Орден Лёвнера
В математике Левнера порядок — это частичный порядок, определяемый выпуклым конусом положительных полуопределенных матриц . Этот порядок обычно используется для обобщения определений монотонных и вогнутых/выпуклых скалярных функций на монотонные и вогнутые/выпуклые эрмитовые функции . Эти функции естественным образом возникают в теории матриц и операторов и находят приложения во многих областях физики и техники.
Определение
[ редактировать ]Пусть A и B — две эрмитовых матрицы порядка n . Мы говорим, что A ≥ B , если A − B положительно полуопределена . Аналогично мы говорим, что A > B, если A − B положительно определена .
Характеристики
[ редактировать ]Когда A и B являются вещественными скалярами (т.е. n = 1), порядок Левнера сводится к обычному порядку R . Хотя некоторые знакомые свойства обычного порядка R также справедливы и при n ≥ 2, некоторые свойства перестают быть действительными. Например, сравнимость двух матриц может оказаться недействительной. Фактически, если и тогда ни A ≥ B , ни B ≥ A не выполняются.
Более того, поскольку A и B являются эрмитовыми матрицами, все их собственные значения являются действительными числами.Если λ 1 ( B ) является максимальным собственным значением B и λ n ( A ) минимальным собственным значением A , достаточным критерием для того, чтобы A ≥ B, является то, что λ n ( A ) ≥ λ 1 ( B ). Если A или B кратны единичной матрице , то этот критерий также необходим.
Порядок Лёвнера не обладает свойством наименьшей верхней границы и, следовательно, не образует решетку .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Пукельсхайм, Фридрих (2006). Оптимальный план экспериментов . Общество промышленной и прикладной математики. стр. 11–12. ISBN 9780898716047 .
- Бхатия, Раджендра (1997). Матричный анализ . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9781461206538 .
- Чжан, Синчжи (2002). Матричные неравенства . Берлин: Шпрингер. стр. 1–15. ISBN 9783540437987 .