Аналитическая функция матрицы

В математике каждая аналитическая функция может использоваться для определения матричной функции , которая отображает квадратные матрицы с комплексными элементами в квадратные матрицы того же размера.

Это используется для определения экспоненты матрицы , которая участвует в решении в замкнутой форме систем линейных дифференциальных уравнений .

Распространение скалярной функции на матричные функции

Существует несколько методов преобразования вещественной функции в квадратную матричную функцию, позволяющую сохранить интересные свойства. Все следующие методы дают одну и ту же матричную функцию, но области, в которых определяется функция, могут различаться.

Силовая серия

Если аналитическая функция $f$ имеет разложение Тейлора $f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots$ тогда матричная функция $A\mapsto f(A)$ может быть определен путем замены $x$ на квадратную матрицу : степени становятся степенями матрицы , сложения становятся суммами матриц, а умножения на коэффициенты становятся скалярными умножениями . Если ряд сходится при $|x|<r$ , то соответствующий матричный ряд сходится для матриц $A$ таких, что $\|A\|<r$ для некоторой матричной нормы, удовлетворяющей $\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$ .

Диагонализуемые матрицы

Квадратная матрица $A$ называется диагонализируемой , если существует обратимая матрица $P$ такая, что $D=P^{-1}\,A\,P$ — диагональная матрица , то есть $D$ имеет вид $D={\begin{bmatrix}d_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &d_{n}\end{bmatrix}}.$

Как $A=P\,D\,P^{-1},$ это естественно установить $f(A)=P\,{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &f(d_{n})\end{bmatrix}}\,P^{-1}.$

Можно проверить, что матрица $(A) не$ зависит от конкретного выбора $P.$ f

Например, предположим, что кто-то ищет $\Gamma (A)=(A-1)!$ для $A={\begin{bmatrix}1&3\\2&1\end{bmatrix}}.$

У одного есть $A=P{\begin{bmatrix}1-{\sqrt {6}}&0\\0&1+{\sqrt {6}}\end{bmatrix}}P^{-1}~,$ для $P={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}~.$

Тогда применение формулы просто дает $\Gamma (A)={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Gamma (1-{\sqrt {6}})&0\\0&\Gamma (1+{\sqrt {6}})\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}2.8114&0.4080\\0.2720&2.8114\end{bmatrix}}~.$

Так же, $A^{4}={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}(1-{\sqrt {6}})^{4}&0\\0&(1+{\sqrt {6}})^{4}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}73&84\\56&73\end{bmatrix}}~.$

Жордановое разложение

Все комплексные матрицы, независимо от того, диагонализуемы они или нет, имеют жорданову нормальную форму. $A=P\,J\,P^{-1}$ , где матрица J состоит из жордановых блоков . Рассмотрим эти блоки отдельно и примените степенной ряд к блоку Жордана: $f\left({\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\vdots &\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&{\frac {f''(\lambda )}{2!}}&\cdots &{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&\vdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}\end{bmatrix}}.$

Это определение можно использовать для расширения области определения матричной функции.за пределами множества матриц со спектральным радиусом, меньшим радиуса сходимости степенного ряда.Обратите внимание, что существует также связь с разделенными различиями .

Родственным понятием является разложение Жордана – Шевалле , которое выражает матрицу как сумму диагонализуемой и нильпотентной частей.

Эрмитовые матрицы

Эрмитова матрица имеет все действительные собственные значения и всегда может быть диагонализирована унитарной матрицей P согласно спектральной теореме .В этом случае определение Жордана является естественным. Более того, это определение позволяет распространить стандартные неравенства нареальные функции:

Если $f(a)\leq g(a)$ для всех собственных значений $A$ , затем $f(A)\preceq g(A)$ .(По соглашению, $X\preceq Y\Leftrightarrow Y-X$ является положительно-полуопределенной матрицей .)Доказательство следует непосредственно из определения.

Интеграл Коши

Интегральная формула Коши из комплексного анализа также может использоваться для обобщения скалярных функций на матричные функции. Интегральная формула Коши утверждает, что для любой аналитической функции $f,$ определенной на множестве $D \subset C$ , имеет место $f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\!{\frac {f(z)}{z-x}}\,\mathrm {d} z~,$ где $C$ — замкнутая простая кривая внутри области $D,$ охватывающая $x$ .

Теперь замените $x$ матрицей $A$ и рассмотрите путь $C$ внутри $D$ , который включает в себя все собственные A $значения$ . Одна из возможностей достижения этого состоит в том, чтобы позволить $C$ быть кругом вокруг начала координат с радиусом , большим, чем $‖ A ‖$ для произвольной матричной нормы $‖ \cdot ‖$ . Тогда $f (A)$ определяется формулой $f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)\left(zI-A\right)^{-1}\mathrm {d} z\,.$

Этот интеграл можно легко вычислить численно, используя правило трапеций , которое сходится в этом случае экспоненциально. Это означает, что точность результата удваивается, когда количество узлов удваивается. В рутинных случаях это обходит формула Сильвестра .

Эта идея, примененная к ограниченным линейным операторам в банаховом пространстве , которое можно рассматривать как бесконечные матрицы, приводит к голоморфному функциональному исчислению .

Матричные возмущения

Приведенный выше степенной ряд Тейлора допускает скалярную $x$ заменить на матрицу. В целом это неверно при расширении с точки зрения $A(\eta )=A+\eta B$ о $\eta =0$ пока не $[A,B]=0$ . Контрпример $f(x)=x^{3}$ конечной длины , который имеет ряд Тейлора . Мы вычисляем это двумя способами:

Распределительный закон: $f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta (A^{2}B+ABA+BA^{2})+\eta ^{2}(AB^{2}+BAB+B^{2}A)+\eta ^{3}B^{3}$
Используя скалярное разложение Тейлора для $f(a+\eta b)$ и заменив скаляры матрицами в конце: ${\begin{aligned}f(a+\eta b)&=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!}}+f''(a){\frac {(\eta b)^{2}}{2!}}+f'''(a){\frac {(\eta b)^{3}}{3!}}\\[.5em]&=a^{3}+3a^{2}(\eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\\[.5em]&\to A^{3}=+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B)^{2}+(\eta B)^{3}\end{aligned}}$

Скалярное выражение предполагает коммутативность, а матричное выражение — нет, и поэтому их нельзя приравнять напрямую, если только $[A,B]=0$ . Для некоторых f ( x ) это можно решить тем же методом, что и скалярный ряд Тейлора. Например, ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ . Если $A^{-1}$ существует тогда $f(A+\eta B)=f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)f(A)$ . Тогда разложение первого члена следует степенному ряду, приведенному выше:

$f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)=\mathbb {I} -\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-\eta A^{-1}B)^{n}$

Затем применяются критерии сходимости степенного ряда, требующие $\Vert \eta A^{-1}B\Vert$ быть достаточно малым при соответствующей матричной норме. Для более общих задач, которые нельзя переписать таким образом, чтобы две матрицы коммутировали, необходимо отслеживать порядок матричных произведений, полученный в результате многократного применения правила Лейбница.

Произвольная функция матрицы 2×2

для произвольной функции f ( A ) матрицы A 2×2 Формула Сильвестра упрощается до $f(A)={\frac {f(\lambda _{+})+f(\lambda _{-})}{2}}I+{\frac {A-\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I}{\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}}{\frac {f(\lambda _{+})-f(\lambda _{-})}{2}}~,$ где $\lambda _{\pm }$ являются собственными значениями его характеристического уравнения, $| А - λI | = 0$ и имеют вид $\lambda _{\pm }={\frac {tr(A)}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}.$ Однако в случае вырождения используется следующая формула, где f' — производная f. $f(A)=f\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I+\mathrm {adj} \left({\frac {tr(A)}{2}}I-A\right)f'\left({\frac {tr(A)}{2}}\right).$

Примеры

Классы матричных функций

Используя полуопределенный порядок ( $X\preceq Y\Leftrightarrow Y-X$ является положительно-полуопределенным и $X\prec Y\Leftrightarrow Y-X$ положительно определена ), некоторыеклассов скалярных функций могут быть расширены до матричных функций от эрмитовых матриц . ^[2]

Оператор монотонный

Функция $f$ называется операторно-монотонной тогда и только тогда, когда $0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)$ для всех самосопряженных матриц $A, H$ со спектрами в области $f$ . Это аналогично монотонной функции в скалярном случае.

Оператор вогнутый/выпуклый

Функция $f$ называется операторно-вогнутой тогда и только тогда, когда $\tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)$ для всех самосопряженных матриц $A, H$ со спектрами в области $f$ и $\tau \in [0,1]$ . Это определение аналогично вогнутой скалярной функции . Операторную выпуклую функцию можно определить переключением $\preceq$ к $\succeq$ в определении выше.

Примеры

Матрица журнала является одновременно операторно-монотонной и операторно-вогнутой. Квадрат матрицы является операторно-выпуклым. Матричная экспонента не является ни одним из них. Теорема Лёвнера утверждает, что функция на открытом интервале является операторно-монотонной тогда и только тогда, когда она имеет аналитическое продолжение на верхнюю и нижнюю комплексные полуплоскости, так что верхняя полуплоскость отображается сама в себя. ^[2]

См. также

Примечания

^ Хайэм, Ник (15 декабря 2020 г.). «Что такое знаковая функция матрицы?» . Ник Хайэм . Проверено 27 декабря 2020 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бхатия, Р. (1997). Матричный анализ . Тексты для аспирантов по математике. Том. 169. Спрингер.

Ссылки

Хайэм, Николас Дж. (2008). Функции теории матриц и вычислений . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 9780898717778 .

[1] Хайэм, Ник (15 декабря 2020 г.). «Что такое знаковая функция матрицы?» . Ник Хайэм . Проверено 27 декабря 2020 г.

[Bhatia-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бхатия, Р. (1997). Матричный анализ . Тексты для аспирантов по математике. Том. 169. Спрингер.

[1]

[2]