Квадратный корень из матрицы 2 на 2

Квадратный корень из матрицы M 2×2 2×2 — это другая матрица R такая, что M = R ² , где Р ² обозначает матричное произведение R само на себя. может быть ноль, две, четыре или даже бесконечное число В общем, матриц с квадратным корнем . Во многих случаях такую ​​матрицу R можно получить по явной формуле.

Квадратные корни, которые не являются матрицей, состоящей из всех нулей, встречаются парами: если R является квадратным корнем из M , то − R также является квадратным корнем из M , поскольку (− R )(− R ) = (−1)(− 1)( РР ) = Р ² = М. ​
Матрица 2×2 с двумя различными ненулевыми собственными значениями имеет четыре квадратных корня. имеет Положительно определенная матрица ровно один положительно определенный квадратный корень.

Общая формула

Ниже приводится общая формула, применимая практически к любой матрице 2 × 2. Пусть данная матрица будет $$M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},$$где A , B , C и D могут быть действительными или комплексными числами. Далее, пусть = A + D — M след , τ а δ = AD − BC — его определитель . Пусть это будет так, что s ² = δ и t таков, что t ² = τ + 2с . То есть, $$s=\pm {\sqrt {\delta }},\qquad t=\pm {\sqrt {\tau +2s}}.$$Тогда, если t ≠ 0, квадратный корень из M равен $$R={\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}A+s&B\\C&D+s\end{pmatrix}}={\frac {1}{t}}\left(M+sI\right).$$

Действительно, квадрат R равен $${\begin{aligned}R^{2}&={\frac {1}{t^{2}}}{\begin{pmatrix}A^{2}+BC+2sA+s^{2}&AB+BD+2sB\\CA+DC+2sC&CB+D^{2}+2sD+s^{2}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\frac {1}{t^{2}}}{\begin{pmatrix}A^{2}+BC+2sA+AD-BC&AB+BD+2sB\\AC+CD+2sC&BC+D^{2}+2sD+AD-BC\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\frac {1}{A+D+2s}}{\begin{pmatrix}A(A+D+2s)&B(A+D+2s)\\C(A+D+2s)&D(A+D+2s)\end{pmatrix}}=M.\end{aligned}}$$

Обратите внимание, что R может иметь комплексные элементы, даже если M — действительная матрица; так будет, в частности, если определитель δ отрицателен.

Общий случай этой формулы — когда δ не равно нулю и τ ² ≠ 4 δ , и в этом случае s не равно нулю, а t не равно нулю для каждого выбора знака s . Тогда приведенная выше формула даст четыре различных квадратных корня R , по одному для каждого выбора знаков s и t .

Частные случаи формулы

Если определитель δ равен нулю, но след τ не равен нулю, приведенная выше общая формула даст только два различных решения, соответствующих двум знакам t . А именно, $$R=\pm {\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\pm {\frac {1}{t}}M,$$где t — любой квадратный корень из следа τ .

Формула также дает только два различных решения, если δ не равно нулю и τ ² = 4 δ (случай повторяющихся собственных значений ), и в этом случае один из вариантов выбора s приведет к тому, что знаменатель t будет равен нулю. В этом случае два корня $$R=\pm {\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}A+s&B\\C&D+s\end{pmatrix}}=\pm {\frac {1}{t}}\left(M+sI\right),$$где s — квадратный корень из δ , который делает τ − 2 s ненулевым, а t — любой квадратный корень из τ − 2 s .

Приведенная выше формула полностью не работает, если δ и τ оба равны нулю; то есть, если D = − A и A ² = − BC , так что и след, и определитель матрицы равны нулю. В этом случае, если M является нулевой матрицей (с A = B = C = D = 0), то нулевая матрица также является квадратным корнем из M , как и любая матрица $$R={\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad R={\begin{pmatrix}0&b\\0&0\end{pmatrix}},$$

где b и c — произвольные действительные или комплексные значения. В противном случае M не имеет квадратного корня.

Формулы для специальных матриц

Идемпотентная матрица

Если M — идемпотентная матрица , то есть MM = M , то, если это не единичная матрица, ее определитель равен нулю, а ее след равен ее рангу , который (исключая нулевую матрицу) равен 1. Тогда приведенная выше формула имеет s = 0 и τ = 1, что дает M и − M как два квадратных корня из M .

Экспоненциальная матрица

Если матрица M может быть выражена как действительное кратное экспоненте некоторой матрицы A , $M=r\exp(A)$, то два его квадратных корня равны $\pm {\sqrt {r}}\exp \left({\tfrac {1}{2}}A\right)$. В этом случае квадратный корень действительный.

Диагональная матрица

Если M диагонально (т. е. B = C = 0), можно использовать упрощенную формулу $$R={\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}},$$

где a = ±√ A и d ±√ D. = Это для различных вариантов выбора знаков дает четыре, две или одну различные матрицы, если ни одна из них, только одна или обе A и D равны нулю соответственно.

Матрица идентичности

Поскольку у нее есть повторяющиеся собственные значения 2×2 , единичная матрица $\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ имеет бесконечно много симметричных рациональных квадратных корней, определяемых формулой $${\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}s&r\\r&-s\end{pmatrix}}{\text{ and }}{\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}},$$где ( r , s , t ) — любые комплексные числа такие, что $r^{2}+s^{2}=t^{2}.$

Матрица с одним недиагональным нулем

Если B равен нулю, но A и D не равны нулю, можно использовать $$R={\begin{pmatrix}a&0\\{\frac {C}{a+d}}&d\end{pmatrix}}.$$

Эта формула даст два решения, если A = D , или A = 0, или D = 0, и четыре в противном случае. Аналогичную формулу можно использовать, когда C равно нулю, но A и D не равны нулю одновременно.