Матрица идентичности

Не путать с матрицей единиц , унитарной матрицей или матричной единицей .

В линейной алгебре единичная матрица размера $n$ это $n\times n$ квадратная матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах. Он обладает уникальными свойствами: например, когда единичная матрица представляет собой геометрическое преобразование, объект остается неизменным в результате преобразования. В других контекстах это аналогично умножению на число 1.

Терминология и обозначения

Единичную матрицу часто обозначают $I_{n}$или просто $I$ если размер несущественен или может быть тривиально определен контекстом.

$$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$$

Термин единичная матрица также широко использовался, но термин «идентичная матрица» теперь является стандартным. Термин «единичная матрица» неоднозначен, поскольку он также используется для обозначения матрицы единиц и любой единицы кольца всех. $n\times n$ матрицы .

В некоторых областях, таких как теория групп или квантовая механика , единичная матрица иногда обозначается жирным шрифтом, $\mathbf {1}$или называется «id» (сокращение от «идентичность»). Реже в некоторых книгах по математике используются $U$ или $E$ для представления единичной матрицы, что означает «единичная матрица» и немецкое слово Einheitsmatrix соответственно.

В терминах обозначений, которые иногда используются для краткого описания диагональных матриц , единичную матрицу можно записать как

$$I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).$$

Единичную матрицу также можно записать с использованием дельта-нотации Кронекера :

$$(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.$$

Свойства

Когда $A$ это $m\times n$ матрица, это свойство умножения матриц , которое

$$I_{m}A=AI_{n}=A.$$

В частности, единичная матрица служит мультипликативным тождеством кольца матриц всех $n\times n$ матрицы и как единичный элемент общей линейной группы $GL(n)$, который состоит из всех обратимых $n\times n$ матрицы при операции умножения матриц. В частности, единичная матрица обратима. Это инволютивная матрица , равная своей обратной. В этой группе две квадратные матрицы имеют единичную матрицу в качестве произведения ровно тогда, когда они являются обратными друг другу.

Когда $n\times n$ матрицы используются для представления линейных преобразований из $n$-мерное векторное пространство само по себе, единичная матрица $I_{n}$ представляет функцию идентичности , независимо от того, какой базис использовался в этом представлении.

The $i$й столбец единичной матрицы — это единичный вектор $e_{i}$, вектор, чей $i$эта запись равна 1 и 0 в другом месте. Определитель ее единичной матрицы равен 1, а след равен $n$.

Единичная матрица — единственная идемпотентная матрица с ненулевым определителем. То есть это единственная матрица такая, что:

1. При умножении на самого себя результат равен самому себе.
2. Все его строки и столбцы линейно независимы .

Главный квадратный корень единичной матрицы равен ей самой, и это ее единственный положительно определенный квадратный корень. Однако каждая единичная матрица, содержащая как минимум две строки и столбцы, имеет бесконечное количество симметричных квадратных корней.

Ранг единичной матрицы $I_{n}$ равен размеру $n$, то есть:

$$\operatorname {rank} (I_{n})=n.$$

См. также

• Бинарная матрица (матрица ноль-единица)
• Элементарная матрица
• Матрица обмена
• Матрица единиц
• Матрицы Паули (единичная матрица — это нулевая матрица Паули)
• Трансформация домохозяина (матрица домохозяев строится через матрицу идентичности)
• Квадратный корень из единичной матрицы 2 на 2
• Унитарная матрица
• Нулевая матрица