Матричный полином

Не путать с полиномиальной матрицей .

В математике матричный полином — это многочлен с квадратными матрицами в качестве переменных. Учитывая обычный скалярный полином

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},$

этот полином оценивается в матрице $A$ является

$P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},$

где $I$ является единичной матрицей .

Обратите внимание, что $P(A)$ имеет ту же размерность, что и $A$.

Матричное полиномиальное уравнение — это равенство между двумя матричными полиномами, которое справедливо для конкретных рассматриваемых матриц. Матричное полиномиальное тождество — это матричное полиномиальное уравнение, которое справедливо для всех матриц A в заданном кольце матриц M _n ( R ).

Матричные полиномы часто демонстрируются на курсах линейной алгебры студентов из-за их значимости для демонстрации свойств линейных преобразований, представленных в виде матриц, в первую очередь теоремы Кэли-Гамильтона .

Характеристический и минимальный полином

Характеристический полином матрицы A представляет собой скалярный полином, определяемый формулой $p_{A}(t)=\det \left(tI-A\right)$. Теорема Кэли-Гамильтона утверждает, что если этот полином рассматривать как матричный полином и оценивать по матрице $A$ сам по себе результатом является нулевая матрица: $p_{A}(A)=0$. Полином аннулирует $A$ если $p(A)=0$; $p$ также известен как аннулирующий полином . Таким образом, характеристический многочлен — это многочлен, аннулирующий $A$.

Существует единственный монический многочлен минимальной степени, аннулирующий $A$; этот полином является минимальным полиномом . Любой полином, который аннулирует $A$ (например, характеристический полином) кратен минимальному многочлену.

Отсюда следует, что для двух многочленов $P$ и $Q$, у нас есть $P(A)=Q(A)$ тогда и только тогда, когда

$P^{(j)}(\lambda _{i})=Q^{(j)}(\lambda _{i})\qquad {\text{for }}j=0,\ldots ,n_{i}-1{\text{ and }}i=1,\ldots ,s,$

где $P^{(j)}$ обозначает $j$-я производная от $P$ и $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{s}$ являются собственными значениями $A$ с соответствующими индексами $n_{1},\dots ,n_{s}$ (индекс собственного значения — это размер его наибольшего жорданового блока ).

Матрица геометрического ряда

Матричные полиномы можно использовать для суммирования матричных геометрических рядов, как и обычных геометрических рядов .

$S=I+A+A^{2}+\cdots +A^{n}$

$AS=A+A^{2}+A^{3}+\cdots +A^{n+1}$

$(I-A)S=S-AS=I-A^{n+1}$

$S=(I-A)^{-1}(I-A^{n+1})$

Если $I-A$ несингулярен, можно вычислить выражение суммы $S$.

См. также

• Теорема Латимера – Макдаффи
• Матричная экспонента
• Матричная функция

Ссылки

• Гохберг, Израиль; Ланкастер, Питер ; Родман, Лейба (2009) [1982]. Матричные полиномы . Классика прикладной математики. Том. 58. Ланкастер, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики . ISBN  978-0-898716-81-8 . Збл   1170.15300 .
• Хайэм, Николас Дж. (2000). Функции матриц: теория и вычисления . СИАМ. ISBN  089-871-777-9 . .
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1990). Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-38632-6 . .