Квадратный корень матрицы

В математике квадратный корень из матрицы расширяет понятие квадратного корня с чисел на матрицы . матрица B Говорят, что является квадратным корнем из A, произведение матрицы BB равно A. если

Некоторые авторы используют название квадратный корень или обозначение A. ^1/2 только для конкретного случая, когда A положительно полуопределена , для обозначения уникальной матрицы B , которая является положительно полуопределенной и такой, что BB = B ^Т B = A (для вещественных матриц, где B ^Т является транспонированием B . )

Реже название квадратный корень может использоваться для любой факторизации положительной полуопределенной матрицы A как B. ^Т B = A , как в факторизации Холецкого , даже если BB ≠ A. Это особое значение обсуждается в разделе Положительно определенная матрица § Разложение .

Примеры

В общем случае матрица может иметь несколько квадратных корней. В частности, если $A=B^{2}$ затем $A=(-B)^{2}$ также.

2×2 Единичная матрица $\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ имеет бесконечно много квадратных корней. Они даны

${\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}$ и ${\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}$

где $(a,b,c)$ любые числа (действительные или комплексные) такие, что $a^{2}+bc=1$.В частности, если $(a,b,t)$ — это любая тройка Пифагора , то есть любой набор натуральных чисел такой, что $a^{2}+b^{2}=t^{2}$, затем ${\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}$ представляет собой матрицу с квадратным корнем из $I$ который симметричен и имеет рациональные элементы. Таким образом

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {4}{5}}&{\frac {3}{5}}\\{\frac {3}{5}}&-{\frac {4}{5}}\end{pmatrix}}^{2}.$

Минус тождество имеет квадратный корень, например:

$-{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}^{2},$

который можно использовать для представления мнимой единицы i и, следовательно, всех комплексных чисел с использованием действительных матриц 2 × 2, см. Матричное представление комплексных чисел .

Как и в случае с действительными числами , действительная матрица может не иметь вещественного квадратного корня, но иметь квадратный корень с комплексными элементами.Некоторые матрицы не имеют квадратного корня. Примером является матрица ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$

Хотя квадратный корень из неотрицательного целого числа снова является целым или иррациональным числом , напротив, целочисленная матрица может иметь квадратный корень, элементы которого являются рациональными, но нецелыми, как в примерах выше.

Положительные полуопределенные матрицы

Смотрите также: Положительно определенная матрица § Разложение

Симметричная вещественная матрица размера n × n называется положительно полуопределенной, если $x^{\textsf {T}}Ax\geq 0$ для всех $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (здесь $x^{\textsf {T}}$ обозначает транспонирование , превращающее вектор-столбец x в вектор-строку).Квадратная вещественная матрица является положительно полуопределенной тогда и только тогда, когда $A=B^{\textsf {T}}B$ для некоторой матрицы B . может быть много разных Таких матриц B .Положительная полуопределенная матрица A может также иметь много матриц B таких, что $A=BB$.Однако A всегда имеет ровно один квадратный корень B , который является положительно полуопределенным и симметричным.В частности, поскольку B был симметричным, требуется, чтобы $B=B^{\textsf {T}}$, поэтому два условия $A=BB$ или $A=B^{\textsf {T}}B$ эквивалентны.

Для комплексных матриц сопряженное транспонирование $B^{*}$ вместо этого используется, а положительные полуопределенные матрицы являются эрмитовыми , что означает $B^{*}=B$.

Теорема — Пусть A — положительно полуопределенная и симметричная матрица (обратите внимание, что A может быть положительно полуопределенной, но не симметричной). Тогда существует ровно одна положительно полуопределенная и симметричная матрица B такая, что $A=BB$. Обратите внимание, что может быть более одной несимметричной и положительно полуопределенной матрицы. $B$ такой, что $A=B^{T}B$

Эта уникальная матрица называется главной , неотрицательной или положительной квадратным корнем (последнее в случае положительно определенных матриц ).

Главный квадратный корень вещественной положительной полуопределенной матрицы действителен. Главный квадратный корень положительно определенной матрицы является положительно определенным; в более общем смысле, ранг главного квадратного корня из A такой же, как и ранг из A .

На этом наборе матриц операция извлечения главного квадратного корня непрерывна. Эти свойства являются следствием голоморфного функционального исчисления, примененного к матрицам. Существование и единственность главного квадратного корня можно вывести непосредственно из жордановой нормальной формы (см. ниже).

Матрицы с

Матрица размера n × n с n различными ненулевыми собственными значениями имеет 2 ^н квадратные корни. Такая матрица A имеет собственное разложение VDV ⁻¹ где V — матрица, столбцы которой являются собственными векторами A , а D — диагональная матрица, диагональные элементы которой являются соответствующими n собственными значениями λ _i . Таким образом, квадратные корни из A равны VD ^1/2 V ⁻¹ , где Д ^1/2 - любая матрица с квадратным корнем из D , которая для различных собственных значений должна быть диагональной с диагональными элементами, равными квадратным корням из диагональных элементов D ; поскольку существует два возможных варианта извлечения квадратного корня из каждого диагонального элемента D , существует 2 ^н выбор матрицы D ^1/2 .

Это также приводит к доказательству приведенного выше наблюдения о том, что положительно определенная матрица имеет ровно один положительно определенный квадратный корень: положительно определенная матрица имеет только положительные собственные значения, и каждое из этих собственных значений имеет только один положительный квадратный корень; и поскольку собственные значения матрицы квадратного корня являются диагональными элементами матрицы D ^1/2 , чтобы матрица квадратных корней сама была положительно определенной, необходимо использовать только уникальные положительные квадратные корни из исходных собственных значений.

Решения в закрытой форме

См. Также: Квадратный корень из матрицы 2 на 2.

Если матрица идемпотентна , то это означает, что $A^{2}=A$, то по определению один из ее квадратных корней является самой матрицей.

Диагональные и треугольные матрицы

Если D — диагональная размера n × n матрица $D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$,то некоторые из его квадратных корней являются диагональными матрицами $\operatorname {diag} (\mu _{1},\dots ,\mu _{n})$, где $\mu _{i}=\pm {\sqrt {\lambda _{i}}}$.Если диагональные элементы матрицы D действительны и неотрицательны, то она положительно полуопределена, а если квадратные корни взяты с неотрицательным знаком, результирующая матрица является главным корнем D. матрицы Диагональная матрица может иметь дополнительные недиагональные корни, если некоторые элементы на диагонали равны, как показано на примере единичной матрицы выше.

Если U — верхнетреугольная матрица (это означает, что ее элементы $u_{i,j}=0$ для $i>j$) и не более одного ее диагонального элемента равен нулю, то одно верхнетреугольное решение уравнения $B^{2}=U$ можно найти следующим образом.Поскольку уравнение $u_{i,i}=b_{i,i}^{2}$ должен быть удовлетворен, пусть $b_{i,i}$ быть главным квадратным корнем комплексного числа $u_{i,i}$.По предположению $u_{i,i}\neq 0$, это гарантирует, что $b_{i,i}+b_{j,j}\neq 0$ для всех i,j (потому что все главные квадратные корни комплексных чисел лежат на одной половине комплексной плоскости).Из уравнения

$u_{i,j}=b_{i,i}b_{i,j}+b_{i,i+1}b_{i+1,j}+b_{i,i+2}b_{i+2,j}+\dots +b_{i,j}b_{j,j}$

мы делаем вывод, что $b_{i,j}$ можно вычислить рекурсивно для $j-i$ увеличивается от 1 до n -1 как:

$b_{i,j}={\frac {1}{b_{i,i}+b_{j,j}}}\left(u_{i,j}-b_{i,i+1}b_{i+1,j}-b_{i,i+2}b_{i+2,j}-\dots -b_{i,j-1}b_{j-1,j}\right).$

Если U имеет верхнюю треугольную форму, но имеет несколько нулей на диагонали, то квадратный корень может не существовать, как показано на примере $\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)$.Обратите внимание, что диагональные элементы треугольной матрицы являются в точности ее собственными значениями (см. Треугольная матрица#Свойства ).

По диагонализации

Матрица n × n A размера является диагонализуемой , если существуют матрица V и диагональная матрица D такие, что A = VDV. ⁻¹ . Это происходит тогда и только тогда, когда A имеет n собственных векторов , которые составляют основу C. ^н . В этом случае V можно выбрать в качестве матрицы с n собственными векторами в качестве столбцов, и, таким образом, квадратный корень из A равен

$R=VSV^{-1}~,$

где S любой квадратный корень из D. — Действительно,

$\left(VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}\right)^{2}=VD^{\frac {1}{2}}\left(V^{-1}V\right)D^{\frac {1}{2}}V^{-1}=VDV^{-1}=A~.$

Например, матрица $A=\left({\begin{smallmatrix}33&24\\48&57\end{smallmatrix}}\right)$ можно диагонализировать как ВДВ ⁻¹ , где

$V={\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}}$ и $D={\begin{pmatrix}81&0\\0&9\end{pmatrix}}$.

D имеет главный квадратный корень

$D^{\frac {1}{2}}={\begin{pmatrix}9&0\\0&3\end{pmatrix}}$,

давая квадратный корень

$A^{\frac {1}{2}}=VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}={\begin{pmatrix}5&2\\4&7\end{pmatrix}}$.

Когда A симметричен, диагонализующую матрицу V можно сделать ортогональной матрицей , подходящим выбором собственных векторов (см. Спектральную теорему ). Тогда обратное V — это просто транспонирование, так что

$R=VSV^{\textsf {T}}~.$

Шура

Каждая комплексная квадратная матрица $A$, независимо от диагонализуемости, имеет разложение Шура , определяемое формулой $A=QUQ^{*}$ где $U$ имеет верхнюю треугольную форму и $Q$ является унитарным (то есть $Q^{*}=Q^{-1}$). Собственные значения ​ $A$ являются в точности диагональными элементами $U$;если не более одного из них равно нулю, то следующее является квадратным корнем

$A^{\frac {1}{2}}=QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}.$

где квадратный корень $U^{\frac {1}{2}}$ верхней треугольной матрицы $U$ можно найти, как описано выше.

Если $A$ положительно определена, то все собственные значения являются положительными действительными числами, поэтому выбранная диагональ $U^{\frac {1}{2}}$ также состоит из положительных реалов.Следовательно, собственные значения $QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}$ являются положительными действительными числами, что означает, что полученная матрица является главным корнем $A$.

Жордана

Как и в случае разложения Шура, каждая квадратная матрица $A$ можно разложить как $A=P^{-1}JP$ где P обратим , а J находится в жордановой нормальной форме .

Чтобы увидеть, что любая комплексная матрица с положительными собственными значениями имеет квадратный корень того же вида, достаточно проверить это на жордановом блоке. Любой такой блок имеет вид λ( I + N ) с λ > 0 и N нильпотентным . Если (1 + z ) ^1/2 = 1 + а ₁ z + а ₂ z ² + ⋯ — биномиальное разложение квадратного корня (действительно при | z | < 1), тогда его квадрат как формального степенного ряда равен 1 + z . Если заменить z на N , то только конечное число членов будет ненулевым и S = √λ ( I + а ₁ N + а ₂ N ² + ⋯) дает квадратный корень из жорданового блока с собственным значением √λ .

Достаточно проверить единственность жордановой клетки с λ = 1. Построенный выше квадрат имеет вид S = I + L , где L – полином от N без постоянного члена. Любой другой квадратный корень T с положительными собственными значениями имеет форму T = I + M с нильпотентным M , коммутирующим с N и, следовательно, с L . Но тогда 0 = S ² − Т ² знак равно 2( L - M )( я + ( L + M )/2) . Поскольку L и M коммутируют, матрица L + M нильпотентна, а I + ( L + M )/2 обратима с обратной матрицей, заданной рядом Неймана . Следовательно L = М. ,

Если A — матрица с положительными собственными значениями и минимальным многочленом p ( t ) , то разложение Жордана на обобщенные собственные пространства A можно вывести из разложения в частные дроби p ( t ) ⁻¹ . Соответствующие проекции на обобщенные собственные пространства задаются вещественными полиномами от A . В каждом собственном пространстве A имеет форму λ ( I + N ), как указано выше. Выражение степенного ряда для квадратного корня в собственном пространстве показывает, что главный квадратный корень из A имеет форму q ( A ), где q ( t ) является многочленом с действительными коэффициентами.

Серия Power

Напомним формальный степенной ряд ${\textstyle (1-z)^{\frac {1}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {1/2}{n}}z^{n}}$, который сходится при условии $\|z\|\leq 1$ (поскольку коэффициенты степенного ряда суммируемы). Подключение $z=I-A$ в это выражение дает

$A^{\frac {1}{2}}:=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{{\frac {1}{2}} \choose n}(I-A)^{n}$

при условии, что ${\textstyle \limsup _{n}\|(I-A)^{n}\|^{\frac {1}{n}}<1}$. В силу формулы Гельфанда это условие эквивалентно требованию, чтобы спектр $A$ содержится на диске $D(1,1)\subseteq \mathbb {C}$. Этот метод определения или вычисления $A^{\frac {1}{2}}$ особенно полезен в том случае, когда $A$ является положительно полуопределенным. В таком случае мы имеем ${\textstyle \left\|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|\leq 1}$ и поэтому ${\textstyle \left\|\left(I-{\frac {A}{\|A\|}}\right)^{n}\right\|\leq \left\|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|^{n}\leq 1}$, так что выражение ${\textstyle \|A\|^{\frac {1}{2}}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {1/2}{n}}\left(I-{\frac {A}{\|A\|}}\right)^{n}\right)}$ определяет квадратный корень из $A$ который, кроме того, оказывается единственным положительным полуопределенным корнем. Этот метод остается применимым для определения квадратных корней операторов в бесконечномерных банаховых или гильбертовых пространствах или некоторых элементов (С*) банаховых алгебр.

решения

Денмана

Другой способ найти квадратный корень из n × n матрицы A размера — это итерация квадратного корня Денмана – Биверса.

Пусть Y0 _A = × и Z0 ₌ размера I , где I — n n единичная матрица . Итерация определяется

${\begin{aligned}Y_{k+1}&={\frac {1}{2}}\left(Y_{k}+Z_{k}^{-1}\right),\\Z_{k+1}&={\frac {1}{2}}\left(Z_{k}+Y_{k}^{-1}\right).\end{aligned}}$

Поскольку при этом используется пара последовательностей обратных матриц, более поздние элементы которых изменяются сравнительно мало, только первые элементы имеют высокие вычислительные затраты, поскольку остаток может быть вычислен из более ранних элементов всего за несколько проходов варианта метода Ньютона для вычисления обратных матриц .

$X_{n+1}=2X_{n}-X_{n}BX_{n}.$

При этом для более поздних значений k можно было бы установить $X_{0}=Z_{k-1}^{-1}$ и $B=Z_{k},$ а затем использовать $Z_{k}^{-1}=X_{n}$ для некоторых маленьких $n$ (возможно, только 1), и аналогично для $Y_{k}^{-1}.$

Сходимость не гарантируется даже для матриц, имеющих квадратные корни, но если процесс сходится, матрица $Y_{k}$ сходится квадратично к квадратному корню A ^1/2 , пока $Z_{k}$ сходится к своему обратному, A ^−1/2 .

Вавилонским методом

Еще один итерационный метод получается путем применения известной формулы вавилонского метода вычисления квадратного корня из действительного числа и ее применения к матрицам. Пусть X ₀ = I , где I — единичная матрица . Итерация определяется

$X_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(X_{k}+AX_{k}^{-1}\right)\,.$

Опять же, сходимость не гарантирована, но если процесс сходится, то матрица $X_{k}$ сходится квадратично к квадратному корню A ^1/2 . По сравнению с итерацией Денмана-Биверса преимущество вавилонского метода состоит в том, что только одну обратную матрицу на каждом шаге итерации необходимо вычислять . С другой стороны, поскольку итерация Денмана-Биверса использует пару последовательностей обратных матриц, более поздние элементы которых изменяются сравнительно мало, только первые элементы имеют высокие вычислительные затраты, поскольку остаток может быть вычислен из более ранних элементов всего за несколько проходов вариант метода Ньютона для вычисления обратных значений (см. итерацию Денмана – Биверса выше); конечно, тот же подход можно использовать для получения единственной последовательности обратных операций, необходимой для вавилонского метода. Однако, в отличие от итерации Денмана-Биверса, вавилонский метод численно нестабильен и, скорее всего, не сможет сходиться.

Вавилонский метод следует из метода Ньютона для уравнения $X^{2}-A=0$ и использование $AX_{k}=X_{k}A$ для всех $k.$

из

В линейной алгебре и теории операторов для ограниченного положительного полуопределенного оператора (неотрицательного оператора) T в комплексном гильбертовом пространстве B является квадратным корнем из T , если T = B* B , где B* обозначает эрмитово сопряженное к B . Согласно спектральной теореме , непрерывное функциональное исчисление можно применить для получения оператора T ^1/2 такой, что Т ^1/2 сам по себе положителен и ( T ^1/2 ) ² = Т. ​Оператор Т ^1/2 — уникальный неотрицательный квадратный корень из T .

Ограниченный неотрицательный оператор в комплексном гильбертовом пространстве по определению самосопряжен. Итак, Т = ( Т ^1/2 )* Т ^1/2 . Обратно, тривиально верно, что всякий оператор вида В*В неотрицательен. Следовательно, оператор T неотрицательен тогда и только тогда, когда T = B* B для некоторого B (эквивалентно, T = CC* для некоторого C ).

Факторизация Холецкого представляет собой еще один частный пример квадратного корня, который не следует путать с уникальным неотрицательным квадратным корнем.

квадратных

Если T — неотрицательный оператор в конечномерном гильбертовом пространстве, то все квадратные корни из T связаны унитарными преобразованиями. Точнее, если T = A*A = B*B , то существует унитарный U такой, что A = UB .

Действительно, возьмем B = T ^{1 / 2} быть уникальным неотрицательным квадратным корнем из T . Если T строго положительное, то B обратимо, и поэтому U = AB ⁻¹ унитарен:

${\begin{aligned}U^{*}U&=\left(\left(B^{*}\right)^{-1}A^{*}\right)\left(AB^{-1}\right)=\left(B^{*}\right)^{-1}T\left(B^{-1}\right)\\&=\left(B^{*}\right)^{-1}B^{*}B\left(B^{-1}\right)=I.\end{aligned}}$

Если T неотрицательно, но не является строго положительным, то обратное к B невозможно определить, но Мура – ​​Пенроуза псевдообратное B ⁺ может быть. В этом случае оператор B ⁺ A — это частичная изометрия , то есть унитарный оператор из области T в себя. Затем это можно расширить до унитарного оператора U во всем пространстве, установив его равным единице в ядре T . В более общем смысле, это верно в бесконечномерном гильбертовом пространстве, если, кроме того, T имеет замкнутый диапазон . В общем, если A , B — замкнутые и плотно определенные операторы в гильбертовом пространстве H и A* A = B* B , то A = UB , где U — частичная изометрия.

Некоторые приложения

Квадратные корни и унитарная свобода квадратных корней находят применение в функциональном анализе и линейной алгебре.

Полярное разложение

Основная статья: Полярное разложение

Если A — обратимый оператор в конечномерном гильбертовом пространстве, то существуют единственный унитарный оператор U и положительный оператор P такие, что

$A=UP;$

это полярное разложение A . Положительный оператор P — это единственный положительный квадратный корень из положительного оператора A. ^∗ A и U определяется формулой U = AP ⁻¹ .

Если A не обратима, то она все равно имеет полярную композицию, в которой P определяется таким же образом (и является единственной). Унитарный оператор U не единственен. Скорее, можно определить «естественный» унитарный оператор следующим образом: AP ⁺ является унитарным оператором из области значений A до самого себя, который можно расширить тождеством в ядре A. ^∗ . Результирующий унитарный оператор U затем дает полярное разложение A .

Операторы Крауса

Основная статья: Теорема Чоя о вполне положительных отображениях

По результату Чоя линейное отображение

$\Phi :C^{n\times n}\to C^{m\times m}$

вполне положителен тогда и только тогда, когда он имеет вид

$\Phi (A)=\sum _{i}^{k}V_{i}AV_{i}^{*}$

где k ≤ нм . Пусть { E _pq } ⊂ C ^{п × п} будь н ² элементарные матричные единицы. Положительная матрица

$M_{\Phi }=\left(\Phi \left(E_{pq}\right)\right)_{pq}\in C^{nm\times nm}$

называется матрицей Чоя Φ. Операторы Крауса соответствуют, не обязательно квадратным, квадратным корням из M _Φ : для любого квадратного корня B из M _Φ можно получить семейство операторов Крауса Vi _, отменив операцию Vec для каждого столбца b _i из B . Таким образом, все множества операторов Крауса связаны частичными изометриями.

Смешанные ансамбли

Основная статья: Матрица плотности

В квантовой физике матрица плотности для n -уровневой квантовой системы представляет собой размера n × n комплексную матрицу ρ , положительно полуопределенную со следом 1. Если ρ можно выразить как

$\rho =\sum _{i}p_{i}v_{i}v_{i}^{*}$

где $p_{i}>0$ и Σ p _i = 1, множество

$\left\{p_{i},v_{i}\right\}$

называется ансамблем , описывающим смешанное состояние ρ . Обратите внимание: { v _i } не обязательно должен быть ортогональным. Различные ансамбли, описывающие состояние ρ, связаны унитарными операторами через квадратные корни из ρ . Например, предположим

$\rho =\sum _{j}a_{j}a_{j}^{*}.$

Условие трассы 1 означает

$\sum _{j}a_{j}^{*}a_{j}=1.$

Позволять

$p_{i}=a_{i}^{*}a_{i},$

и v _i — нормализованное a _i . Мы видим это

$\left\{p_{i},v_{i}\right\}$

дает смешанное состояние ρ .

См. также

• Матричная функция
• Голоморфное функциональное исчисление
• Логарифм матрицы
• Формула Сильвестра
• Квадратный корень из матрицы 2 на 2

Ссылки

• Бурбаки, Николя (2007), Спектральные теории, главы 1 и 2 , Springer, ISBN  978-3540353317
• Конвей, Джон Б. (1990), Курс функционального анализа , Тексты для аспирантов по математике, том. 96, Спрингер, стр. 199–205, ISBN.  978-0387972459 , Глава IV, Функциональное исчисление Рейса
• Ченг, Шеунг Хун; Хайэм, Николас Дж .; Кенни, Чарльз С.; Лауб, Алан Дж. (2001), «Приближение логарифма матрицы до заданной точности» (PDF) , SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 22 (4): 1112–1125, CiteSeerX   10.1.1.230.912 , doi : 10.1137/S0895479899364015 , заархивировано из оригинала (PDF) 9 августа 2011 г.
• Берлесон, Дональд Р., Вычисление квадратного корня из марковской матрицы: собственные значения и ряд Тейлора
• Денман, Юджин Д.; Биверс, Алекс Н. (1976), «Знаковая матричная функция и вычисления в системах», Applied Mathematics and Computation , 2 (1): 63–94, doi : 10.1016/0096-3003(76)90020-5
• Хайэм, Николас (2008), Функции матриц. Теория и вычисления , SIAM , ISBN  978-0-89871-646-7
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-54823-6 .
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1994), Темы матричного анализа , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0521467131
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .