Внутренний продукт Фробениуса

В математике — внутренний продукт Фробениуса это бинарная операция, которая принимает две матрицы и возвращает скаляр . Его часто обозначают $\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }$. Операция представляет собой покомпонентное скалярное произведение двух матриц, как если бы они были векторами, и удовлетворяет аксиомам для внутреннего произведения. Две матрицы должны иметь одинаковую размерность — одинаковое количество строк и столбцов, но не ограничиваются квадратными матрицами .

Определение

Даны две комплексные числовые размера n × m матрицы A и B , записанные явно как

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}}$

внутренний продукт Фробениуса определяется как:

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i,j}{\overline {A_{ij}}}B_{ij}\,=\mathrm {Tr} \left({\overline {\mathbf {A} ^{T}}}\mathbf {B} \right)\equiv \mathrm {Tr} \left(\mathbf {A} ^{\!\dagger }\mathbf {B} \right)$

где черта сверху обозначает комплексно-сопряженное , а $\dagger$ обозначает эрмитово сопряжение . Явно эта сумма равна

${\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=&{\overline {A}}_{11}B_{11}+{\overline {A}}_{12}B_{12}+\cdots +{\overline {A}}_{1m}B_{1m}\\&+{\overline {A}}_{21}B_{21}+{\overline {A}}_{22}B_{22}+\cdots +{\overline {A}}_{2m}B_{2m}\\&\vdots \\&+{\overline {A}}_{n1}B_{n1}+{\overline {A}}_{n2}B_{n2}+\cdots +{\overline {A}}_{nm}B_{nm}\\\end{aligned}}$

Расчет очень похож на скалярное произведение , которое, в свою очередь, является примером внутреннего продукта.

Связь с другими продуктами

Если каждая из A и B — вещественная матрица, внутренний продукт Фробениуса представляет собой сумму элементов произведения Адамара . Если матрицы векторизованы (т. е. преобразованы в векторы-столбцы, обозначаемые « $\mathrm {vec} (\cdot )$"), затем

$\mathrm {vec} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}A_{11}\\A_{12}\\\vdots \\A_{21}\\A_{22}\\\vdots \\A_{nm}\end{pmatrix}},\quad \mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}\,,$$\quad {\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}{\overline {A}}_{11}&{\overline {A}}_{12}&\cdots &{\overline {A}}_{21}&{\overline {A}}_{22}&\cdots &{\overline {A}}_{nm}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}$

Поэтому

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )\,.$

Свойства

Как и любой внутренний продукт, это полуторалинейная форма для четырех комплексных матриц A , B , C , D и двух комплексных чисел a и b :

$\langle a\mathbf {A} ,b\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {a}}b\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }$

$\langle \mathbf {A} +\mathbf {C} ,\mathbf {B} +\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }=\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {A} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }$

Кроме того, замена матриц представляет собой комплексное сопряжение:

$\langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}}$

Для той же матрицы

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }\geq 0$,

и,

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=0\Longleftrightarrow \mathbf {A} =\mathbf {0}$.

Норма Фробениуса

Внутренний продукт индуцирует норму Фробениуса

$\|\mathbf {A} \|_{\mathrm {F} }={\sqrt {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }}}\,.$

Примеры

Матрицы с действительными значениями

Для двух действительных матриц, если

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0&6\\1&-1&2\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1&-5\end{pmatrix}}$

затем

${\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\&=21\end{aligned}}$

Комплексные матрицы

Для двух комплексных матриц, если

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1+i&-2i\\3&-5\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-2&3i\\4-3i&6\end{pmatrix}}$

затем

${\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=(1-i)\cdot (-2)+2i\cdot 3i+3\cdot (4-3i)+(-5)\cdot 6\\&=-26-7i\end{aligned}}$

пока

${\begin{aligned}\langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }&=(-2)\cdot (1+i)+(-3i)\cdot (-2i)+(4+3i)\cdot 3+6\cdot (-5)\\&=-26+7i\end{aligned}}$

Внутренние произведения Фробениуса A с самим собой и B с самим собой соответственно равны

$\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=2+4+9+25=40$$\qquad \langle \mathbf {B} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=4+9+25+36=74$

См. также

• Произведение Адамара (матрицы)
• Внутренний продукт Гильберта – Шмидта
• Продукт Кронекера
• Матричный анализ
• Умножение матрицы
• Матрица норма
• Тензорное произведение гильбертовых пространств - внутреннее произведение Фробениуса - это особый случай, когда векторные пространства представляют собой конечномерные действительные или комплексные векторные пространства с обычным евклидовым внутренним произведением.