Оператор Гильберта – Шмидта

В математике оператор Гильберта–Шмидта , названный в честь Дэвида Гильберта и Эрхарда Шмидта , является ограниченным оператором. $A\colon H\to H$ который действует в гильбертовом пространстве $H$ и имеет конечную норму Гильберта–Шмидта

$\|A\|_{\operatorname {HS} }^{2}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|_{H}^{2},$

где $\{e_{i}:i\in I\}$ является ортонормированным базисом . ^[1]^[2] Набор индексов $I$ не обязательно должны быть счетными. Однако чтобы сумма справа имела смысл, она должна содержать не более счетного числа ненулевых членов. ^[3] Это определение не зависит от выбора ортонормированного базиса. В конечномерном евклидовом пространстве норма Гильберта–Шмидта $\|\cdot \|_{\text{HS}}$ идентична норме Фробениуса .

||·|| _ГС четко определен

Норма Гильберта–Шмидта не зависит от выбора ортонормированного базиса. Действительно, если $\{e_{i}\}_{i\in I}$ и $\{f_{j}\}_{j\in I}$ являются такими базами, то $\sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}=\sum _{i,j}\left|\langle Ae_{i},f_{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{i,j}\left|\langle e_{i},A^{*}f_{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{j}\|A^{*}f_{j}\|^{2}.$ Если $e_{i}=f_{i},$ затем ${\textstyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}=\sum _{i}\|A^{*}e_{i}\|^{2}.}$ Как и любой ограниченный оператор, $A=A^{**}.$ Замена $A$ с $A^{*}$ в первой формуле получим ${\textstyle \sum _{i}\|A^{*}e_{i}\|^{2}=\sum _{j}\|Af_{j}\|^{2}.}$ Далее следует независимость.

Примеры

Важный класс примеров представляют интегральные операторы Гильберта–Шмидта . Каждый ограниченный оператор с конечномерным диапазоном значений (их называют операторами конечного ранга) является оператором Гильберта–Шмидта. Тождественный оператор в гильбертовом пространстве является оператором Гильберта–Шмидта тогда и только тогда, когда гильбертово пространство конечномерно. Учитывая любой $x$ и $y$ в $H$ , определять $x\otimes y:H\to H$ к $(x\otimes y)(z)=\langle z,y\rangle x$ , который является непрерывным линейным оператором ранга 1 и, следовательно, оператором Гильберта–Шмидта; более того, для любого ограниченного линейного оператора $A$ на $H$ (и в $H$ ), $\operatorname {Tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle$ . ^[4]

Если $T:H\to H$ — ограниченный компактный оператор с собственными значениями $\ell _{1},\ell _{2},\dots$ из $|T|={\sqrt {T^{*}T}}$ , где каждое собственное значение повторяется так часто, как его кратность, то $T$ является Гильбертом–Шмидтом тогда и только тогда, когда ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}<\infty }$ , и в этом случае норма Гильберта–Шмидта $T$ является ${\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}}}}$ . ^[5]

Если $k\in L^{2}\left(\mu \times \mu \right)$ , где $\left(X,\Omega ,\mu \right)$ — пространство с мерой, то интегральный оператор $K:L^{2}\left(\mu \right)\to L^{2}\left(\mu \right)$ с ядром $k$ является оператором Гильберта–Шмидта и $\left\|K\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|k\right\|_{2}$ . ^[5]

Пространство операторов Гильберта–Шмидта

Произведение двух операторов Гильберта – Шмидта имеет конечную ядерную норму ; следовательно, если A и B — два оператора Гильберта–Шмидта, внутренний продукт Гильберта–Шмидта можно определить как

$\langle A,B\rangle _{\text{HS}}=\operatorname {Tr} (A^{*}B)=\sum _{i}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle .$

Операторы Гильберта–Шмидта образуют двусторонний *-идеал в банаховой алгебре ограниченных операторов на $H$ . Они также образуют гильбертово пространство, обозначаемое $B HS (H)$ или $B 2 (H)$ , которое, как можно показать, естественно изометрически изоморфно тензорному произведению гильбертовых пространств.

$H^{*}\otimes H,$

где $Н *$ является пространством H $.$ двойственным Норма, индуцированная этим скалярным произведением, представляет собой норму Гильберта–Шмидта, при которой пространство операторов Гильберта–Шмидта является полным (таким образом превращая его в гильбертово пространство). ^[4] Пространство всех ограниченных линейных операторов конечного ранга (т. е. имеющих конечномерный образ) является плотным подмножеством пространства операторов Гильберта–Шмидта (с нормой Гильберта–Шмидта). ^[4]

Множество операторов Гильберта–Шмидта замкнуто в топологии нормы тогда и только тогда, когда $H$ конечномерно.

Характеристики

Каждый оператор Гильберта–Шмидта $T : H \to H$ является компактным оператором . ^[5]
Ограниченный линейный оператор $T : H \to H$ является Гильбертом–Шмидтом тогда и только тогда, когда то же самое верно для оператора ${\textstyle \left|T\right|:={\sqrt {T^{*}T}}}$ , и в этом случае нормы Гильберта–Шмидта T и | Т | равны. ^[5]
Операторы Гильберта–Шмидта являются ядерными операторами порядка 2 и, следовательно, являются компактными операторами . ^[5]
Если $S:H_{1}\to H_{2}$ и $T:H_{2}\to H_{3}$ являются операторами Гильберта–Шмидта между гильбертовыми пространствами, то композиция $T\circ S:H_{1}\to H_{3}$ является ядерным оператором . ^[3]
Если $T : H \to H$ — ограниченный линейный оператор, то имеем $\left\|T\right\|\leq \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }$ . ^[5]
$T$ является оператором Гильберта–Шмидта тогда и только тогда, когда след $\operatorname {Tr}$ неотрицательного самосопряженного оператора $T^{*}T$ конечно, и в этом случае $\|T\|_{\text{HS}}^{2}=\operatorname {Tr} (T^{*}T)$ . ^[1]^[2]
Если $T : H \to H$ — ограниченный линейный оператор в $H$ и $S : H \to H$ — оператор Гильберта–Шмидта в $H$ , то $\left\|S^{*}\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }$ , $\left\|TS\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|T\right\|\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }$ , и $\left\|ST\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }\left\|T\right\|$ . ^[5] В частности, композиция двух операторов Гильберта–Шмидта снова является оператором Гильберта–Шмидта (и даже оператором ядерного класса ). ^[5]
Пространство операторов Гильберта–Шмидта на $H$ является идеалом пространства ограниченных операторов $B\left(H\right)$ содержащее операторы конечного ранга. ^[5]
Если $A$ — оператор Гильберта–Шмидта в $H$ , то $\|A\|_{\text{HS}}^{2}=\sum _{i,j}|\langle e_{i},Ae_{j}\rangle |^{2}=\|A\|_{2}^{2}$ где $\{e_{i}:i\in I\}$ является базисом H и ортонормированным $\|A\|_{2}$ является Шаттена нормой $A$ для $р = 2$ . В евклидовом пространстве $\|\cdot \|_{\text{HS}}$ также называется нормой Фробениуса .

См. также

Внутреннее произведение Фробениуса — двоичная операция, принимает две матрицы и возвращает скаляр.
Sazonov's theorem
Класс трассировки - компактный оператор, для которого можно определить конечный след.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Мослехян, MS «Оператор Гильберта – Шмидта (из MathWorld)» .
^ Jump up to: ^а ^б Войцеховский, М.И. (2001) [1994], «Оператор Гильберта-Шмидта» , Энциклопедия Математики , EMS Press
^ Jump up to: ^а ^б Шефер 1999 , с. 177.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Конвей 1990 , с. 268.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Конвей 1990 , с. 267.

Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9 . OCLC 21195908 .
Шефер, Хельмут Х. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 3. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .

[MathWorld-1] Jump up to: ^а ^б Мослехян, MS «Оператор Гильберта – Шмидта (из MathWorld)» .

[EOM-2] Jump up to: ^а ^б Войцеховский, М.И. (2001) [1994], «Оператор Гильберта-Шмидта» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[FOOTNOTESchaefer1999177-3] Jump up to: ^а ^б Шефер 1999 , с. 177.

[FOOTNOTEConway1990268-4] Jump up to: ^а ^б ^с Конвей 1990 , с. 268.

[FOOTNOTEConway1990267-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Конвей 1990 , с. 267.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и гильбертовы пространства
Основные понятия	заместитель Внутренний продукт и L-полувнутренний продукт Гильбертово пространство и прегильбертово пространство. Ортогональное дополнение Ортонормированный базис
Основные результаты	Неравенство Бесселя Неравенство Коши – Шварца Представительство Рисса
Другие результаты	Теорема о проекции Гильберта Личность Парсеваля Поляризационная идентичность ( закон параллелограмма )
Карты	Компактный оператор в гильбертовом пространстве Плотно определены Эрмитова форма Гильберт-Шмидт Нормальный Самосопряженный Полуторалинейная форма Класс трассировки Унитарный
Примеры	С ^н( K ) с K компактным и n <∞ Сигал–Баргманн Ф

v т и Топологические тензорные произведения и ядерные пространства
Основные понятия	Вспомогательные нормированные пространства Ядерный космос Тензорное произведение Топологическое тензорное произведение гильбертовых пространств
Топологии	Индуктивное тензорное произведение Инъективное тензорное произведение Проективное тензорное произведение
Операторы/Карты	Определитель Фредгольма Ядро Фредгольма Оператор Гильберта – Шмидта Гипонепрерывность Интеграл Ядерный между банаховыми пространствами Класс трассировки
Теоремы	Теорема Гротендика о следах Теорема о ядре Шварца

||·|| ГС четко определен