Формула Сильвестра

В теории матриц формула Сильвестра или матричная теорема Сильвестра названная в честь Дж. Дж. Сильвестра ) или интерполяция Лагранжа-Сильвестра аналитическую функцию $f (A)$ матрицы ( $A$ как многочлен от $A$ в терминах собственных значений и собственных векторов A $.$ выражают ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} В нем говорится, что ^{[ 3 ]}

f(A)=\sum _{i=1}^{k}f(\lambda _{i})~A_{i}~,

где $λi —$ собственные значения матрицы $A$ , а матрицы

A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\left(A-\lambda _{j}I\right)

являются соответствующими ковариантами Фробениуса A $,$ проекционными) матричными полиномами Лагранжа A $.$ которые являются (

Условия

Формула Сильвестра применима для любой диагонализируемой матрицы $A$ с $k$ различными собственными значениями, $λ$ ₁ , ..., $λ$ _k , и любой функции $f,$ определенной на некотором подмножестве комплексных чисел, таких, что $f (A)$ корректно определена. Последнее условие означает, что каждое собственное значение $λ i$ находится в области определения $f$ , и что каждое собственное значение $λ i$ с кратностью $m$ _i > 1 находится внутри области, при $этом f$ ( $m i — 1$ ) раз дифференцируемо в точке $λ i$ . ^{[ 1 ]}^{: Защита 6.4}

Пример

Рассмотрим матрицу два на два:

A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.

Эта матрица имеет два собственных значения: 5 и −2. Его коварианты Фробениуса равны

{\begin{aligned}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A+2I}{5-(-2)}}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{7}}\\-{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A-5I}{-2-5}}.\end{aligned}}

Тогда формула Сильвестра составит

f(A)=f(5)A_{1}+f(-2)A_{2}.\,

Например, если $f$ определяется как $f (x) = x -1$ , то формула Сильвестра выражает обратную матрицу $f (A) = A -1$ как

{\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0.2&0.3\\0.4&-0.1\end{bmatrix}}.

Обобщение

Формула Сильвестра справедлива только для диагонализуемых матриц ; расширение Артура Бухгейма , основанное на интерполирующих полиномах Эрмита , охватывает общий случай: ^{[ 4 ]}

f(A)=\sum _{i=1}^{s}\left[\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {1}{j!}}\phi _{i}^{(j)}(\lambda _{i})\left(A-\lambda _{i}I\right)^{j}\prod _{j=1,j\neq i}^{s}\left(A-\lambda _{j}I\right)^{n_{j}}\right]

,

где $\phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}$ .

Краткую форму далее дает Ганс Швердтфегер : ^{[ 5 ]}

f(A)=\sum _{i=1}^{s}A_{i}\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {f^{(j)}(\lambda _{i})}{j!}}(A-\lambda _{i}I)^{j}

,

где $A$ _i соответствующие коварианты Фробениуса A $—$

Особый случай

Если матрица $A$ является одновременно эрмитовой и унитарной , то она может иметь только собственные значения $\pm 1$ , и поэтому $A=A_{+}-A_{-}$ , где $A_{+}$ — проектор на подпространство с собственным значением +1, а $A_{-}$ — проектор на подпространство с собственным значением $-1$ ; По полноте собственного базиса $A_{+}+A_{-}=I$ . Следовательно, для любой аналитической $f$ функции

{\begin{aligned}f(\theta A)&=f(\theta )A_{+1}+f(-\theta )A_{-1}\\&=f(\theta ){\frac {I+A}{2}}+f(-\theta ){\frac {I-A}{2}}\\&={\frac {f(\theta )+f(-\theta )}{2}}I+{\frac {f(\theta )-f(-\theta )}{2}}A\\\end{aligned}}.

В частности, $e^{i\theta A}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )A$ и $A=e^{i{\frac {\pi }{2}}(I-A)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(I-A)}$ .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б / Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1991), Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-46713-1
^ Джон Ф. Клербоут (1976), матричная теорема Сильвестра , раздел « Основы обработки геофизических данных» . Онлайн-версия на сайте sepwww.stanford.edu, по состоянию на 14 марта 2010 г.
^ Сильвестр, Джей-Джей (1883). «XXXIX. Об уравнениях вековых неравенств в планетарной теории» . Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 16 (100): 267–269. дои : 10.1080/14786448308627430 . ISSN 1941-5982 .
^ Бухгейм, Артур (1884). «К теории матриц» . Труды Лондонского математического общества . с1-16(1):63–82. дои : 10.1112/plms/s1-16.1.63 . ISSN 0024-6115 .
^ Швердтфегер, Ганс (1938). Матричные функции: Однолистные функции. Я, Том 1 . Париж, Франция: Германн.

Ф. Р. Гантмахер , Теория матриц v I (Chelsea Publishing, Нью-Йорк, 1960) ISBN 0-8218-1376-5 , стр. 101-103.
Хайэм, Николас Дж. (2008). Функции матриц: теория и вычисления . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). ISBN 9780898717778 . OCLC 693957820 .
Мерцбахер, Э (1968). «Матричные методы в квантовой механике». Являюсь. Дж. Физ . 36 (9): 814–821. Бибкод : 1968AmJPh..36..814M . дои : 10.1119/1.1975154 .

[horn-1] Jump up to: ^а ^б / Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1991), Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-46713-1

[claer-2] Джон Ф. Клербоут (1976), матричная теорема Сильвестра , раздел « Основы обработки геофизических данных» . Онлайн-версия на сайте sepwww.stanford.edu, по состоянию на 14 марта 2010 г.

[3] Сильвестр, Джей-Джей (1883). «XXXIX. Об уравнениях вековых неравенств в планетарной теории» . Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 16 (100): 267–269. дои : 10.1080/14786448308627430 . ISSN 1941-5982 .

[4] Бухгейм, Артур (1884). «К теории матриц» . Труды Лондонского математического общества . с1-16(1):63–82. дои : 10.1112/plms/s1-16.1.63 . ISSN 0024-6115 .

[5] Швердтфегер, Ганс (1938). Матричные функции: Однолистные функции. Я, Том 1 . Париж, Франция: Германн.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]