Матричный анализ

В математике , особенно в линейной алгебре и приложениях, матричный анализ — это изучение матриц и их алгебраических свойств. ^[1] Некоторые конкретные темы из многих включают в себя; операции, определенные над матрицами (такие как сложение матриц , умножение матриц и операции, полученные из них), функции матриц (такие как возведение матрицы в степень и матричный логарифм и даже синусы, косинусы и т. д. матриц), а также собственные значения матриц ( собственное разложение матриц). матрица , теория возмущений собственных значений ). ^[2]

Матричные пространства

Набор всех матриц размера m × n над полем F, обозначенным в этой статье M _mn ( F ), образует векторное пространство . Примеры F включают набор рациональных чисел $\mathbb {Q}$ , реальные цифры $\mathbb {R}$ , и набор комплексных чисел $\mathbb {C}$ . Пространства M _mn ( F ) и M _pq ( F ) являются разными пространствами, если m и p неравны, а также если n и q неравны; например М ₃₂ ( F ) ≠ M ₂₃ ( F ). Две размером m × n матрицы A и B в M _mn ( F ) можно сложить вместе, чтобы сформировать другую матрицу в пространстве M _mn ( F ):

\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in M_{mn}(F)\,,\quad \mathbf {A} +\mathbf {B} \in M_{mn}(F)

и умножается на α в F , чтобы получить другую матрицу в M _mn ( F ):

\alpha \in F\,,\quad \alpha \mathbf {A} \in M_{mn}(F)

Объединив эти два свойства, линейная комбинация матриц A и B в M _mn ( F ) представляет собой другую матрицу в M _mn ( F ):

\alpha \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \in M_{mn}(F)

где α и β — числа из F .

Любая матрица может быть выражена как линейная комбинация базисных матриц, которые играют роль базисных векторов матричного пространства. Например, для набора матриц 2 × 2 над полем действительных чисел: $M_{22}(\mathbb {R} )$ , один законный базисный набор матриц:

{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,

потому что любую матрицу 2 × 2 можно выразить как:

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,

где a , b , c , d — все действительные числа. Эта идея применима и к другим полям и матрицам более высоких размерностей.

Детерминанты

Определитель . является квадратной матрицы важным свойством Определитель указывает, является ли матрица обратимой (т. е. существует обратная матрица , когда определитель не равен нулю). Определители используются для нахождения собственных значений матриц (см. ниже), а также для решения системы линейных уравнений (см. правило Крамера ).

Собственные значения и собственные векторы матриц

Определения

Матрица n × n размера A имеет собственные векторы x и собственные значения λ, определенные соотношением:

\mathbf {A} \mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}

Другими словами, матричное умножение A, за которым следует собственный вектор x (здесь n -мерная матрица-столбец ), аналогично умножению собственного вектора на собственное значение. У матрицы размера n × n имеется n собственных значений. Собственные значения являются корнями характеристического многочлена :

p_{\mathbf {A} }(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0

где I — n × n единичная матрица размера .

Корни многочленов, в данном контексте собственные значения, могут быть разными, а некоторые могут быть равными (в этом случае собственное значение имеет кратность — количество раз, когда собственное значение встречается). После решения собственных значений собственные векторы, соответствующие собственным значениям, можно найти с помощью определяющего уравнения.

Возмущения собственных значений

Сходство матрицы

Две размера n × n матрицы A и B подобны, если они связаны преобразованием подобия :

\mathbf {B} =\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1}

Матрица P называется матрицей подобия и обязательно обратима .

Унитарное сходство

Канонические формы

Форма эшелона строк

Джордан в нормальной форме

Каноническая форма Вейра

Нормальная форма Фробениуса

Треугольная факторизация

LU-разложение

Разложение LU разбивает матрицу на матричное произведение верхней треугольной матрицы и нижней треугольной матрицы.

Матричные нормы

Поскольку матрицы образуют векторные пространства, можно формировать аксиомы (аналогичные аксиомам векторов), чтобы определить «размер» конкретной матрицы. Норма матрицы – положительное действительное число.

Определение и аксиомы

Для всех матриц A и B в M _mn ( F ) и всех чисел α в F норма матрицы, ограниченная двойными вертикальными чертами || ... ||, выполняется: ^{[примечание 1]}

Неотрицательный :

\|\mathbf {A} \|\geq 0

с равенством только для A = 0 , нулевой матрицы .

Скалярное умножение :

\|\alpha \mathbf {A} \|=|\alpha |\|\mathbf {A} \|

Треугольное неравенство :

\|\mathbf {A} +\mathbf {B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|

Норма Фробениуса

Норма Фробениуса аналогична скалярному произведению евклидовых векторов; умножьте элементы матрицы по пунктам, сложите результаты, затем извлеките положительный квадратный корень :

\|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} :\mathbf {A} }}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(A_{ij})^{2}}}

Он определен для матриц любой размерности (т.е. нет ограничений на квадратные матрицы).

Положительно определенные и полуопределенные матрицы

Функции

Элементы матрицы не ограничиваются постоянными числами, они могут быть математическими переменными .

Функции матриц

Функции матрицы принимают матрицу и возвращают что-то еще (число, вектор, матрицу и т. д.).

Матричные функции

Функция с матричным значением принимает что-то (число, вектор, матрицу и т. д.) и возвращает матрицу.

См. также

Другие отрасли анализа

Другие понятия линейной алгебры

Виды матрицы

Матричные функции

Сноски

^ Некоторые авторы, например Хорн и Джонсон, используют тройные вертикальные полосы вместо двойных: ||| А |||.

Ссылки

Примечания

^ Р. А. Хорн, Ч. Р. Джонсон (2012). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-052-183-940-2 .
^ Нью-Джерси Хайэм (2000). Функции матриц: теория и вычисления . СИАМ. ISBN 089-871-777-9 .

Дальнейшее чтение

К. Мейер (2000). Книга и руководство по матричному анализу и прикладной линейной алгебре . Том. 2. СИАМ. ISBN 089-871-454-0 .
ТС Шорс (2007). Прикладная линейная алгебра и матричный анализ . Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер. ISBN 978-038-733-195-9 .
Раджендра Бхатия (1997). Матричный анализ . Серия матричного анализа. Том. 169. Спрингер. ISBN 038-794-846-5 .
Алан Дж. Лауб (2012). Вычислительный матричный анализ . СИАМ. ISBN 978-161-197-221-4 .

[3] Некоторые авторы, например Хорн и Джонсон, используют тройные вертикальные полосы вместо двойных: ||| А |||.

[1] Р. А. Хорн, Ч. Р. Джонсон (2012). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-052-183-940-2 .

[2] Нью-Джерси Хайэм (2000). Функции матриц: теория и вычисления . СИАМ. ISBN 089-871-777-9 .

[1]

[2]

[примечание 1]