\mathcal {L}}$ в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$$${\mathcal {L}}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$$компактен , если его можно записать в виде $${\mathcal {L}}=\sum _{n=1}^{N}\rho _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n},$$где $1\leq N\leq \infty ,$ и $\{f_{1},\ldots ,f_{N}\}$ и $\{g_{1},\ldots ,g_{N}\}$ являются (не обязательно полными) ортонормированными множествами. Здесь $\{\rho _{1},\ldots ,\rho _{N}\}$ — это набор действительных чисел, набор сингулярных значений оператора, подчиняющийся $\rho _{n}\to 0$ если $N=\infty .$

Кронштейн $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ – скалярное произведение в гильбертовом пространстве; сумма в правой части должна сходиться по норме.

Оператор, который является компактным, как определено выше, называется ядерным или ядерным , если $$\sum _{n=1}^{\infty }|\rho _{n}|<\infty .$$

Свойства

Ядерный оператор в гильбертовом пространстве обладает тем важным свойством, что следа можно определить операцию . Учитывая ортонормированный базис $\{\psi _{n}\}$ для гильбертова пространства след определяется как $$\operatorname {Tr} {\mathcal {L}}=\sum _{n}\langle \psi _{n},{\mathcal {L}}\psi _{n}\rangle .$$

Очевидно, сумма сходится абсолютно, и можно доказать, что результат не зависит от базиса. . Можно показать, что этот след идентичен сумме собственных значений ${\mathcal {L}}$ (считается с кратностью).

банаховых пространствах

Основная статья: ядро ​​Фредгольма

Определение оператора ядерного класса было распространено на банаховые пространства Александром Гротендиком в 1955 году.

Позволять $A$ и $B$ быть банаховыми пространствами и $A^{\prime }$ быть двойником ​ $A,$ то есть множество всех непрерывных или (что эквивалентно) ограниченных линейных функционалов на $A$ с обычной нормой. Существует каноническая оценочная карта $$A^{\prime }\otimes B\to \operatorname {Hom} (A,B)$$(из проективного тензорного произведения $A$ и $B$ в банахово пространство непрерывных линейных отображений из $A$ к $B$). Это определяется отправкой $f\in A^{\prime }$ и $b\in B$ на линейную карту $a\mapsto f(a)\cdot b.$Оператор ${\mathcal {L}}\in \operatorname {Hom} (A,B)$ называется ядерным , если он находится в образе этой оценочной карты.

q -ядерные операторы

Оператор $${\mathcal {L}}:A\to B$$считается ядерным порядком $q$ если существуют последовательности векторов $\{g_{n}\}\in B$ с $\Vert g_{n}\Vert \leq 1,$ функционалы $\left\{f_{n}^{*}\right\}\in A^{\prime }$ с $\Vert f_{n}^{*}\Vert \leq 1$ и комплексные числа $\{\rho _{n}\}$ с $$\sum _{n}|\rho _{n}|^{q}<\infty ,$$так что оператор можно записать как $${\mathcal {L}}=\sum _{n}\rho _{n}f_{n}^{*}(\cdot )g_{n}$$со сходящейся по операторной норме суммой.

Ядерные операторы первого порядка называются ядерными операторами : это те, для которых ряд $\sum \rho _{n}$ абсолютно сходится. Ядерные операторы второго порядка называются операторами Гильберта–Шмидта .

Связь с операторами класса трассировки

С помощью дополнительных шагов можно определить трассировку для таких операторов, когда $A=B.$

Свойства

След и определитель больше не могут быть определены, вообще говоря, в банаховых пространствах. Однако их можно определить для так называемого ${\tfrac {2}{3}}$-ядерные операторы посредством теоремы Гротендика о следах .

Обобщения

В более общем смысле, оператор из локально выпуклого топологического векторного пространства. $A$ в банахово пространство $B$ называется ядерным , если он удовлетворяет приведенному выше условию со всеми $f_{n}^{*}$ ограниченный единицей в некоторой фиксированной окрестности нуля.

Распространение концепции ядерных карт на произвольные моноидальные категории дано Штольцем и Тейхнером (2012) . Моноидальную категорию можно рассматривать как категорию, наделенную подходящим понятием тензорного произведения. Примером моноидальной категории является категория банаховых пространств или, альтернативно, категория локально выпуклых полных хаусдорфовых пространств; оба оснащены проективным тензорным произведением. Карта $f:A\to B$ в моноидальной категории называется толстой, если ее можно записать в виде композиции $$A\cong I\otimes A{\stackrel {t\otimes \operatorname {id} _{A}}{\longrightarrow }}B\otimes C\otimes A{\stackrel {\operatorname {id} _{B}\otimes s}{\longrightarrow }}B\otimes I\cong B$$для подходящего объекта $C$ и карты $t:I\to B\otimes C,s:C\otimes A\to I,$ где $I$ является моноидальной единицей.

В моноидальной категории банаховых пространств, снабженных проективным тензорным произведением, отображение является толстым тогда и только тогда, когда оно ядерно.

Примеры

Предположим, что $f:H_{1}\to H_{2}$ и $g:H_{2}\to H_{3}$ являются операторами Гильберта-Шмидта между гильбертовыми пространствами. Тогда композиция $g\circ f:H_{1}\to H_{3}$ является ядерным оператором .

См. также

• Топологическое тензорное произведение - конструкции тензорных произведений для топологических векторных пространств.
• Ядерный оператор - линейный оператор, связанный с топологическими векторными пространствами.
• Ядерное пространство - обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств.

Ссылки

• А. Гротендик (1955), Топологические тензорные произведения и ядерное пространство, Mem. Матем.Соц. 16 . МИСТЕР 0075539
• А. Гротендик (1956), Теория Фредгольма, Бюлл. Соц. Математика. Франция , 84 : 319–384. МИСТЕР 0088665
• А. Хинрикс и А. Питш (2010), p -ядерные операторы в смысле Гротендика, Mathematical News 283 : 232–261. дои : 10.1002/mana.200910128 . МИСТЕР 2604120
• Г.Л. Литвинов (2001) [1994], «Ядерный оператор» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Шефер, Х.Х.; Вольф, М.П. (1999), Топологические векторные пространства , Тексты для аспирантов по математике, вып. 3 (2-е изд.), Springer, номер документа : 10.1007/978-1-4612-1468-7 , ISBN.  0-387-98726-6
• Штольц, Стефан; Тейхнер, Питер (2012), «Следы в моноидальных категориях», Transactions of the American Mathematical Society , 364 (8): 4425–4464, arXiv : 1010.4527 , doi : 10.1090/S0002-9947-2012-05615-7 , MR   2912459